论文：数列求和的基本方法和技巧
硕士论文致谢-
专题复习讲座——数列求和的方法和技巧
重庆市大足第二中学
欧国绪
402360
高中学段：数学
数列在高考中的要求：
1
．等差数列与等比数列是两种最基本、最重要及应用最广泛的数列，其他
数列
问题的解决往往借助它们完成，或经过变形转化为等差或等比数列，或利用等
差、等比数列的研究方法。所以等差数列与等比数列的基础知识是数列中最基
< br>本、最重要也最易把握的知识。
2
．数列的通项是数列最重要、最常见的表达形式，它是数列的核心。应弄清通
项公式
的意义——项数
n
的函数；
理解通项公
式的作用——可以用通项公式求数
列的任意一项的值及对数列进行一般性的研究。
3
．数列的递推式是数列的另一种表达形式
，可以是一阶线性递推、二阶线性递
推、二次函数形式递推、勾函数形式递推、与奇偶联
系的递推等，是高考的热
点。要注重叠加、叠乘、迭代等解题技巧的训练。
数列求和是高中数学的一个重点
,
也是高考的热点
,
纵观我市近几年的高考
的最后一题，都是数列与函数、不等式、解析几何、立体几何、导数、三角、
向量、二项式等知识联系在一起，以它的复杂多变、综合性强、解法灵活等特
征成为高考
的压轴题。
一、公式法
:
利用以下公式求数列的和
1.
Sn
n
(
a
1
a
n
)
n
(
< br>n
1
)
na
1
d
(
<
/p>
a
n
为等差数
列
)
2
2
a
1
(
1
q
n
)
a
1
a
n
q
2.
Sn
(
q
1
)
或
Sn
na
1
(
q
1
)
1
< br>
q
1
q
1
第
1
页
共
7
页
(
a
n
为等比数列
)
3.
1
2
2
2
3
2
< br>n
2
n
(
n
1
)
(
2
n
1<
/p>
)
6
n
(
n
1
)
2
1
3
2
3
3
3
<
/p>
n
3
[
]
等公式
2
例如
:
已知数列
a
n
，
a
n
n
2
n
，求前
n
项和
Sn
解：
Sn
(
1
2
1
)
(
2
2
2
)
<
/p>
(
3
2
3
)
(
n
2
n
)
(
1
2
2
3
2
< br>
n
2
)
(
1
2
3
n
)
n
< br>(
n
1
)(
2
n
1
)
n
(
n<
/p>
1
)
6
2
(
n
1
)
n
(
n
1
)
3
2
(
二、分组求和法
对于数列
a
n
，若
a
n
b
n
C
n
且数列
b
n
、
c
n
……都能求出其前
n
项的和，
则在求
a
n
前
n
项和时，可采用该法
例如：求和：
Sn
0
.
9
0
.
99
0
.
999
0
.
9999
0
.
9<
/p>
9
n
个
9
解：设
a
n
0
.
9
< br>9
1
10
n
n
个
9<
/p>
Sn
<
/p>
a
1
a
2
a
3
a
4
a
n
(
1
10
1
)
(
1
10
2
)
< br>
(
1
10
3
)
(
1
10
4
)
(
1
10
n
)
(
1
1
1
)
< br>
(
10
1
10
2
10
3
10
4
10
n
)
n
个
1
相加
n
(
1
10
n
)
三、倒序相加法（或倒序相乘法）
1
．倒序相加法
在教材上推导等差数列
a
n
前
n
项和
Sn
的公式：
Sn
n
(
a
1
a
n
)
就使用的是该法，推导过程参看教材
2
1
9
例如：求和<
/p>
S
sin<
/p>
2
1
sin
2
2
sin
2
3
sin
2
89
2
第
2
页
共
7
页
<
/p>
解：
S
sin
2
1
sin
2
2
sin
2
3
sin
2
89
……①
又
S
sin
2
89
si
n
2
88
sin
2
87
<
/p>
sin
2
1
cos
2
1
cos
2
2
cos
2
3
cos
2
89
即
S
cos
2
1
cos
2
2
cos
2
3
<
/p>
cos
2
89
……②
由①
+
②得
2
S
(sin<
/p>
2
1
cos
2
1
)
(sin
2
2
cos
2
2
)
< br>(sin
2
89
cos
2
89
89
S
89
2
2
．倒序相乘法
例
如：已知
a
、
b
为两个不相等的正数，在
a
、
b
之间插入
n
个正数，使它们构成
以
a
为首项，
b
为末项的等比数列，求插入的这
n
个正数的积<
/p>
p
n
解：
设插入的这
n
个正数为
a
1
、
a
2
、
a
3
、<
/p>
……
a
n
且数列
a
、
a
1
、
a
2
、
a
3
、
……
a
n
、
b
成等比数列
则
ab
a
1
a
n
a
< br>2
a
n
1
p
n
a
1
a
2
< br>a
3
a
n
……①
又
p
n
a
n
a
n
1
a
n
2
< br>
a
1
……②
由①
②得
2
p
n
(
a
1
a
n
)(
a
2
a
n
1
)
(
a
n
a
1
)
(
ab
)
n
p
n
(
ab
)
n
2
四
、错位相减法
对于数列
a
n
，若
a
n
b
< br>n
c
n
且数列
b
n
、
c
n
分别是等差数列、等比数列时，
求该
数列
a
n
前
n
项和时，可用该方法
例如：已知数列
a
n
：
a
n
(
2
n
1
)
< br>
3
n
，求数列
a
n
前
n
项和
Sn
3
第
3
页
共
7
页