数列求和汇总例题与答案)
最好的学习方法-
数列求和汇总答案
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法
.
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
)
na
1
d
2
2
(
q
1
)
na
1
n
2
、等比数列求和公式：
S
n
a
1
(
1
q
)
a
1
a<
/p>
n
q
(
q
1
)
1
q
1
q
1
2
3
n
例
1
、<
/p>
已知
log
3
x
，求
x
<
/p>
x
x
x
的前
n
项和
.
log
2
3
1
1
解：由
log
3
x
log
3
x
log
3
2
x
< br>
log
2
3
< br>2
1
、
等差数列求和公式：
S
n
由等比数列求和公式得
S
n
x
x
2
x
3
<
/p>
x
n
（利用常用公式）
1
1
(
1
)
n
x
(
1
x
n
)
2
2
＝
1
－
1
< br>
＝
＝
1
2
n
1
x
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
练习：求
1
2
3
4
5
6
...
99
< br>
100
的和。
2
2
2
2
< br>2
2
2
2
解：
1
2
3
4<
/p>
5
6
99
100
2
2
1
2
< br>
4
2
3
2
6
2
5
2
100
2
99
2
2
1
2
< br>
1
4
3
4
3
<
/p>
6
5
6
5
100
99
100
99
3
7
11
＋
199
由等差数列的求和公式得
S
50
＝
50
3
＋
199
＝
5050
2
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前
n
项和公式时所用的
方法，
这种方法主要用于求数列
{a
n
·
b
n
}
的
前
n
项和，其中
{a
n
}<
/p>
、
{b
n
}
分别是等差数列和等比数列
.
例
2
求和：
S
n
1
3
x
5
x
< br>2
7
x
3
(
2
n
1
)
x
n
1
…………………
……①
解：由题可知，
{
(
2
n
1
)
x
n
1
}
的通项是等差数列
{2n
－
1}
的通项与
等比数列
{
x
n
1
}
的通项之积
< br>
设
xS
n
1
x
3
x
2
5<
/p>
x
3
7
x
4
(
2
n
1
)
x
n
……………………….②<
/p>
（设制错位）
①－②得
(
1
x
)
S
n
1
2
x
<
/p>
2
x
2
2
x
3
2
x
4
2
x
n
1
(
2
n<
/p>
1
)
x
n
（错位相减
）
<
/p>
1
x
n
1
(
2
n
1
)
x
n
再利用等比数列的求和公式得：
(
1
x
)
S
n
1
2
x
1
x
(
2
n
1
)
x
< br>n
1
(
2
n
1
)
x
n
(
1
x
)
∴
S
n
2
(
< br>1
x
)
2
4
6
2
n
练习：求数列
,
2
,
3
,
,
n
,<
/p>
前
n
项的和
.
2
2
2
2
2
n
1
解：由题可知，
{
n
}
的通项是等差数列
{2n}
的通项与等比数列
{
n
}
的通项之积
2
2
2
4
6
2
n
2<
/p>
3
n
…………………………………①
2
2
2
2
1
< br>2
4
6
2
n
S
n
2
3
4
n
1
………………………………②
（设制错位）
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
n
①－②得
(
1
< br>
)
S
n
2
3
4
n
n
1
（错位相减
）
2
2
2
2
2
2
2
1
2
< br>n
2
n
1
n
1
2
2
n
2
∴
S
n
4
n
< br>1
2
设
S
n
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前
n
项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序）
，再把它与
原数列相加，就可以得到
n
个
(
a
1
a
n
)
.
例
3
求
sin
1
sin
2
sin
3
sin
88
sin
89
的值
解：设
S
sin
1
sin
2
sin
3
sin
88
sin
89
………….①
将①式右边反序得
2
2
2
2
2
2
2
<
/p>
2
2
2
S
sin
2
89
sin
2
88
sin
2
3
sin
2
2
sin
2
1
…………..②
（反序）
又
因为
sin
x
cos(
90
< br>x
),
sin
2
x
cos
2
x
1
①
+
②得
（反序相加）
2
S
(sin
2
1
cos
2
1
)
(sin
2
2
cos
2
2
)
(sin
2
< br>89
cos
2
89
)
< br>＝
89
∴
S
< br>＝
44.5
2
、
1
2
2
2
3
2
9
2
10
2
2
求和：
2
10
1
2
9
2
2
2
8
2
3
2
2
9
2
1
2
10
2
四、分组法求和
有一类数列，既不是
等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等
比或常见的数
列，然后分别求和，再将其合并即可
.
n
1
1
2
1
<
/p>
x
0
,
x
1
,
y
1
x
x<
/p>
n
2
y
y
y
1
1
1
<
/p>
解
:
原式
=
x
x
2
x
3
x
< br>n
n
y
y
2
y
例
4
、
求和
:
x
x
1
x
n
=
1
x
<
/p>
1
1
1
n
y
y
1
1
y
x
x
n<
/p>
1
y
n
1
=
n
1
n
1
x
y
y
1
1
1
4
,<
/p>
2
7
,
,
n
1
3
n
2
，…
a
a
a
1
1
1
解
：设
S
n
(
1
1
)
(
4
)
(
2
7
)
< br>
(
n
1
3
n
2
)
a
a
a
练习：求数列的前
n
项和：
1
1
,
将其每一项拆开再重新组合得