高二数列专题：数列综合3-放缩通项构造等比数列求和
一世情-
高二数列专题：数列综合
3-
放缩通项构造等比数列
求和
当待证不等式的一端为常数时，
可将另一端对应的数列通项适当放缩，变成等比数列，再通过求和
达到证明的目的。
b
1
(1
q
n
)
b
，其中
b
n
为递缩等比数列。
a
1
a
2
a
n
b
1
b
2
< br>
b
n
1
A
（常数）
1
q
1
q<
/p>
也可以由
A
b
1
出发，找出适当的
b
1
,
q
，构造
b
n
，证明
a
n
b
n
即可。
1
q
当出现放缩过度的情况时，
可调整放缩的起点，从第
k
项开始放缩。上述构造中的
b
n
并非唯一。
一、例题研究：
a
< br>n
1
1
1
．
已知数列
a
n
满足
a
2
，
a
n
(
n
2
,
n
N
)
．
n
7
< br>
1
a
n
1
2
（
1
）求<
/p>
a
1
的值；
<
/p>
1
n
（
2
）求证：数列
1
是等比数列；
a
n
2
(
2
n
1
)
，数列
c
n
的前
n
项和为
T
n
．求证：对任意的
n
N
，
T
n
．
3
2
1
1
a
1
解：
（
1
）由
a
< br>2
和
a
2
解得
a
1
。
<
/p>
7
4
a
1
2
（
3
）设
c
n
a
n
sin
1
1
< br>a
n
1
2
2
n
（
2
）
由已知
a
n
,
<
/p>
得
1
n
a
a
a
1
a
n
1
2
n
n
1<
/p>
n
1
1
2
1
1
n
n
n
1
1
2
1
<
/p>
2[
1
]
.
又
1
3
< br>0
，
a
n
a
n
1
a
n
1
a
1
a
n
1
n
1
n
< br>
1
故
是以
3
为首项，公比为
-2
的等比数列
.
a
n
1
n
（
3
）由（
2
）得
1
(
< br>4
1
)
(
2
)
n
1
3
(
2
)
n
1
.
a
n
1
1
n
3
(
2
)
n
<
/p>
1
1
，
a
n
所以
，
n
n
< br>1
a
n
3
(
2
)
1
(
2
n
1
)
1
1
1
n
< br>
1
c
n
a
n
sin
(
1
)
. <
/p>
n
n
1
n
1
n
1
2
3
2
1
3
2
3
(
2
)<
/p>
1
1
1
[
1
(
)
n
]
2
1
2
2
所以
T
n
3
[
1
(
)
n
]
.
1
3
2
3
1
2
2
（请从
出发构造数列
b
n
。<
/p>
）
3
2
．
（
2012
年广东理）
设数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
满足
2
S
n
a
n
1
2
n
1
1(
n
N
*
)
,
且
a
1
,
a
2
5,
a
3
成
等
差数列
.
(1)
< br>求
a
1
的值
;(2)
求数列
{
a
n
}
的通项公式
.
(3)
证明
:
对一切
正整数
n
,
有
1
1
1
3
<
/p>
a
1
a
2
a
n
2
解：
(1)
2
S
n
a
n
< br>
1
2
n
1
1
,2
S
n
<
/p>
1
a
n
2
2
n
2
1
相减得
:
a
n
2
3
a
n
1
2
n<
/p>
1
2
S
1
a
2
3
a
2
2
a
1
3,
a
3
3
a
2
4
6
a
1
13
a
1
,
a
2
5,
a
3
成等差数列
a
1
a
3
2(
a
2
5)
< br>
a
1
1
(2)
a
1
1,
a
2
5
得
a<
/p>
n
1
3
a
n
2
n
对
n
N
均成立
*
a
n
1
3
a
n
2
n<
/p>
a
n
1
2
n
1
3(
a
n
2
< br>n
)
得
:
a
n
2
n
3(
a<
/p>
n
1
2
n
1
)
3
2
(
a
n
2
2
n
2
)
<
/p>
3
n
1
(
a
1
2)
a
n
3
n
< br>
2
n
(3)
法一：
b
3
1
1
1
1
（令
1
，大胆尝试令
q
,
则
b
1
1
,
于是
b
n
n
1
,
此时只需证明
b
n
n<
/p>
1
就可以了
.
）
a
n
3
1
q
2
3
3
∵
3
n
3
< br>n
1
2
3
n
1
2
2
n
1
2
n
,
∴
3
n
< br>2
n
3
n
1
,
∴
n
1
1
n
1
,
a
n
3
1
1
n
1
1
1
1
1
3
1
<
/p>
3
3
于是
1
< br>n
1
1
. <
/p>
1
a
1
a
2
a
n
3
3
2
3
2
1
3
3
1
3
1<
/p>
法二：
（
q
的选
取并不唯一
,
也可令
q
,
此时
b
< br>1
,
b
n
n
1
,
与选取
q
不同的地方在于
,
当
< br>4
2
2
3
n
1
时
,
1
1
b
n
,
当
n
2
时
,
b
n
,
< br>所以此时我们不能从第一项就开始放缩
,
应该保留前几项
,
之
a
n
a
n
后的再放缩
,
下面给出其证法
.
）
< br>
2
1
3
3
9
5
n
2
时，<
/p>
3
n
2
n
2
n
n
1
,
a
n
2
3
2
4
3
当
n
1
时
,
n
1
3
1
1
< br>1
3
1
;
当
n
2
时
,
1
;
a
1
2
a
1
a
2
5
2
1
1
1
1
1
3
1
<
/p>
.
a<
/p>
1
a
2
a
3
5
19
2
当
n
3
时
,
当
n
< br>
4
时
,