数列求和常用的五种方法
茶油鸡-
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数列求和常用的五种方法
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法
.
1
、
等差数列求和公式：
S
n
< br>
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
)
na
1
d
2
2
(
q
1
)
na
1
n
2
、等比数列求和公式：
S
n
a
1
(
1
q
)
a
1
a
n
q
(
q
< br>
1
)
1
q
1
q
3
、
1
S
n
k
n
(
n
< br>1
)
2
k
1
n
n
4
、
S
n
k
< br>2
n
(
n
1
)(
2
n
1
)<
/p>
k
1
1
6
5
、
1
S
n
k
3
[
n
(
n
1
)]
2
2
k
1
1
，求
x
x
2
x
3
x
n
的前
n
项
和
.
log
2
3
n
例
1<
/p>
．
已知
log
3
x
解：<
/p>
由
log
3
x<
/p>
1
1
log
3
x
log
3
2
x
，
由等比数列求和公式得
log
2
3
2
1
1
(
1
)
n
x
(
1
x
n
< br>)
2
3
n
2
＝
1
－
1
S
n
x
x
x
x
=
< br>＝
2
1
1
x
2
n
1
2
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前
n
项和公式时所用的方法，
这种
方法主要用于求数列
{a
n
·
b
n
}
的前
n
项和，其中
{
a
n
}
、
{
b
n
}
分别
是等差数列和等比数列
.
例
2
．
求和：
S
n
1
3
x
5
x
2
7
x
3
< br>
(
2
n
1
)
x
n
1
……………………①
< br>
解：由题可知，
{
(
2
n
1
)
x
n
< br>1
}
的通项是等差数列
{2n<
/p>
－
1}
的通项与等比
数列
{
x
n
1
}
的通项之积
< br>
当
x
1
时
，
S
n
1
3
5
7
2
n
1
< br>
1
1
2
n
1
<
/p>
n
n
2
2
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当
x
1
时
设
xS
n
<
/p>
1
x
3
x
2
5
x
3
7
x
4
(
2
n
1
)<
/p>
x
n
……………
②
（设制错位）
①－②得
(
1
x
)
S<
/p>
n
1
2
x
2
x
2
2
x
3
2
x
4
2
x<
/p>
n
1
(
2
n
1
)
x
n
（错位相减）
再<
/p>
利
用
等
比
数
列
的
求
和
公
式
得
：
1
x
n
1
(
1
x
)
S<
/p>
n
1
2
x
(
2
n
1
)
x
n
1
x
(
2
n
1<
/p>
)
x
n
1
(
2
n
1
)
x
n
(
1
x
)
∴
S
n
2
(
1
x
)
例
3.
已知
a
0
,
a
1
< br>，数列
a
n
< br>
是首项为
a
，公比也为
a
的等比数列，
令
b
n
a
n
lg
a
n
(
n
N
)
，求数列
b
n
的前
n
项和
S
n
。
解析：
a
n
< br>a
n
,
b
n
n
a
n
lg
a
<
/p>
S
n
(
a
2
a
2
3
a
3
na
n
)
lg
a
aS
n
(
a
2
2
a
3
3
a
4
na
n
1
)
lg
a
①
-
②得：
(
1
a
< br>)
S
n
(
a
a
2
a
n
na
n
1
)
lg
a
S
n
a
lg
a
n
1
(
1
n
na
)
a
。
2
(
1
a
)
点评：设数列
a<
/p>
n
的等比数列，数列
< br>
b
n
是等差数列，则数列
a
n
b
n
的前
n
项和
S
n
求解，均可用错位相减法。<
/p>
三、反序相加法求和
2