(甘志国)数列求和的七种基本方法
个人业务自传-
页眉内容
数列求和的七种基本方法
甘志国部分
内容
(
已发表于
< br>数理天地
(
高中
)
，
2014(11)
：
14
-15)
数列求和是数列问题中的基本题型，
但具有复杂多变
、综合性强、
解法灵活等特点，本
文将通过例题
(
这些例题涵盖了
2014
年
高考卷中的数列求和大题
)
简单介绍数列求和的七种
基本方法
.
1
运用公式法
很多数列的前
n
项和
S
n
的求法，就是套等差、等比数列
S
n
的公式，因此以下常用公式
应当熟记：
还要记住一些正整数的幂和公式：
例
1
已知
数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
32
n<
/p>
n
2
，求数列
{
a
n
}
的前
n
项和
T
n
.
解
由
S
n
32
n
n
2
,
可得
a
n
33
2
n
,
a
n
0
n
16
，所以：
(1)
当
n
16
时
< br>,
T
n
=
S
n
32
n
n
2
.
(2)
当
n
17
时，
2
32
n<
/p>
n
所以
T
n
2
n
32
n
512
(
n
1,
2,
L
,16)
(
n
17,
且
n
N
)
例
2
求
S
n
1
n
2
(
n
1
)
< br>
3
(
n
2
)
n
1
.
2
解
设
a
k
k
(
n
1
k
)
< br>
k
(
n
1
)
k
，本题即求数列
{
a
< br>k
}
的前
n
项和
.
高考题
1
(2014
年高考浙江卷文科第
19<
/p>
题
(
部分
))<
/p>
求数列
2
n<
/p>
1
的前
n
项和
S
n
.
答案：
S
n
n
2
.
高考题
2
(2014
年高考四川卷理科第
19<
/p>
题
(
部分
))<
/p>
求数列
2
n<
/p>
4
的前
n
项和
S
n
.
答案：
S
n
n
2
3
n
.
高考题
3
(2014
年高考福建卷文科第
17
题
)
在等比数列
{
a
n
}
中，
a
2
(1)
求
a
n
；
(2
)
设
b
n
<
/p>
3,
a
5
81
.
log
3
a
n
，求数
列
{
b
n
}<
/p>
的前
n
项和
S<
/p>
n
.
答案：
(
1)
a
n
3
n
1
n
2
n
；
(2)
S
n
.
2
高考题
4
(2014
年高考重庆卷文科第
16
题
)
已知
a
n
是首项为
1
，
公差为<
/p>
2
的等差数列，
页眉内容
S
n
表示
< br>
a
n
的前
n
项和
.
(1)
求
a
n
及
S
n
；
(2)
设
b
n
是首项为
2
的等比数列，公比
q
满足
q
(
a
4
1)
q
< br>
S
4
0
，求
b
n
的通
2
项公式及其前
n
项和
T
n
.
答案：
(1)
a
n
2
n
1
,
S
n
n<
/p>
2
；
(2)
b<
/p>
n
2
2
倒序相加法
事实上，等差数列的前
n
项和
S
n
的公式推导方法就是倒序相加法
.
例
3
求正整数
m
与
n
(
m
n
)
之间的分母为
3
的所有
既约分数的和
S
.
解
显然，这些既约分数为：
2
n
1
2
,
T
n
< br>(4
n
1)
< br>.
3
1
2
4
4
2
1
3
3
3
3
3<
/p>
3
1
2
4
4
2
1
也有
S
(
n
)
(
n
)
(
n
< br>
)
(
m
)
(
m
)
(
m
)
3
3
3
3
3
3
< br>有
S
(
m
)
(
m
)
(
m
< br>)
(
n
)
(
n
)
(
n
)
所以
2
S
(
m
n
)
2
(
n
m
)
< br>
2
(
n
m
),
S
n
m
<
/p>
2
2
2
2
4
x
例
4
设
f
(
x
)
x
，求和
4
2
1
f
< br>2002
2
f
2002
< br>
3
2001
f
L
f
.
2002
2002
解
可先证得
f
(
x
)
f<
/p>
(1
x
)
1
，由此结论用倒序相加法可求得答案为
3
裂项相消法
例
5
若<
/p>
{
a
n
}
是各项均不为
0
的等差数列，
求证：
2001
.
2
1
1
1
n
.
a
1
< br>a
2
a
2
a
3
a
n
a
n
1
a
1
a
n
1
证明
设等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
：若<
/p>
d
0
，要证结
论显然成立；若
d
0
，得
1
1
< br>1
1
L
2
(
n
N
<
/p>
且
n
2)
.
