等比数列求和试题
小小女子半边天-
§
3.3
等比数列及其求和
一、典型例题：
1.(1)
若
x
,
2
x
2,
3
x
3
成等比数列，则
x
的值为
__________ .
4
(2)
在
2
与
6
之间插入
n
个数，使它们组成等比数列，则
这个数列的公比为
________ .
2.
如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（
B
）
（
A
）为常数数列
（
B
）为非零的常数数列
（
C
）存在且唯一
（
D
）不存在
3.
设等比数列
< br>a
n
的前
n
项和为
S
n
，前
n
项的倒数之和为
T
n
，则
a
1
a
n
S
n
T
n
n
1
3
的值为（
A
）
.
（
A<
/p>
）
a
1
a
n
（
B
）
（
C
）
(
a
1
a
n
)
n
（
D
）
(
a
20
a
10
a
1
a
n
)
n
4.
在等比数列
{
a
n
}
中，
a
7
a
11
6,
a
4
a
14
5,
则
2
3
3
2
（
C
）
.
3<
/p>
2
2
3
2
3
2
3
3
2
A
．
B
．
C
．
或
D
．－
或－
1
2
5.
等
比数列
a
n
的首项
a
1
1
，前
n
项和为
S
n
，
若
S
10
S
5
31
32
,
S
n
___
______ .
(1
(
)
)
n
6.
已知数列
a
n
是公比
q
1
的等比数列，给出下列六个数列：
（
1
）
ka
n
(
k
< br>
0)
；
(2)
a
2
n
1
<
/p>
；
(3)
a
n
1
a
n
；
(4)
a
n
1
a
n
；
(5)
na
n
；
(6)
a
n
.
其中仍是等比数列的个数为（
B
）
3
（
A
）
4
（
B
）
5
（
C
）
6
（
D
）
3
7.
若
2,
a
,
b
,
c<
/p>
,
d
,18
3<
/p>
六个数成等比数列，则
log
9
a
b
c
d
2
2
< br>2
2
=
.
1
8.
设
a
n
是公比为
q
的等
比数列，
S
n
是它的前
n
项和，若｛
S
n
｝是等差数列，则
q
= _____.
1
9.
在正项数列
a
n
中，
a
a
<
/p>
a
2
1
2
2
2
n
4
1
3
n
，则
a
1
< br>
a
2
a
n
___________ .
2
n
1
n
n
10.
已知数列
a
n
的通项公式为
a
n
3
2
2
n
1
，求数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
.
S
n
<
/p>
3
n
1
2
2
n
1
n
2
7
2
11.
已知定义在
R
上的函数
f
(
x
)
0
和数列
a
n
< br>满足：
a
1
< br>3,
a
2
5,
a
n
f
(
a
n
1
)(
n
<
/p>
2,
3,
4,
)
，
且
f
(
a
n
)
f
(
a
n
1
< br>)
2(
a
n
a
n
1
)(
n
2,
3,
4,
)
（
1<
/p>
）令
b
n
a
n
1
a
n
(
n
N
< br>)
，证明数列
{
b
n
}
是等比数列；
（
2
）求数列
{<
/p>
a
n
}
的通项公
式
.
解（
1
）
b
1<
/p>
a
2
a
1
2
0
,
得
b
2
a
3
a
2
f
(
a
2<
/p>
)
f
(
a
1
)
2
(
a
2
a
1
)
4
0
由此推知：
b
n
a
n
1
a
n
0
,
(
n
N
)
…2
分
当
n
2
时
,
b
n
b
n
1
<
/p>
a
n
1
a
n
a
n
a
n
1
f
(
a
n
)
f
(
a
n<
/p>
1
)
a
n
a
n
1
2
(
a
n
a
n
1
)
a
n
a<
/p>
n
1
2
…4
分
{
b
n
}
是一个首项
为
2
公比为
2
的等比数列
………………………6
分
（
2
）由（
1
）知：
b
n
b
1
2
n
1
(
a
2
a
1
)
2
n
< br>
1
2
(
n
N
)
………7
分
n
当
n
N
，且
n
2
时，
b
1
b
2
< br>b
n
1
2
(
1
2
n
1
)
1
2
2
2
…9
分
n
而
b
1
b
2
b
n
1
< br>(
a
2
a
1
)
(
a
3
a
2
)
(
a
n
a
n
< br>1
)
a
n
a
n
1
a
n
a
1
b
1
b
2
< br>
b
n
1
2
(
1
2
n
1
)
1
2
n
2
2
< br>a
n
2
1
……11
分
n
n
对
n=1
时
a
1
3
也成立，
a
n
2
1
………………12
分
3
tS
< br>n
(2
t
3)
S
n
1
3
t
(
n
2)<
/p>
，
12.
设数列
a
n
的
首项
a
1
=1
，
前
n
项和
S
n
满足关系式：
其中
< br>t
0
为
已知常数
.
< br>（
1
）求证：数列
{
a
n
}
是等比数列；
（
2
）设
a
n
的公比为
f
(
t
)
，作数列
b
n
，使
b
1
1
，
b
n
f
< br>(
（
3
）求和：
b
1
b
2
－
b
2
b
3
+
b
3
b<
/p>
4
－
b
4
b
5
…
+
b
2
n
－
1
b
2
n
－
b
2
n
b
2
n
+1
.
12.
解：
（
1
）由
a
1
=
S
1
=1
，
S
2
=1+
a
2
，得
a<
/p>
2
=
1
b
n
1
)(
n
2)
，求
b
n
的通项
b
n
；
3
2
t
a
2
3
2
t
,
又
3
tS<
/p>
n
－（
2
t
+3
）
S
n
－
1
=3
t
①
3
t
a
1
3
< br>t
a
n
a
n
1
2
t
3
3
t
，
3
tS
n
－
1
－（
2
t
+3
）
S
n
－
2
=3
t
< br>
②
①
－②
得
3
ta
n
－（
2
t
+3
）
a
n
－
1
=0
∴
所以
{
a
n
}
是一个首项为
1
，公比为
2
t
<
/p>
3
3
t
的等比数
列
.