东北偏北-

精品文档

四

.

数列求和的常用方法

1.

公式法

：①等差数列求和 公式；②等比数列求和公式，

特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其

③常用

公式：

1 2

公比与

1

的关系，必要时需分类讨论

.

3

山

n

2 6

n 1

）

1

2

2

2

11

（

n

2

二丄

n

（

n 1

）（

2n 1

）

,

1

3

2

3

3

3

川

n

3

<

n

（

n_^]

2< /p>

.

例

1

、已知

iog

3

x

1

—

，求

x

■ x

2

■ x

3

亠

亠< /p>

x

n

……

的前< /p>

n

项和

.

log

2

3

- 1

log

3

x = - log

3

2

=■ x

=

—

log

2

3

2

S

n

二

X X

2

X

3

池

叫

x

n

（利用常用公式）

解

：由

由等比数列求和公式得

1 1

x(1-x

)

=

2

—尹

)

=

n

(

1

J

2

等比数列

｛

a

n

｝

的前

n

项和

S

n

=

2

n

-

1,

则

a

1

a

|

2.

分组求和法

：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中 “同类项”先合并在

起，再运用公式

法求和

.

例

2

、

求数列的前

n

项和：

1

1 1 1

解

：设

S

n

=

（

1 1

）

（

4

）（

亍

< /p>

7

）

「

…

（一

3n - 2

）

a

a

a

将其每一项拆开再重新组合得

1 1 1

1,

4,-y

，

7,

…

；

n-2

,

a a

a

1 1 1

S

n

=(1

2

—

^

)

a a

a

当

a

=

1

时，

S

n

沙

虽

1

n

=

鲤卫

2 2

当

a=1

时

,

(

1 4 7

囂囂

3n _ 2)

（分组）

（分组求

_

_ a

.(3n -1)n

2

1

丄

a -a (3n -1)n

1 _p

练一练：求和：

S

n

=-1

•

3-5

•

7

-||

「

(

-1)

n

(2n-1)

3. < /p>

倒序相加法

：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的 通项与组合数相关

联，则常

可考虑选 用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前

n

和公式的推

导方法）

.

少

.

少

..

少

••

少

飞

in 88 sin 89

的值

例

3

、求

sin 1 sin 2 sin 3

精品文档

解

：设

S = sin

2

1 sin

2

2 sin

2

3

亠

亠

sin

2

88 sin

2

89

................................

.

①

将①式右边反序得

S =sin 89 sin 88

飞

in 3 sin 2 sin 1

.

........................... ..................

.

②

2 2

(

反序

)

又因为

sin x =cos(90 -

x

), sin

x

cos x = 1

①

+

②得

2

0

2

0

2

。

2

0

2

。

2

。

(

反序相加

)

2S = (sin 1 cos 1 ) (sin 2 cos 2 )

爲

吒

(sin 89 cos 89 )

=

89

S

=

44.5

2

x

练一练：已知

f(x)

2

，则

f(1)

_____

1

+x

f(2)

111

f(3)

仁

4) f( ) f(

)

f ()

=

234

4.

错位相减法：

如果数列的通项是 由一个等差

数列的通项与一个等比数列的通项相乘构

成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前

n

和公式

的推导方法）

.< /p>

例

4

、求和：

S

n

=

1 3x 5x

2

7x

3

…

(

2n -1)x

nJ

.......... ...........................................