2
2
2
2
1
2
3
n
1
1
1
1
证明
2
2
2
2
1
2
3
n
< br>
例
8
证明
高考题
5
(2014
年高考全国大纲卷理科第
18
题
)
等差
数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，已知
a
1
10
，
a
2
为整数，且
S
n
S
4
.
(1)
求
{
a
n
}
的通项公式；
页眉内容
(2)
设
b
n
< br>1
，求数列
{
b
n
}
的前
n
< br>项和
T
n
.
a
n
a
n
1
n
.
10(10
3
n
)
答案：
(1)
< br>a
n
13
3
n
；
(2)
S
n
高考题
6
(2014
年高考广东卷文科第
19
题
)
设各项均为正数的数列
a
n
的前
n
项和为
2
n
2
n
3
S
n
3
n
2
n
<
/p>
0
,
n
N
.
S
n
，且
S
n
满足
S
n
(1)
求
a
1
的值；
(2)
求数列
a
n
的通项公式；
(3)
证明：对一切正整数
n
，有
1
1
1
1
< br>.
a
1
(
a
1
1
)
a
2
(
a<
/p>
2
1
)
a
n
(
a
n
1
)
3
答
案
：
(1)
a
1
2
；
(2)
a
n
2
n
；
(3)
当
n
1
时
，
可<
/p>
得
欲
证
成
立
.
当
n
2
时
，
1
1
1
1
1
1
<
/p>
，再用裂项相消法可得欲
a
n
(
a
n
1)
2
n
< br>(2
n
1)
< br>(2
n
1)(2
n
1)
2
2
n
1
2
n
1
证
.
高考题
7
(2014
年高考山东卷理科第
19
题
)
已知等差数列
{
a
n
}
的公差为
< br>2
，前
n
项和
< br>为
S
n
，且
S
1
，
S
2
，
S
4
成等
比数列
.
(1)
求
数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
令
b
n
=
(
1
)
n
1
4
n<
/p>
,
求数列
{
b<
/p>
n
}
的前
n
项和
T
n
.
a
n
a
n
1
2
n
2
< br>
2
n
1
答案：
(1)
a
< br>n
2
n
1
，
T
n
2
n
2
n
1
4
分组求和法
例
9
求<
/p>
S
n
n
为奇数<
/p>
.
n
为偶数
1
1
1
1
1
1
1
1
< br>
1
L
1
L
n
1
2
2
< br>4
2
4
2
1
1
1
1
L
n
1
，得
a
n
2
n
1
.
2
4
< br>2
2
.
解
设
a
n
1
页眉内容
<
/p>
所以本题即求数列
2
< br>
1
n
1
的前
n
项和：
2
2
a
1
例
10
设
数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
满足
S
n<
/p>
n
又
b
n
(
1
)
n
S
n
，
求数列
{
b
n
}
，
2
的前
n
项和
T
n
.
a
1
解
在
S
n
n
中，令
n
1
可求得
a
1
1
.
2
还可得
相减，得
所以
{
a
n
}
是
首项为
1
公差为
2
的等差数列，得
2
a
1
所以
S
n
n
n
2
,
b
n
(
< br>1
)
n
n
2
2
当
n
为偶数
时，
当
n
为
奇数时，
总之，
T
< br>n
(
1
)
n
2
n
(
n
1
)
.
2
高考题
8
(2014
年高考北京卷文科第
15<
/p>
题
)
已知
a
n
是等差数列
，满足
a
1
3
，
a
4
<
/p>
12
，数列
b
n
满足
b<
/p>
1
4
，
b
4
20
，且
b
n
a
n
是等比数列
.
(1)
求
数列
a
n
和
b
n
的通项公式；
(2)
求数列
b
n
的前
n
项和
.
答案：
(1)
a
n
=3
n
,
b
n
=3
n
2
n
<
/p>
1
；
(2)
3<
/p>
n
(
n
1)
2
n
1
.
2
高考题
9
(2014
年高考山东卷文科第
19<
/p>
题
)
在等差数列
{
a
n
}
中，
已知公差
d
2
，
a
2
是<
/p>
a
1
与
a
4
的等比中项
.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
n
(2)
设
b
n
a
n
(
n
1)
，记
T
n
b
1
b
2
b
< br>3
b
4
…
(
1)
b
n
，求
T
n
.
2<
/p>
(
n
1)
2
2
答案：
(1)
a
n
2
n
，
T
n
n
< br>(
n
1)
2
n
为奇数
.
n
为偶数