错位相减法求和附答案解析00839
苹果8什么时候上市-
错位相减法求和专项
错位相减法求和适用于<
/p>
{a
n`
b
n
}
型数列
，
其
中
{a
n
},{b
n
}
分别是等差数列和等比数列
，
在应用
过程中要注意
：
项的对应需正确
；
相减后应用等比数列求和部分的项数为<
/p>
（
n-1
）
项<
/p>
；
若等比数
列部分的公比为常数
，
要讨论是否为
1
1.
已知二次函数
项和为
，
点
的图象经过坐标原点
，
其导函数
均在函数
的通项公式
；
的图象上
．
，
数列
的前
（Ⅰ）
求数列
（Ⅱ）
设
，
是数列
的前
项和
，
求
．
[
解析
]
考察专题
：
2.1
，
2.2
，
3.1
，
6.1
；<
/p>
难度
：
一般
[
答案
]
（
Ⅰ）
由于二次函数
的图象经过坐标原点
，
则设
，
，
∴
，∴
，
<
/p>
又点
均在函数
的图象上
< br>，
∴
．
∴
当
时
，
，
又
，
适合上式
，
1
/
19
∴
．．．．．．．．．．．．（
7
分
）
（Ⅱ）
由
（Ⅰ）
知
，
，
∴
，
∴
，
上面两式相减得
：
．
整理得
．．．．．．．．．．．．．．（
14
分
）
2.
已
知数列
的各项均为正数
，
是数列
的前
n
项和
，
且
．
（
1
）<
/p>
求数列
的通项公式
；
（
2
）
的值
.
[
答案
]
查看解析
[
解析
]
（
1
）
当
n =
1
时
，
解出
a
1
= 3,
又
4S
n
=
a
n
2
+
2a
n
－
3
①
2
/
19
当
时
4s
n
－
1
=
+
2a
n-1
－
3
②
①－②
,
即
，
∴
,
（
），
是以
3
为首项
，
2
为公差的等差数列
，
6
分
．
（
2
）
③
又
④
④－③
=
12
分
3.
（
2013
年四川成都市高新区高三<
/p>
4
月月考
，
19
,12
分
）
设函数
，
数列
，
满足
.
前
项和
，
，
数列
（Ⅰ）
求数列
的通项公式
；
（Ⅱ）
设数列
的前
项和为
，
数列
的前
项和为
，
证明
：
3
/
19
.
[
答案
] (Ⅰ)
由
，
得
是以
为公比的等比数列
，
< br>故
.
（Ⅱ）
由
，
得
…
，
记
…+
，
用错位相减法可求得
：
.
（
注
：<
/p>
此题用到了不等式
：
进行放大
.
）
4.
已知等差数列
中
，
；
是
与
的等比中项
．
（Ⅰ）
求数列
的通项公式
：
（Ⅱ）
若
．
求数列
的前
项和
[
解析
]
（Ⅰ）
因为数列
是等差
数列
，
是
与
的
等比中项
．
所以
，
又因为
，
设公差为
，
则
，
< br>所以
，
解得
或
< br>，
4
/
19
当
时
,
，
；
当
时
，
.
所以
或
.
（
6
分
) <
/p>
（Ⅱ）
因为
，
所
以
，
所以
，
所以
，
所以
两式相减得
，
所以
.
（
< br>13
分
）
5.
已知数列
，
且公差
的前
项和
.
，
，
，
等差数列
中
（Ⅰ）
求数列
、
的通
项公式
；
（Ⅱ）
是否存在正整数
，
使得
值
，
若不存在
，
说明理由
.
若存在
，
求出
的最小
[
解析
]
（Ⅰ）
时
，
相减得
：
，
又
，
，
数列
是以
1
为
首项
，
3
为公比的等比数列
，
5
/
19
.
又
，
，
. <
/p>
（
6
分
）
（Ⅱ）
令
………………①
…………………②
①－②
得
：
，
，
即
，
当
，
，
当
。
的最小正整数为
4.
（
12
分
）
6.
数列
满足
，
等比数列
满足
.
（Ⅰ）
求数列
，
的通项公式<
/p>
；
（Ⅱ）
设<
/p>
，
求数列
的前
项
和
.
[
解析
]
（
Ⅰ）
由
，
所以数列
是等差数列
，
又
，
所以
，
< br>由
，
所以
，
，
所以
，
即
，
所以
.
