高中数学专题练习：数列求和问题
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高中数学专题练习：数列求和问题
[
题型分析
·
高考展望
]
数列求和是数列部分高考考查的两大重点之一，主要考查
等差、等比数列的前
n
项和公式以及其他求
和方法，尤其是错位相减法、裂项相
消法是高考的热点内容，常与通项公式相结合考查，
有时也与函数、方程、不等
式等知识交汇，综合命题
.
常考题型精析
题型一
分组转化法求和
例
1
等比数
列
{
a
n
}<
/p>
中，
a
1
，
a
2
，
a
3
分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且
a
1
，
a
2<
/p>
，
a
3
中的任何
两个数不在下表的同一列
.
第一行
第二行
第三行
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
若数列
{
b
n
}
满足：
b
n
＝
a
n
＋
(
－
1)
n
< br>ln
a
n
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
点评
分组求和常见的方法：
(1)
根据等差、等比数列分组，即分组后，每一组可
< br>第一列
3
6
9
第二列
2
4
8
第三列
10
14
18
能是等差数列或等比数列
.(2)
根据正号、负号分组
.(3)
根据数列的周期性分组
.(4)
根据奇
数项、偶数项分组
.
变式训练
1
已知等差数列
{
a
n
< br>}
的前
n
项和为
S
n
，
n
∈
N
*
，
a
3
＝
5
，<
/p>
S
10
＝
100
.
(1)
求数列
{
< br>a
n
}
的通项公式；
(2)
设
b
n
＝
2
a
n
＋
2
n
，求数列
{
b
n
< br>}
的前
n
项和
< br>T
n
.
题型二
错位相减法求和
例
2
(·<
/p>
山东
)
设数列
{
a
n
}
的前<
/p>
n
项和为
S
n<
/p>
.
已知
2
S
n
＝
3
n
＋
3.
(1)
求
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
若数列
{
b
n
}
满足
a
n
b
n
＝
log
3
a
n
，求
{<
/p>
b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
点评
错位相减法的关注点：
(1)
适用题型：等差数列
{
a
n
}
乘以等比数列
{
b
n
}
对应项
“
{
a
n
< br>·
b
n
}
”
型数列求和
.
(2)
步骤：
①
求和时先乘以数列
{
b
n
}
的公比
.
②
把两个和的形式错位相减
.
③
整理结果形式
.
变式训练
2
(·
四川
)
设等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
，点
(
a
n
，
b
n
)
在函数
f
(
x
)
＝
2
x
的图象
上
(
n
∈
N
*<
/p>
).
(1)
若
a
1
＝－
2
，
点
(
a
8,
4
b
7
)
在函数
f
(
x
)
的图象上，求数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
；
1
(2)
若
a
1
＝
1
，函数
f
(
x
)
的图象在点
(
a
2
，
b
2
)
处的切线在
x
轴上的截距为
2
－
ln 2
，求
a
n
数列
{
b
}
的前
n
项和
T
n
.
n
题型三
裂项相消法求和
例
3
在公差
不为
0
的等差数列
{
< br>a
n
}
中，
a
1
，
a
4
，
a
8
成等
比数列
.
(1)
已知数列
{
a
n
}
的前
10
项和为
45
，求数列
{
a
n
}
的通项公式；
1
1
1
(2)
若
b
n
＝
，且数
列
{
b
n
}<
/p>
的前
n
项和为
T
n
，若
T
n<
/p>
＝
9
－
，求数列
{
a
n
}
的公
a
n
a
n
＋
1
n
＋
9
差
.
点评
(1
)
裂项相消法：把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和
的方法，
适用于求通项为
1
1
的前
n
项和，
其中
{
a
n
}
若为等差数列，
则
＝
< br>a
n
·
a
n
＋
1
a
n
·
a
n
＋
1
1
1
1
·
(
－
d
a
n
a
n
< br>＋
1
).
其余还有公式法求和等
.
(2)
利用裂项相消法求和时，应
注意抵消后并不一定只剩第一项和最后一项，也可
能前面剩两项，后面也剩两项
.
变式训练
3
(·
大纲全国
)
等
差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，已知
a
1
＝
10
，
a
2
为整数，
且
S
n
≤
S
4
.
