割圆术教学设计
催奶食谱-
阅读与思考
割圆术求圆周率
教学设计
一、本课教学内容的本质、地位、作用分析
< br>割圆术求圆周率是算法初步这一章结束后设置的阅读与思考内容，是对本章所学知识的具
< br>
体应用。
“割圆术”是由中国古代的数学家刘徽提出的
，是当时计算圆周率的比较先进的算法，
至今仍有一定的应用价值。它体现了以直代曲、
无限趋近、
“内外夹逼”的思想，这些思想是人
们在解决数学问
题时最基本、最朴素的思想，在其他领域也有着广泛的应用。
“割圆术”这个算
法本身很有趣，操作性强，
“算理”明确，能被翻译成计算机程序上机运
行，体现了中国古代数
学的算法特征。
同时，
< br>围绕着圆周率的计算这个问题有很多有趣的故事，
例如从古至今许多数学
家孜孜不倦的计算圆周率的故事及一些经典而有趣的算法等，
从而激发了
学生的民族自豪感和爱
国精神，培养了追求科学真理、为科学而献身的精神，培养创新精
神和对新事物的敏感性。
二、
教学目标分析
1.
知识目标：
使学生在明确问题的基础上，能设计方法，通过编写计算机程序求出圆周率。
2.
能力目标：
在教学过程中，
让学生体会割圆术算法步骤，
使学生深刻理
解由特殊到一般的归纳推理思维。
在让学生自主探究利用计算机计算圆周率的过程中，<
/p>
培养学生的逻辑思维能力以及解决实际问题
时主动应用数学知识的
能力。
3.
德育渗透目标：
通过探索与发现的过程，使学生亲历数学研究的成功和快乐，感悟数学朴实无华的内在美，
学会提出问题、分析问题、解决问题、推广结论进而完善结论的数学应用意识，激发学生勇于探
索、敢于创新的精神，优化学生的思维品质。
三、学情分析：
理解“割圆术”的算
法步骤对于学生来讲并不难，学生已经具备了由具体问题抽象概括、总
结归纳的能力。<
/p>
但写出这一算法所对应的程序框图，
尤其是循环结构的程序框图对
学生来说难度
较大，因此，这一部分的教学由教师引导、小组交流相结合突破难点。
四、教学策略分析：
< br>《普通高中数学课程标准》
指出：
高中数学课程应力求通
过各种不同形式的自主学习、
探究
活动，
让学生体验数学发现和创造的历程。
新课程标准的价值取向是要求教师成为决策者而不
是
执行者，
要求教师创造出班级气氛、
创造出某种学习环境、
设计相应教学活动并表达自己的教育
理念
等等。基于以上思想，本节课采用问题式教学为主线，辅以启发式、探究式、自主式、讨论
式教学方式。
五、教学过程：
1.
【追本溯源、感受辉煌】
算法初步这一章的学习结束了，在这一章，我们学习了算法、程序框图和算法语句。这些知
识看起来很简单，其实可以解决大问题。今天咱们就踏着科学家的足迹重温圆周率的研究历程
，
来体验一下计算机给我们带来的改变。
先请一位同学根据你课前查阅的资料，给大家介绍一下你所了解的圆周率。
预案
1
：学生可能会从圆周率的定义及刘徽提
出的“割圆术”和祖冲之计算的精确圆周率等方面
作答。
其他同学还有补充吗？
预案
2
：学生可能还会对圆周率计算的发展史感兴趣。
刚才两位同学说得非常精彩。
他们分别叙述了圆周率的定义
和计算的发展史。
在计算的发展
史中
，有三点值得我们格外注意：①我国最早在先秦时期使用圆周率的值为
3
；②公元
263
年我
国数学家
刘徽提出“割圆术”
，并将圆周率计算到
3.14
；③南北朝时期祖冲之将圆周率计算到
3.1415926~3.14159
27
之间，他的计算结果不但是当时最精密的圆周率，同时在世界上处于领
先地位长达
1000
多年。他是继承并发展了刘徽提
出的“割圆术”
，什么是“割圆术”呢？我们先
看下面这个问题
。
【设计意图】
< br>通过让学生自己查阅资料，了解圆周率及其计算的发展史，从而感受灿烂辉煌的中华文化，
激发民族自豪感和爱国精神。
2.