（
6
分
)
（Ⅱ）
因为
，
所以
，
6
/
19
则
，
所以
，
两式相减的
，
所以
.
(12
分
）
7.
已知数列
满足
< br>，
其中
为数列
的前
项和
．
(Ⅰ)
求
的通项公式
；
(Ⅱ)
若数列
[
解析
]Ⅰ)
∵
满足
：
(
，①
)
，
求
的前
项和
公式
.
∴
②
②－①
得
，
，
又
时
，
，
，
.
（
5
< br>分
）
(Ⅱ)
∵
，
，
，
两式相减得
，
7
/
19
.
（
13
分
）
8.
设
d
为非零实数
, a<
/p>
n
=
[
d+2<
/p>
d
2
+…+(n
-1)
d
n-1
+n
d
n
](n∈N
*
) .
(Ⅰ)
写出
a
1
,
a
2
, a
3
并判断
{a
n
}
是否为等比数列
.
若是
,
给出证明
;
若不是
,
说明理由
;
(Ⅱ)
设
b
n
=nda
n
(n∈N
*
) ,
求数列
{b
n
}<
/p>
的前
n
项和
S<
/p>
n
.
[
答案
] (Ⅰ)
< br>由已知可得
a
1
=d,
a
2
=d(1+d) ,
a
3
=d(1+d)
2
.
当
n≥2,
k≥1
时
,
=
,
因此
a
n
=
.
由此可见
,
当
d≠
-1
时
, {a
n
}
是以
< br>d
为首项
,
d+1
为公比的等比数列
;
当
d=-1
时
,
a
1
=-1,
a
n
=0(n≥2) ,
此时
{a
n
}
不是等比数
列
. (7
分
)
(Ⅱ)
由
(Ⅰ)
可知
,
a
n
=d(d+1)
n-1
,
从而
b
n
=nd
2
(d+1)
n-1
,
S
n
=d<
/p>
2
[1+2(d+1) +3(d+1)
2
+…+(n
-1) (d+1)
n-2
+n(d+1)
n-1
]. ①
当
d=-1
时
, S
n
=d
2
=1.
当
d≠
-1
时
, ①
式两边同乘
< br>d+1
得
(d+1) S
n
=d
2
[(d+
1) +2(d+1)
2
+…+(n
-1) (d+1)
n-1
+n(d+1)
n
]. ②
8
/
19
①, ②
式相减可得
-dS
n
=d
2
[1+(d+1) +(d+1)
2
+…+(d+1)
n-1
-n(d+1)
n
]
=d
2
.
化简即得
S
n
=(d+1)
n
(nd-1) +1.
综上
,
S
n
=(d+1)
n
(nd-1) +1.
(12
分
)
9.
已知数列
{a
< br>n
}
满足
a
1
=0, a
2
=2,
且对任意
m, n∈N
*
都有
a
2m-1
+a
2n-1
=2a
m+n-1
< br>+2(m-n)
2
.
(Ⅰ)
求
a
3
,
a
5
;
(Ⅱ)
设
b
n
=a
2n+1
-a
2n-1
(n∈N
*
) ,
证明
:
{b
n
}
是等差数列
< br>;
(Ⅲ)
设
c
n
=(a
n+1
-a
n
)
q
n-1
(q≠0,
n∈N
*
) ,
求数列
{c
n
}
的前
n
项和
S
n
.
[
答案
] (Ⅰ)
由题意
,
令
m=2, n=1
可得
a
3
=2a
2
-a
1
+2=6.
再令
m=3, n=1
可得
a
5
=2a
3
-a
1
+8=20.
(2
分
)
(Ⅱ)
证明
:
当
n∈N
*
时
,
由已知
(
以
n+2
代替
m)
可得
a
2n+3
+a
2n-1
=2a
2n+1
+8.
于是
[a
2(n+1)
+1
-a
2(n+1) -1
]-(a
2n+1
-a
2n-1
) =8,
即
b
n+1
-b
n
=8.
所以
,
数列
{b
n
}
是公差为
8
的等差数列
.
(5
分
)
(Ⅲ)
由
(Ⅰ)
、(Ⅱ)
的解答可知
{b
n
}
是首项
b
1
=a
3
-a
1
=6,
公差为
8
的等差数列
.
9
/
19