曲边梯形的面积
李克克-
曲边梯形的面积
1.5.1
曲边梯形的面积
一、教学目标
1
、知识及技能目标：
（
1
）通过问题情景，经历求曲边梯形面积的过程，
初步了解、感受
定积分概念的实际背景。
（
2
）理解求曲边梯形面积的“四步曲”——分割、近似代
替、求和、
取极限。
2
、过程及方法目标：
（
1
）通过问题的探究体会“以直代曲、无限逼近”
的思想。
（
2
）通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。
3
、情感、态度及价值观目标：
在探究中进一步感受极限的思想，体会直及曲虽然是对立矛盾的，
但
它们可以相互转化，
体现对立统一的辩证关系，
在问题解决中体
验
成功的愉悦，感受数学的魅力。
二、学情分析
本节课的教学对象是民语班的学生。
学生在本节课之前已经具备的认知基础有：
< br>一是学生已学习过如何通过割补的方法计算不规则直边图形的面
积；
学生在必修
3
的阅读及思考内容中对刘徽的“割圆术
”求圆面积
的方法已经有所了解。
二
是学生虽然未学习过极限的有关知识，但通过导数的学习，对极
限有了初步的认识。
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曲边梯形的面积
学生在本节课学习中将会面临的难点：
一是部分学生汉语程度相对较为薄弱，一些数学名词难以准确理
解，
< br>因此需要借助民语教材对部分名词做民语标注，
帮助学生准确掌
< br>握和学习；此外，
学生的汉语表达能力较差，需要即时引导学生进行
准确表述和学习。
二是本节课的学习过程中如何“
以直代曲”，即学生如何将割圆术
中“以直代曲，无限逼近”的思想灵活地迁移到一般的
曲边梯形
上．
具体说来就是：
如何选择
适当的直边图形
（矩形、
三角形或梯形）
代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作和计算。
三、重点难点
教学重点：
探究求曲边梯形面积的方法。
教学难点：
把“以直代曲”的思想方
法转化为具体可操作的步骤，理解“无限
逼近”的思想方法。
四、教学过程
一、问题情境—生活中的数学原型
【
教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图
形，如何求图形的面积
？
图片一：
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曲边梯形的面积
图形一：
【教师提问】观察下面的图片，从
图片中截取一个平面图形，观察图
形，如何求图形的面积？
图片二：
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曲边梯形的面积
图形二：
【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，
观察图
形，如何求图形的面积？
图片三：
图形三：
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曲边梯形的面积
【思考
】
“曲边梯形”及“直边图形”的主要区别是什么？
【设计意图】
1.
< br>从生活实际出发，
让学生充分感受数学及生活息息相关，
生活中处
处都能找到数学的原型。
2
.
学生通过分割和补足的方法求解直边图形，回顾“割补思想”
，为
接下来探究如何对曲边梯形以直代曲做铺垫。
3.
对比“曲边梯形”及“直边图形”的主要区别，为学生准确理解曲
边梯形的概念做铺垫。
4.
通过设立问题引发学生思考，从而引出本节课题。
二、概念辨析—“连续函数”及“曲边梯形”的概念
【学生活动】翻开课本
38
页，仔细研读书中“
连续函数”及“曲边
梯形”的概念。
【设计意图】
让学生回归课本进行自主学习，并发现概念中的关键内容。
三、知识回顾—割圆术
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曲边梯形的面积
【讲授】
割圆术是由魏晋时期的数学
家刘徽首创，所谓“割圆术”是用圆内
接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取
圆周率的方法。
【教师提问】
1.
< br>你能否总结出割圆术求圆面积的思想方法？
2.
将割圆术求圆面积的思想方法进行提炼，
能否应用到求曲边梯形的
面积中？
【解答】
割圆术求圆面积的思想方法：
1.<
/p>
将圆等分成
n
个小扇形。
2.
用小三角形面积近似代替小扇形面积。
3.
求小三角形面积之和。
4.
随着
n
的增大，小
三角形面积之和不断逼近圆面积。
将割圆术求圆面积的思想方法进行提炼
1.
分割
2.
近似代替
3.
求和
1
/ 1
曲边梯形的面积
4.
取极限
【设计意图】
回顾割圆术中正多边形
逼近圆的方法，引发学生思考：这种“以直
代曲”的思想启发我们，是否也能用直边形逼
近曲边梯形的方法，求
曲边梯形的面积。同时，通过在提炼思想方法的过程中，培养学生
分
析、归纳的习惯。
四、特例探究—类比割圆术的思想方法，求特殊的曲边梯形的面积
【思考】如何求由直线
x=0,x=1,y=0
和曲线
y=x
²所围成的曲边梯形
的面
积
S
？
（一）分割
【自主探究】
思考：
应采用什么样的方式分割下面的曲边梯形
才能有
利于“以直代曲”？
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曲边梯形的面积
【学生活动】
1.
分小组讨论，并在纸上做出方案。
2.
通过对比各组方案，选出最佳方案。
【教师展示】
方案一：
方案二：
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曲边梯形的面积
【教师提问】选取方案一进行探究。
1.
如何将大曲边梯形等分成
2.
将区
间
[0,1]
等分成
3.
单独研究第
n
个小曲边梯形？
n
个小区间，这
n
个小区间分别是什么？
i
个
小区间，则第
i
个小区间是什么？
【解答】
1.
在区间
[0
，
1]
< br>上等间隔地插入
2.
将区间
[0
,1]
等分成
n-1
个点，过这些点做
x
轴的垂线。
n
个小区间，这
n
个小区间分别是：
3.
单独
研究第
i
个小区间，则第
i
个小区间是：
【设计意图】
学生通过类比割圆术中
“将圆等分成
n
个小扇形”这一步骤，经历分
< br>割曲边梯形的过程，同时通过对比，选出最佳方案进行进一步探究。
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曲边梯形的面积
在探究的过程中，充
分带动学生的自主学习意识，并加强学生对“四
步曲”中“分割”的理解和认识。培养学
生学习数学的兴趣以及团队
协作的精神。
（二）近似代替
< br>【自主探究】思考：对每个小曲边梯形如何“以直代曲”？（单独研
究第
i
个小曲边梯形）
【学生活动】
1.
分小组讨论，并在纸上做出方案。
2.
通过对比各组方案，选出最佳方案。
【教师展示】
方案一：
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曲边梯形的面积
方案二：
方案三：
方案四：
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曲边梯形的面积
【思考】选取方案二进行探究。
怎样求出小矩形的面积？
【解答】
第
i
个区间的长度为：
第
i
个小矩形的高为：
（即
区间左端点的函数值）
第
i
个小矩形的面积为：
【设计意图】
学生通过类比割圆术中
“用小三角形面积近似代替小扇形面积”
这一
步骤，
经历将第
i
个小曲边梯形
“以直代曲”
的过程，
同时通过对比，
选出最佳方案进行进一步探究，并引导学生带着疑问进入下面
的学
习。在探究的过程中，培养学生善于思考的习惯，以及自我创新的能
力。
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（三）求和
【共同探究】思考：怎样
求出
n
个小矩形的面积之和？
【师生互动】
引导学生分析如何求出
n
个小矩形的面积之和，共同探求解
题思路。
具体求解过程由学生参及，师生共同补充。
【提示】
给出公式：
1
2
2
2
【讲授】
此处求出的小矩形面积之和称作曲边梯形面积的不足近似值。
【解答】
小矩形面积之和为：
(
n
1)
2
(
n
1)
n
(2
n
1)
6
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