高三数学高考数列求和(裂项及错位)
civilians-
高考真题
360
<
/p>
全解密
考点十二
数列求和（裂项及错位）
[
真题
1]
(2009
山东卷
)
等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
已知对任意的
n
N
，
点
(
n
,
S
n
)
均在函数
y
b
r
(
b
0
且
b
1,
b
,
r
均
为常数
)
的图像上
.
（
1
）求
r
< br>的值；
（
11
）当
b=2
时，记
b
n
x
n
1
(
< br>n
N
)
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
4
a
n
[
命
题探究
]
创新是高考命题的要求<
/p>
,
《考试大纲》
提出命题要
“创设比较新颖的问题情境”
，
同时，
“在知识的交汇点处设计命题”
是近年来高考命题的一种趋势。
本题将数列的递推关
系式以点在函数图像上的方式给出，体现了这种命题理念
，也渗透了数列是定义在正整数
集上的函数观念。第（
2
）问中对
b
的赋值，旨在使问题变得简捷，也
使设置的数列求和问
题降低难度，
达成
“不求在细节上人为地设置障碍，
而是在大方向上考查考生的数学能力”
的命题指导思想。
[
命题探源
]
本题在设置等比数列的递推关系时，
以点
(
< br>n
,
S
n
)
在函数
y
b
r
(
b
0
的图像
上
的方式给出，这种命题方式与
2008
年福建一道文科有相似之
处：
“已知｛
a
n
｝是正数组成
的数列，
a
1
=1
，且点（
a
n<
/p>
,
a
n
1
）
（
n
N
*
）在函数
y
=
x
+1
的图象上
.(
Ⅰ
)
求数列｛
a
n
｝的通
2
x
项公式；
(
Ⅱ
)
若列数｛
b
n
｝满足
b
1
=1,
b
n
+1
=
b
n
+
2
n
，求证：
b
n
·
b
n
+2
＜
b
n<
/p>
+1
.
”本题中增加了对参
数
r
的求解，因此，如何正确求出
< br>r
的值，成为本题的解题思考点，这恰好需要对递推关系
2
a
式
a
n<
/p>
S
1
,(
n
1)
的正确理解（理角题目的条件：数列
{
a
n
}
是等比数列，则
a
1
S
1
S
n
S
n
1
,(
n
2)
满足数列递
推式）
。第（
2
）问求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
，所用的方法是错位相减法，也是课
本中推导等比数
列前
n
项和公式时所用的方法。高考复习历来提倡回归课本，理
解教材，例
题的求解方法、
公式的推导方法，
< br>都需要我们在回归课本中积累知识，
提炼方法，
形成能力
。
[
知识链接
]
数列求和的几种常见题型与求解方法
（
1
）
裂项相消法
：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那
么常选用
裂项相消法求和
.
常用裂项形式有：
1
1
1
1
；
②
1
(
1
1
)
；
n
(
n
1)
n
n
1
n
(
n
k
)
k
n
n
<
/p>
k
1
1
(
k
0
)
(
n
k
n
)
③
**
k
n
n
k
1
1
1<
/p>
1
1
1
1
2
.
k
k
1
< br>(
k
1)
k
k
(
k
1)
k
k
1
k
①
④
（
2
）
错位相减法
：
如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通
项相乘构成，
那么常选用错位相减法（这也是等比数列前
n
和公式的推导方法）
.
设
{a
n
}
是等差数列，且公差
为
d,{b
n
}
是等比数列，且公比为
q,
记
S
n
=a
1
b
1
+a
2
b
2
+
…
+a
n
b
n
S
n
a
1
< br>b
1
a
2
b
2
a
3
b
3
...
a
n
2
b
n
2
a
n
1
b
< br>n
1
a
n
b
n
①
qS
n
a
1
b
2
a
2
b
3
...
a
n
3
b
n
2
< br>
a
n
2
b
n
1
a
n
1
b
n
a
n
b
n
1
②
(
1
q
)
S
n
a
1
b
1
d
< br>(
b
2
b
3
...
b
n
2
b
n
1
b
n
)
a
n
b
n
1
< br>
（
3
）
分组求和法
：在直接运用公式法求和有困难时，常将
“和式”中“同类项”先合并在一
起，再运用公式法求和
. <
/p>
（
4
）
倒序相加
法
：
若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与
组合数相关联，
则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前
n
和公式的推导方
法）
.
《规范解答》
用心
爱心
专心