数列求和_论文
经典相声段子-
数列求和常见法
王帅
数列是高中代数的重要内容，
数列求和是数列的重要内容之一。
数列求和是
对按照一定规律排列的数进行求和。
除了等差数列和等比数列有求和公式外，
大
部分数列的求和
都需要一定的技巧。
常见的方法有公式法、错位相减法、倒序
相加法、分解分组法、裂项法、通项化
归、并项求和等等。
1.
公式法：
适用题型：直接是等差数列或是等比数列形式的可以直接利用公式求和
等差数列求和公式
:
s
n
=
n
(
a
1
a
n
)
2
=
n
a
1
+
n
(
n
1
)
d
2
n
等比数列求和公式：
s
n
=n
a
1
（
q=1) Sn=
a
1
(
1
q
)
1
q
（
< br>q
1
）
例如
：已知数列﹛
a
n
﹜满足
a
1
=
项和。
1
3
n
< br>1
，
a
n
3
a
n
1
（
n
≥
2
）
，求数列的
前
n
2
2
n<
/p>
1
解：
a
1
1
a
2
a
1
3
< br>a
3
a
2
3
……
a
n
a
n<
/p>
1
3
所有等式的左边与左
3
边相加等于右式与右式
相加（叠加法）得
a
n
=
3
，所以﹛
a
n
﹜是以
为首项，
2
2
n
3
n
n
1
(
1
3
)
< br>3
以
3
为公比的等比数列，直接
应用公式
s
n
2
3
4
1
3
注意：
有些题目需要经过转化才能利用公式。
2.
错位相减法（倍差法）
适用题型：适用于通项公式为等差
的一次函数乘以等比的数列形式
，如
{
a
n
}
、
b
分别是等差数列和等比数列
.
则
s
=
a
b
a
b
a
b
n
n
1
1
2
2
n
n
n
例如：
a
n
3
n
1
b
n
2
1
2
c
=
a
b
n
n
n
求
c
n
的前
n
项和
T
n
。
n
解：
T
n
=
2
×
2
+5
×
2
+8
×
2
+
………（<
/p>
3n-1
）×
2
…………
.
（
1
）
2
T
n
=
2
×
3
2
2
+5
×
2
+
…
…
…
(3n-4)
×
2
+(3n-1)
3
n
2
n
1
………
.(2)
（
1
）－（
2
）得
－
T
n
=
2
×
2
+
3
×
2
+3<
/p>
×
2
+
…………
3
×
2
－
(3n-1)
2
1
2
3
n
n
1
从
第二项起到倒数第二项这（ｎ－１
）项正好是以２为公比的等比数列，共
n-1
项可以利用公式化
简
即
－<
/p>
T
n
＝２×
2<
/p>
＋３×
整理，得
1
4
(
1
2
)
1
2
n
1
n
1
－（３ｎ－１）
2
n
1
T
n
＝８＋（３ｎ－４）
2
．
注意：在错位相减后要数准形成的等比数列的项数。
3.
裂项法
适用于通项公式是分式形式的，可以把一项拆成两个或多个的差的形式，然
后进行累加抵消中间的许多项。
常用公式：
（
1
）
1
1
1
n
(
n
1
)
n
n
1
1
1
1
< br>1
(
)
n
(
n
k
)
k<
/p>
n
n
k
1
1
1
1
(
)
(
2
n
1
)(
2
n
1
)
2
2
n
1
2
n
1
（
2
）
(3) <
/p>
(4)
1
1
1<
/p>
1
(
)
(
n
1
)(
n
2
)(
n
3
)
2
(
n
1
)(
n
2
)
(
n
2
)(
n
3
)
（
5
）
1
a
b
1
(
a
b
)
a
b
例：
求数列
1
n
(
n<
/p>
1
)
的前
n
项和
.
解：
a<
/p>
n
=
1
1
1
（裂项）
n
(
n
1
)
n
n
1
1
n
1
1
1
1
1
1
1
<
/p>
=1-
=
n
1
n
1
2
2
3
3
4
n
< br>n
1
注意：数列每一项拆为两
项，首尾相消或隔项相消，无限项化为有限项，余
下的项首尾前后呼应，
即前面剩正项则后面剩负项，
前面剩负项则后面剩正项，
前后剩项个数一致。
则
Sn
=
1
4.<
/p>
倒序相加法