数列求和3：等差乘等比【讲师版】
薛海峰-
数列求和
3
：等差乘等比（错位相减法）
（
A
）
【教学目标】
教学目标
1
：
掌握等差乘等比类型数列求和的知识点。
< br>（难度系数：★★☆☆☆）
教学目标
2
：
通过例题的讲解，
印证教学目标
1
中的
解题方法
（难度系数：
★★★☆☆）
数学目标
1
：
掌握等差乘等比类型数列求和的知识点（也叫“错位相减法”
）
。
等差乘等比型的求和问题在高考题
目中出现频率很高。
这种类型的题目同样具有很明显
的特征，很
容易识别。并且几乎没什么变形，所以只要我们掌握这种类型问题的解题方法，
这种类型
问题就一定要拿分！
这种类型问题的一般形式是这样的：已知
数列
c
n
满足
c
n
<
/p>
a
n
b
n
，其中数列
a<
/p>
n
为
公差为<
/p>
d
的等差数列（
d
0
）
，数列
b
n
为
公比为
q
的等比数列（
q
1
）
，求数列
c
n
的
前
n
项和
< br>C
n
。
根据题设：
C
n
< br>a
1
b
1
a
2
b
2
...
a
n
b
n
，
则根据等比数列性质，将上式两边乘以公比
q
：
qC
n
a<
/p>
1
b
2
a
2
b
3
...
a
n
b
n
1
两式做差：
1
q
C
n
a
1
b
1
a
n<
/p>
b
n
1
d
b
2
b
3
...
b
n
a
1
b
1
a
n
b
n
<
/p>
1
1
q
n
1
1
q
n
1
db
1
< br>q
，故
C
n
。
1
q
<
/p>
C
n
a
1
b
1
a
n
b
n
1
db
< br>1
q
2
1
q
1
q
1
q
最终结论公式较为复杂，不过我们没必
要强硬记忆，我们只需要掌握这种方法。
我一直强调同学要对
问题有一种感性的认识，
或者说有一种形象化的认识。
在讲解等
差
数列求和的时候我就将梯形求面积引入。那么对于这种问题，我们也可以将
C
n
a
1
b
1
a
2
b
2
..
.
a
n
<
/p>
b
n
变形，由于
a
k
a
1<
/p>
k
1
d
，故我们可以
将
C
n
整理成如
下形式：
图
1
等差乘等比型数列另一种写法
将
C
n
写成这种形式后，我们就又有了
一种新的做法：
C
n
a
1
b
1
b
2
...
b
n
<
/p>
d
b
2
b
3
...
b
n
d
b
3
...
b
n
...
d
b
n
1
b
n<
/p>
db
n
n
2
2
1
q
n
< br>
1
1
q
n
1
q
2
1
q
n
2
1
q
a
1
b
< br>1
d
b
1
q
b
1
q
...
b
1
q
b
1
q
n
1
1
q
1
< br>
q
1
q
1
q
1
q
n
2
2
1
q
n
1
1
< br>
q
n
1
q
2
1
q
n
2
1
q
a
1
b
1
d
< br>b
1
q
b
1
q
.
..
b
1
q
b
1
q
n
1
1
q
1
q
1
< br>
q
1
q
1
q
q
q
n
q
2
q
n
1
q
n
q
< br>n
2
q
n
q
n
1
q
n
a
1
b
1
db
1
...
1
q
1
q
1
q
1
q<
/p>
1
q
1
q
n
q
q
2
...
q
n
1
q
n
n
q
n
<
/p>
a
1
b
1
db
1
1
q
1
q
1
< br>q
n
1
q
n
n
q
n
a
1
b
1
db
1
q
db
1
2
1
q
1
< br>q
1
q
这种做法计算量较大，
不适合在
实际题目中应用，
不过这种做法为我们展示了等差乘等
比数列求
和的本质。而第一个介绍的方法，将
C
n
乘以公比，实际上是将图
1
中的写法向上
移了一行，然后做差。
接下来我们通过例题感受知识点。
数学目标
2
：
通过例题的讲解，印证教学目标
1
中的
解题方法
例
1
、
（
2013
江西南昌市八一、洪都
高一下）已知数列
是公比为
的等比数列，
（
1
）求数列
（
2
）求数列
【解答】
（
1
）∵
∴
∴
∵
解得
当
∴
当
∵
∴
（
2
）∵
是
和
或
时，
.