【抽丝剥茧、感悟思想】
AB
的长度大于线段
AB
比如现在有一条弧，
做它的任意一条割线与弧交于
A
,
B
两点，
显然
»
AB
的中点，
那么与线段
AB
相比，这条折线的长度更接近
< br>»
AB
的长度。继
的长度。接下
来，取
»
AB
的长度了。
那我们怎么才能使得折线的
续取这两段弧的中点，
所
得折线的长度就进一步接近
»
AB
的长
度呢？
长度无限接近
»
AB
的长度？
【问题
1
】怎样才能使折线的长度无限接近
»
AB
的长度。
预案：学生很容易意识到要继续取各弧的中点，所得折线的长度就越来越接近
»
对。其实，不一定非得取中点，取三等分点也可以，甚至取弧上任意一点
都可以。不过为了
方便起见，我们不妨取中点。这样我们就可
以得到这条曲线长度的近似值。这种方法就叫做“以
直代曲”
。
它不但可以帮助我们求得曲线长度的近似值，也可以帮助我们解决曲边图形的面积问
题。
比如说，我们可以用圆内接正六边形的面积来估计该圆的面积，但这个值显然不够精确。如
果想要得到更精确一些的值，该怎么做呢？
预案：根据前面割弧所得的体验，学生容易想到取各弧的中点
取各弧的中点得到一个圆内接正十二边形，
它的面积更接近圆的
面积。
如果再继续分割，
做
成圆的内接正二十四边形，
它的面积
更进一步接近圆的面积了。
要想让圆内接正多边形的面积无
限接
近圆的面积该怎么办？
预案：不断分割下去
对。当圆的半径
等于
1
时，圆的面积就是圆周率
。而边数
n
可以无限增大，
n
越大，得到
的面积
S
越接近于
，将来
我们会学到它的极限值就是圆周率
。这就是刘徽所提出的“割
圆
术”
。
“割圆术”完美体现了“无限
逼近”以及“以直代曲”的思想。这两种思想在其他领域还有
广泛的应用。下面，我们先
体会体会割圆术的原理与手工计算。
【
设计意图
】
在师生交流中，提出以直代曲及无
限逼近等思想，逐渐拨开表象看实质，让学生感悟“割
圆术”所体现的思想，并体会方法
的震撼力。这样一来，学生会对接下来的学习充满了好奇与期
待。
3.
【传承知识、体会方法】
<
/p>
因为圆周率
等于圆面积与半径平方之比
，为了更加简单的计算
，不妨设圆的半径为
< br>1.
此时，我们应该如何计算圆内接正六边形的面积呢？
【问题
2
】如何计算圆内接正六边形的面积。<
/p>
预案：由于学生初中进行过大量平面几何的训练，所以不难得知
：圆的半径等于
1
，故这个正六
边形的
边长也等于
1.
而这个正六边形可以看成是由六个边长为
1
的正三角形组成的。其
< br>x
中，
在直角三角形
OPA
中利用勾股定理可以求得正三角形的高
h
6
1
6
，
那么正
2
三角形的面积就是二分之一底乘高，底是正六边形的边长，即
2
1
3
*
x
6
*
h
6
< br>
，因此圆
2
4
P
内接正六边形的面积
S<
/p>
6
6*
3
4
A
O
Q
x
6
1
x
h
6
1
< br>
6
2
S
6
6*
3
4<
/p>
2
接下来，取圆的六段弧的中点，就得到圆内接正十二边形
。从图中，你发现
S
12
与
S
6
的关
P
系了吗？
B
预案：由于有图形的直观做辅助，学生很容易观察得到
A
S
12<
/p>
等于
S
6
加上<
/p>
6
个等腰三角形的面积。
O
Q
那么如何利用
S
6
表示圆内接正十二边形的面积呢？
【问题
3
】如何利用
S
6
表示圆内接正十二边形的面积？
预案：学生根据前面计算圆内接正六边形的经验，很容易求出
三角形
PBQ
的面积等于
1
1
*
x
6
*
1
h
6
，从而得到
S
12
S
6
6*
*
x
6
*(1
h
6
)
2
2
1
S
12
S
6
6*
*
x
6
*(1
h
6
)
2
这样我们利用正
6
边形的面积很轻松地得到了正
12
边形的面积，那我要算圆的内接正
24
边形的面积又该怎么做呢？
预案：<
/p>
有了前面从圆内接正六边形到圆内接正十二边形的演变过程，
学生
会自然而然的将圆弧继
续等分就得到圆的内接正
24
边形。
它比圆内接正
12
边形多出
12
个三角形，
每一个三角形
的面积等于
1
*
x
12
*(1
h
12
)
，所以圆内接正
24
边形的面积是
2
1
S
24
<
/p>
S
12
12*
*
x
12
*(
1
h
12
)
2
其中的
x
12
与
h
12
怎么呢？
预案：学生会类比前面计算
弦心距和边长的方法，在直角三角形
POC
中利用勾股定理求出
x
12
<
/p>
1
h
6
2
2
x
x
6
。直角三角形
OPC
中利用勾股
定理求出
h
12
1
12
。
2
2
2
2
2
x
x
12
6
1
h
6
2
x
<
/p>
h
12
1
12
2
1
S
24
S
12
12*
*
x
12
*(1
h
12
)
2
谁能直接写出圆内接正
48
边形的面积呢？
预案：有了前面
S
12
,
S
2
4
的计算公式，学生完全能够发现其表达式中所体现出的规律并类比得到
2
1
2
x
x
S
48
S
24
24*
*
x
24
*
（
1
h
24<
/p>
)
。其中
x
24
12
<
/p>
1
h
12
，
h
24
1
24
2
2
< br>
2
看来大家已经发现了圆内接正六边形、
正十二边形、
正二十四
边形
……
的面积之间的递增关
系，那我们按照这个规律可以求得圆的内接正
n
边形的面积吗？
【问题
4
】你能依照规律写出圆内接正
n
边形的面积吗？
2
2