(1)
求
{
a
n
}
的通
项公式；
(2)
设
< br>b
n
＝
1
，求数列
{
b
n<
/p>
}
的前
n
项和<
/p>
T
n
.
a
n
a
n
＋
1
高考题型精练
1.(·
浙江
)
已知
{
a
n
}
是等差数列，公差<
/p>
d
不为零，前
n
项和是
S
n
，若
a
3
，
a
4
，
a
8
成
等比数列，则
(
)
A.
a
1
d
＞
0
，
dS
4
＞
0
C.
a<
/p>
1
d
＞
0
，
dS
4
＜
0
B.
a
1
d
＜
0
，
dS
4
＜
0
D.
a
1
d
＜
0
，
dS
4
＞
0
2.(·
课标全国
Ⅱ
)
等差数列
{
a
n
}
的公差为
2
，若
a
2
，
a
4
，
a
8
成等比数列，则
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
等于
(
)
A.
n
(
n
＋
1)
n
n
＋
1
C.
2
< br>
B.
n
(
n
－
1)
n
n
－
1
D.
2
2
3.
若数
列
{
a
n
}<
/p>
的通项公式为
a
n
＝
，则其前
n
项和
< br>S
n
为
(
)
n
n
＋
2
<
/p>
1
3
1
1
A.1
－
B.
2
－<
/p>
n
－
n
＋
2
n
＋
1
3
1
1
3
1
1
C.
< br>2
－
n
－
D.
2
－
－
n<
/p>
＋
2
n
＋
1
n
＋
2
1
1
1
1
4.
已知数列
1
2
，
3
4
，
5
8
，
7
16
，…，则其前
n
项和
S
n
为
(
)
1
1
A.
n
2
< br>＋
1
－
2
n
B
.
n
2
＋
2<
/p>
－
2
n
1
1
C.
n
2
＋
1
－
n
－
1
D.
n<
/p>
2
＋
2
－
n
－
1
2
2
5.
设等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
S
m
－
1
＝－
2
，
S
m
＝
< br>0
，
S
m
＋
1
＝
3
，
则
m
等于
(<
/p>
)
A.3
C.5
B.4
D.6
< br>1
1
2
1
2
3
1
2
3
9
1
6.
已知
数列
{
a
n
}
：
，
＋
，
＋
＋
，
…，
＋
＋
＋…＋
，
…，
若
b
＝
，
n
2
3
3
4
4
4
< br>10
10
10
10
a
n
a
n
< br>＋
1
那么数列
{
b
n
}
的前
< br>n
项和
S
n
为
(
)
A.
n
n
＋
1
B.
4
n
n
＋
1
C.
3
n
n
＋
1
D.
5
n
n
＋
1
1
b
n
＝
log
3
a
n
，则数列
b
b
< br>
n
n
＋
1
7.
在等比数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
3
，
a
4
＝
81<
/p>
，若数列
{
b
n
}
满足
的前
n
项和
S
n
＝<
/p>
________.
8.
数列
{
a
n
}
满足
a
n
＋
1
＋
(
－
1)
n
a
n
＝
2
n
－
1
，则
{
a
n<
/p>
}
的前
60
项和
为
________.
1
S
－
9.(·
天津模拟
)
在数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
1
，
当
n
≥
2
时，
其前
n
项和
S
n
满足
S
2
＝
a
.
n
n
< br>n
2
(1)
求
S
n
的表达式；
(2)
设
b
n
＝
< br>
S
n
，求
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
2
n
＋
1
10.(·
课标全国
Ⅰ
)
已知
{
a
n
}
是递增的等差数列，
a
2
，
a
4
是方程
x
2
－
5
x
＋
6
< br>＝
0
的根
.
< br>(1)
求
{
a
< br>n
}
的通项公式；
a
n
(2)
求数列
{
2
n
}
的前
n
项和
.
11.
(·
天津
)
已知数列
< br>{
a
n
}
满足
a
n
＋
2
＝
qa
n
(
q
为实数，
且
q
≠
1)
，
n
∈
N
*
，
a
1
＝
1
，
a
2
＝
2
，
且
< br>a
2
＋
a
3
，
a
3
＋
a
4
，
a
4
＋
a
5
成等差数列
.
(1)
求
q
的值和
{
a
n
}
的通项公式；
< br>
(2)
设
b
< br>n
＝
log
2
a
2
n
，
n
∈
N
*
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
.
a
2
n
－
1