∴
时，
符合
；
，
,
,
,
,
从而
的
等比中项∴
,
，
不是等比数列，
< br>是
和
的等比中项
.
的前
项和为
，数列
的通项
公式；
的前
项和
.
是公比为
的等比数列，
,
，
，
,
∴
T
n<
/p>
1
1
2
2
1
3
2
2
...
n
2
n
1
,
①
2
T
n<
/p>
1
2
1
2
2
2
3
2
3
...
n
2
n
,
②
①
②得
T<
/p>
n
1
2
2
...
2
∴
T
n
n
1
2
1
n
2
n
1
n
2
n
1
1
< br>n
2
n
1
教
学提示：
本题第二问是典型的等差乘等比求和，应用的解题方法也是我们在教学目标
1
中给出的标准做法。
例
2
、
（
2013
湖北
省八校高三）已知数列
中，
，
.
（
1
）求数列
（<
/p>
2
）
若数列
对一
切
的通项公式；
满足
恒成立，求
，
数列
的取值范围
.
，∴
，
的前
项和为
，
若不等式
【解答】
（
1
）由题意知，
∴
，∴
.
（
2
）
，
，
，两式相减得
，
∴
∵
时，
数时，
，
<
/p>
，
∴
对一切正奇数成立，∵
对一切正偶数成立，∵
n
1
为单调递增数列，
①当
为正奇数
，即
；②当
为正偶
.
，∴
，∴
.
综合①②知
1
< br>教学提示：
本题第二问求出
b
n
n
2
0
，
便可知道本题是
“等差乘等比”
类型求和。
n
1
1
本题第二问特意比较了一下
T
n
的单调性，
实际上没必要，
因为
b
n
n
2
必然严格单调递增。
则
T
n
0
，
例
3
、
（
2013
湖北省荆州市
10
月高三月考）已知
．数列
的等比数列．
(1)
求数列
(2)
< br>若
的通项公式；
，求数列
的前
项和
．
，
，
，
是一个公差大于
的等差数列
,
且满足
，
…
，
是首项为
，公比为
【解析
】
(1)
解
:
设等差数列
由
且
的公差为
得
；
,
< br>则依题知
(2)
由（
1
）得：
b
1
=1
，当
n≥2
时，
（<
/p>
）
．
，
因而
，
．
<
/p>
∴
令
则
①
-
②得：
①
②
∴
．∴
．
<
/p>
教学提示：
可以看到本题第二问得到
T<
/p>
n
1
3
5
2
n
1
1
2
3
...
n
后仍然是按照乘以公比
3
3
3
3
3
来做，实际上如果直接乘以
1
1
3
5
2
n
1
，即
3
< br>T
n
0
1
2
...
n
1
计算量会稍小，同样也
3
3
3
3
q
能解决问题。
就像教学目标
1
中说的，
乘以公比是向上移动一行。
那么除以公比就是向下移<
/p>
动一行，同样可以解决问题。同学千万不要拘泥于固定的解题形式，而是要掌握本质，
灵活
运用。
<
/p>
例
4
、
（
2011-2012
新疆乌鲁木齐高一下学期期中测试）设等比数列<
/p>
首项
（
1
）求<
/p>
，前
n
项和为
，
且
的前
n
项和
得
因为
，因而
>0,
所以
的各项均为正值，
的通项；
（
2
）求
【解析】
（
1
）由
即
可得
解得
（
2
）
故
的前
n
项和
两式相减得
即
教学提
示：
本题最后一问利用分组求和结合错项相消法。
例
5
、
（
2012
广州
省连州中学高三
10
月月考）已知定义在
，且对任意
有
．
< br>上的函数
满足
（Ⅰ）判断
（Ⅱ）
令
在
，
上的奇偶性，并加以证明．
，求数列
的通项公式．
（Ⅲ）设
为
的前
项和，若<
/p>
对
恒成立，求
的最大值．
【答案】
（Ⅰ）
．
对任意
有
…………
①<
/p>
令
令
得
由①得
有
；
，
用
替换上式中的
在
（Ⅱ）
．
上为奇函数．
满足
，则必有
否则若
则必有
，依此类推必有
，矛盾
，又
是
为首
项，
为公比的等比数列，
（Ⅲ）
．