专题--数列求和的基本方法和技巧
无公害农产品-
数列求和的基本方法和技巧
数列是高中代数的
重要内容，
又是学习高等数学的基础
.
在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位
.
数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定
的技巧
.
下面，就几个历届高考数学
和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧
.
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法
.
1
、
等差数列求和公式：
S
n
< br>
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
)
2
na
1
2
d
na
1<
/p>
(
q
1
)
2
、等比数列求和公式：
< br>S
q
n
n
a
1
(
1
)
1
q
a
1
a
n
q
< br>1
q
(
q
1
)
n
n
3
、
S
1
、
S
2
1
n
k
< br>n
(
n
1
)
4
n
k
1
2
k
n
(
n
< br>1
)(
2
n
1
)
k
1
6
n
5<
/p>
、
S
n
k
3
[
1
n
(
n
1
)]
2
k
1
2
[
例
1]
已知
l
og
1
3
x
log
，求
x
x
2
<
/p>
x
3
x
n
的前
n
项和
.
2
3
解：由
log
1
3
x
log
log
x
1
3
x
< br>
log
3
2
< br>2
2
3
由等比数列求和公式得
S
2
n
x
x
x
3
< br>
x
n
1
n
＝
x
(
1
x
)
2
(
1
1
2
n
< br>)
1
x
＝
＝
1
－
1
1
1
2
n
2
[
例
2]
<
/p>
设
S
n
＝
1+2+3+
…+n
，
n
∈
N
*
,
求
f
(
n
)
S
n
(
n
32
)
S
的最大值
.
n
1
解：由等差数列求和公式得
S
1
n
2
n
(
n
1
)
，
S
1
n
2
(
n
1<
/p>
)(
n
2
)
∴
f
(
n
)
S
n
n
(
n
32
)
S
＝
n
1
n
2
34
n
6
4
＝
1
＝
1
1
n
34
64
n
(
n
8
n
)
< br>2
50
50
< br>
1
（利用常用公式）
（利用常用公式）
∴
当
n
1
8
，即
n
＝
8
时，
f
(
n
)
max
50
8
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前
n
项和公式时所用的方法，
这种方法主要用于求数列
{a
n
·
b
n
}
的前
n
项和，其中
{ a
n
}
、
{ b
n
}
分别是等差数列和等比数列
.
[
例
3]
求
和：
S
n
1
3
x
5
x
2
7
x
3
< br>(
2
n
1
)
x
n
1
………………………
①
解：由题可知，
{
(
2
n
1
)
x
n
1
}
的通项是等差数列
{2
n
－
1}
的通项与等比数列
{
x
n
1
}
的通项之积
设
xS
n
1
x
3
< br>x
2
5
x
3
7
x
4
(
2
n
1
)
x
n
……………………….
②
（设制错位）
①－②得
(
1
x
)
S<
/p>
n
1
2
x
2
x
2
2
x
3
2
x
4
2
x<
/p>
n
1
(
2
n
1
)
x
n
（错位相减
）
1
x
n
1
(
2
n
1
)
x
n
再利用等比数列
的求和公式得：
(
1
x
)
S
n
1
2
x
1
x<
/p>
(
2
n
1
)
x
n
1
(
2
n
1
)
x
n
(
1
x
)<
/p>
∴
S
n
(
1
x
)
2
[
例
4]
求数列
2
4
6
2
n
,
2
,
3
,
,
n
,
<
/p>
前
n
项的和<
/p>
.
2
2
2
2
2
n
1
解：由题可知，
{
n
}
的通项是等差数列
{2n}
的通项与等
比数列
{
n
}
的通项之积
2
2
2
4
6
2
n
设
S
n
<
/p>
2
3
n
…………………………………
①
2
2
2
2
1
2
4
6
2
n
S<
/p>
n
2
3
4
n
1
…………………………
……
②
（设制错位）
2
2
2
2
2
1
2
2
2<
/p>
2
2
2
n
①－②得
(
1
)
S
n
2
3
4
< br>
n
n
1
（错位相减
）
2
2
2
2
2
2
2
1
2
n
2
n
1
n
1
2
2
n
< br>2
∴
S
n
4
n
1
2
三、反序相加法求和
这是推导等差数
列的前
n
项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（
反序）
，再把它与原
数列相加，就可以得到
n
个
(
a
1
a
n
)<
/p>
.
[
例
5]
<
/p>
求证：
C
n
<
/p>
3
C
n
5
C
n
(
2
n
1
)
C
n
(
n
1<
/p>
)
2
证明：
设
S
n
C
n
3
C
n
5
C
n
< br>
(
2
n
1
)
C
n
…………………………..
①
2
0
1<
/p>
2
n
0
1
2
n
n
把①式右边倒转过来得
n
n
1
1
0
（反序）
S
n
(
2
n
1
)
C
n
(
2
n
< br>1
)
C
n
3
C
n
C
n
m
n
m
又由
C
n<
/p>
可得
C
n
0
1
n
1
n
S
n
(
2
n
1
)
C
n
…………..……..
②
(
2
n
1
)
C
n
< br>3
C
n
C
n
0
1
n
1
n
①
+
②得
2
S
n
(
2
n
2
)(
C
n
C
n
C
n
C
n
)
2<
/p>
(
n
1
)
2
n
（反序相加）
∴
S
n
(
n
1
)
2
n
[
例
6]
<
/p>
求
sin
1
<
/p>
sin
2
si
n
3
<
/p>
sin
88
sin
89
的值
解：设
S
sin
1
sin
2
sin
< br>3
sin
88
sin
89
………….
①
将①式右边反序得
S
sin
89
sin
88
s
i
n
3
s
i
n
2
s
i
n
1
…………..
②
（反序）
又因为
sin
x
c
os(
90
x
),
sin
2
x
cos
2
x
1
①
+
②得
（反序相加）
2
2
2
2
2<
/p>
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
S
(s
in
2
1
cos
2
1
)
(sin
2
2
co
s
2
2
)<
/p>
(sin
2
89<
/p>
cos
2<
/p>
89
)
＝
89
∴
S
＝
44.5
四、分组法求和
< br>有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或
常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可
.
[
例
7]
<
/p>
求数列的前
n
项和：
1
1
,
1
1
1
4<
/p>
,
2
7
,
,
n
1
3
n
2
，
…
a
a
a
1
1<
/p>
1
解：设
S
n<
/p>
(
1
1
)
(
4
)
(
2
7
)
(
n
<
/p>
1
3
n
2
)
a
a
a
将其每一项拆开再
重新组合得
S
n
(
1
1
1
1
2<
/p>
n
1
)
(
1
4
7
3
n
2<
/p>
)
（分组）
a
a
a
(
3
n
1
)
n
(
3
n
1
)
< br>n
当
a
＝
1
时，
S
n
n
＝
（分组求和）
2
2
1
1
n
(
3
n<
/p>
1
)
n
a
a
1
n
(
3
n
1
)
n
a
当
a
1
时，
S
n
＝
1
a
1
2
2
1
a
3
2
< br>[
例
8]
求数列
{n(n+1)(2n+1)}
的前
n
项和
.
解：设
a
k
k
(
k
1
)(
2
k
1
)
2
k
3
k
k
3