数列求和方法小结
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数列求和方法小结
等差数列、等比数列的求和是高考常考的内容之一，一般数列求和的基本思想是将其通
项
变形，化归为等差数列或等比数列的求和问题，或利用代数式的对称性，采用消元等方法
来求和
.
下面我们结合具体实例来研究求和的方法
.
一、直接求和法（或公式法）
将数列
转化为等差或等比数列，直接使用等差或等比数列的前
n
项和公
式求得
.
常用公式：等差数列的求
和公式：
S
n
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
)
na
1
d
，
2
2
na
1
(
q
1
)
n
等比数列的求和公
式
S
n
<
/p>
a
1
(
1
q
)
（切记：公比
含字母时一定要讨论）
，
(
q
1
)
1
< br>q
另
外
k
2
1
2
2
2
3
2
k
1
n
n
2
n
< br>(
n
1)(2
n
1)
6
< br>
，
k
k
1
n
3
1
2
3
3
3
3
n
(
n
< br>1)
n
2
3
2<
/p>
例
1
．
二、倒序相加法
此方法源于等差数列
前
n
项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相
加
有公因式可提取，以便化简后求和
.
2
x
例
2
已
知函数
f
x
x
2<
/p>
2
（
1
）证明：
f
x
f
1
x
1
；
< br>
1
（
2
）求
f
10
2
f
10
8
f
10
< br>
9
f
的值
.
10
解：
（
1
）先利用指数的相关性质对函
数化简，后证明左边
=
右边
（
2
）利用第（
1
）小题已经证明的结论可知，
1
f
10
9
2
f
f
<
/p>
10
10
2
f
10
8
< br>
f
10
8
f
<
/p>
10
5
f
10
9
f
10
1
f
10
5
f
1
10
< br>1
令
S
f
10
<
/p>
9
则
S
f
10
8
< br>
f
10
2
f<
/p>
10
两式相加得：
2
S
9
1<
/p>
f
10
9
9
f
< br>
9
所以
S
.
2
10
<
/p>
小结
：对某些具有对称性的数列，可使
用此法
.
三、裂项相消法
如果一个数列的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰与后一项的被减数相同，
一减一加，中间项全部相消为零，那么原数列的前
n
项之和等于第一项的被减数与最末项的
减数之差
.
多用于分母为等差数列的相邻
k
项之积，且分子为
常数的分式型数列的求和
.
一些
常见的
裂项方法：
（
1
）
1
1
1
1
1
1
1<
/p>
，特别地
当
时，
k
1
n
n
1
n
n
1
n
< br>
n
k
k
n
n
k
（
2
）
1
1
n
k
n
k
< br>n
k
n
，特别地当
k
< br>1
时
1
n
1
n
n
1
n
例
3
数列
a
n
的通项公式为<
/p>
a
n
1
，求它的前
n
项和
S
n
n
(
n
1)
解：
S
n
a
1
a
2
a
3
< br>
a
n
1
a
n
1
1
1
< br>
1
2
2
3
3
4
1
1
n
1
n
n
n
< br>
1
1
1
1
1
1
=
1
< br>
2
2
3
3
4
1
1
1
1
< br>
n
1
n
n
n
1
1
1
n
n
1
n
1
小结：
裂项相消法
求和的关键是数列的通项能够分解成两项的差，
且这两项是同一数列
的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同
.
四、错位相减法
< br>源于等比数列前
n
项和公式的推导，对于形如
{
a
n
b
n
}
的数列，其中
{
a
n
}
为等差数列，<
/p>
{
b
n
}
为
等比数列，均可用此法
.
例
4
．已知数列
1
,
3
a
,
5
a
,
<
/p>
,
(
2
n
1
)
a
2
n
1
(
a
0
)
，求前
n
项和。
0
2
n
1
思路分析：已知数列各项是等差数列
< br>1
，
3
，
5
，…
2n-1
与等比数列
a
,
a
,
a
,
,
< br>a
积，可用错位相减法求和。
2
n
1
解：
S
n
1
3
a
5
a
(
2
n
< br>
1
)
a
2
3
n
a
S
n
a
<
/p>
3
a
5
a
(
2
n
1
)
a
对应项
1
2