常见特殊数列求和
雨一直下简谱-
常
见
特
殊
数
列
求
< br>和
前
n
项和公式都是以正整数为自变量的函数，
在熟练掌握等差、
等
比数列求和方法的基
础上，还要会用其他方法求常见特殊数列的和。
一、分解法
有些特殊数列可以
分解为基本的等差数列或等比数列，再分别求和。
例
1
：求数列
1
1
1
1
1
，
2
，
3
，„，
n
n
的前
n
项和
S
n
。
4
8
2
2
.
解：这个数列可以分解成一个等差数列和一个等比数列
之和。
1
1
1
1
1
1
1<
/p>
S
n
=
1
+
2
+
3
+
„
+
n
n
=
（
1+2+3+
„
+n
）
+
（
+
+
„
+
n
）
4
8
2
4
2
2
2
1<
/p>
1
1
n
n
n
1
2
2
n
n
1
1<
/p>
=
+
=
+1-<
/p>
n
1
2
2
2
1
2
二、错位相减法
有些
数列可以把原数列的前
n
项分别乘以一个适当的因数作出一个辅
助数列，
它与原数
列相减，从而得到
S
n
所满足的一个关系式，然后解出
S<
/p>
n
。
1
2
3
n
，
2
，
3
，„，
n
的前
n
项和
S
n
。
2
2
2
< br>2
1
2
3
n
1
n
解
：
S
n
=
+<
/p>
2
+
3
+
„
+
n
1
+
n
①
2
2
2
2
2
1
作辅助数列：上式两边同时
乘以
2
1
1
2
3
n
1
n
S
n
=
2
+
3
+
4
+
„
< br>+
n
+
n
1
②
2
2
2
2
2
2
例
2
：求数列<
/p>
于是①
-
②，得
1
1
2
1
3
2
n
n
1
n
S
n
=
+
（
< br>2
-
2
）
+
（
3
-
3
）
+
„
+
（
n
-
n
）
-
n
1
2
2
< br>2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
n
∴
S
n
=
+
2
+
3
+
4
+
< br>„
+
n
-
n
1
2
2
2
2
2
2
2
S
n
-
1
1
1
< br>n
1
n
2
2
n
=
-
n
1
=1-
n
-
n
1
1
2
2
2
1
2
< br>∴
S
n
=2-
< br>1
2
n
1
-
n
2
n
评注：设
a
1
，
a
2<
/p>
，
a
3
，„，<
/p>
a
n
组成等差数列，
b
1
，
b
2
，
b
3
，„
，
b
n
组成等比数列，那么求
S
n
=
a
a
1
< br>a
2
a
3
„
+
n
或
S
′
=a
1
b
1
+a
2
b
2
+a
3
b
3
+
„
+a
n
b
n
都可以考虑用错位相减法求和，
b
1
b
2
b
3
b
n
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