数列高考常见题型分类汇总
日月潭教学反思-
数
列
高
考
< br>常
见
题
型
分
类
汇
总
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
数列通项与求和
一、数列的通项
方法总结：
对于数列的通项的变形，
除了常见的求通项的方法，还有一些是需要找规律的，
算周期或者根据图形进行推理
。其余形式我们一般遵循以下几个原则：
①
对于同时出现
a
n
,
n
,
S
n
的式子，首先要对等式进行化简
。
常用的化简方法是因
式分解，或者同除一个式子，同加，同减
，取倒数等，
如果出现分式，将分式化简成
整式；
②
利用
a
n
S
n
S
n
1
关系消掉
S
n
（或者
a
n
），得到关于
a
n
和
n
的等式，然后用
传统的求通项方法求出通项；
③
根据问题在等式中构造相应的形式，使其变为我们熟悉的等差数列或
等比数
列；
④
对于出现
a
n
2
或
S
n
2
（或更高次时）应考虑因式分解，最常见的为二次函数十字
相乘法，提取公因式法；遇到
a
n
•
a
n
1
时还会两边
同除
a
n
•
a
n
1
.
1.
规律性形式求通项
1-1.
数列
{a
n
}
满足
a
n+1
=
，若
a
1
=
，则
a
2016
的值是
（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
1-2
.
分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦
•B•
< br>曼德尔布罗特（
Benoit B
．
Mandelbrot
）在
20
世
纪
70
年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多
领域的难题提供了全新的思路．下图按照
的分形规律生长成一个树形图，则第
12
行的实心圆点的个数是（
）
A
．
55
B
．
89
C
．
144
D
．
233
2
1-3.
如图所示的三角形数阵叫
“
莱布尼兹调和三角形
”
，它们是由整数的倒数组成的，第
n
行有
n
个数且两
端的数均为
（
n
≥
2
），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如
，
，
，
…
，则第
10
行第
4
个数（从左
往右数）为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
2.<
/p>
出现
a
n
,
n
,
S
n
的式子
2
1-4.<
/p>
正项数列
{a
n
}
的前项和
{a
n
}
满足
:
s
n
(
n
2
n
1)<
/p>
s
n
(
n
2
n
)
0
(1)
求数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
;
(2)
令
b<
/p>
n
T
n
5
.
64
n
1
n
2
2
a
n
2
,
数列
{b
n
}
的前
n
项和为
< br>T
n
.
证明
:
对于任意的
n
N
*
,
都有
< br>
1-5.
设数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
.
已知
a
1
1
,
(1
)
求
a
2
的
值
;
(2)
求数列
a
n
的通项公式
.
3
2
S<
/p>
n
1
2
a
n
1
n
2
n
,
n
N
*
.
n
3
3
*
1-6.
已知首项都是
< br>1
的两个数列
a
n
，
< br>b
n
(
b
n
0
,
n
N
)
满足
a
n
b
n
1
a
n
1
b
n
2
b
n
1
b
n
0
.
(1)
令
c
a
n
n
b
，求数列
c
n<
/p>
的通项公式；
n
(2)
若
b
n
1
n
3
，求数列
a
n
的前
n
项和
S
n
.
牛刀小试：
1.
已知数列
{
a
n
< br>}
的前
n
项和为
Sn
，
a
1
< br>＝
1
，且
2
nS
n
1
2(
n
1)
S
n
n
(
n
1)(
n
N
*)<
/p>
，数列
{
b
n<
/p>
}
满足
b
n
2
2
b
n
1
b
n
< br>0(
n
N
*)
，
b
3
5
，其前
9
项和为
63.
（
1
）求数列数列
{
a
n
}
和
{
b
n
}
的通项公式；<
/p>
2.
已知数列
a<
/p>
1
n
1
n
的前
n
项和为
S
n
,
且
a
1
2
,
a
n
< br>
1
2
n
a
n
.
4
(1)
求
a
n
的通项公式
;
(2)
设
b
n
n
2
S
< br>n
,
n
N
*
，若集合
M
n
b
n
,<
/p>
n
N
*
恰有
4
个元素
,
求实数
的
取值范围
.
3.
需构造的（证明题）
1-7.
已知数列
a<
/p>
n
的前
n
项和为
S
n
,
且满足
a
n
2
S
n
•
S
n
1
0
n
< br>
2
,
a
1
(1)
求证
:
1
.
2
1
是等差数列
;
< br>
S
n
(2)
求
a
n
表达式；
1-8.
设数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且首项
a
1
≠
3
，
a
n
+
1
=S
n
+
3
n
（
n
∈
N
*
）．
（
1
）求证：
{
S
n
﹣
3
n
}
是等比数列；
（
2
）若
{
a
n
}
为递增数列，求
a
1
的取值范围．
牛刀小试
5
1
．已知数列
{
a
n
}
中，
a
1
2
a
n
2
(
n
N
)
．
，
a
n
1
< br>
a
n
1
3
n
1
（
1
）证明：数列
1
是等比数列；
< br>
（
2
）求数列
的前
n
项和为
S
n
．
a
n
a
n
<
/p>
1
2
，
b
n
(
n
N
)
．
2.
数列
{
a
n
}
中，
a
1
1
，
a
n
1
1
4
a
n
2
a
n
1
（
1
）求证：数列
{
b
n
}
是等差数列；
二、数列求和与放缩
数列求和的考察
无外乎错位相减、裂项相消或者是分组求和等，但有一些通项公
式需要化简才可以应用传
统的方法进行求和。对于通项公式是分式形式的一般我们尝
试把
“
大
”
分式分解成次数（分母的次数）
相等的
“
小
”
分式，然后应用裂项相消的
方法进项求和。
放缩，怎么去放缩是
重点，一般我们不可求和的放缩为可求和的，分
式形式，分母是主要化简对象。
2
n
1
a
n
< br>a
2
,
a
(
n
N
)
.
a
1
n
1
2-1.
数列
n
满足
1
n
n
a
n
2
2
< br>
2
n
（
1
）
设
b
n
，求数列
b
n
的通
项公式
.
a
n
（
2
）
设<
/p>
c
n
1
1
2
1
m
m
S
n
对一切
S
c
n
n
1
a
n
1
，数
列
n
的前
n
项
和为
n
，不等式
4
4
n
N
成立，求
m
的范围
< br>.
6