数列求和 专题
名人读书名言-
高考数学二轮专题经典训练（附自学辅导经典解析）
数列求和
1
、裂项相消求和
例
1
：
已知公差不为
0
的等差数列
{
a
n
}
中，
a
1
2
，
且
a
2
1
，
a
4
1
，
a
8
1
成等比数列．
（
1
）求数列
{
a
n
}
的通项公式；
（
2
）设数列
{
b
n
}
满足
b
n
整数的值．
【答案】（
1
）
a
n
3
n
1
；（
2
）
20
．
【解析】
（
1
）
由题意可得
(
a
4
1)
2
(
a
2
1)(
a
8
1)
，
即
(3
3
d
)
2
(3
d
)(3
7
d
)
，
解得
d
3
，
则
a
< br>n
a
1
(
n
1
)
d
2
<
/p>
3(
n
1)<
/p>
3
n
1
．
（
2
）
b
n
b
1
b
2
b
2
b
3
3
3<
/p>
9
1
1
3(
)
，
，
b
n
b
n
< br>1
a
n
3
n
1
(
3
n
1)(3
n
2)
3
n
1
3
n<
/p>
2
3
，求适合
方程
b
1
b
2
b
2
b
3
a
n
b
n
b
n
1
< br>45
的正
31
1
1
1
1
b
n
b
n
1
3(
2
5
5
8
1
1
1
1
45
)
3
(
)
，
3
n
1
3<
/p>
n
2
2
3
n
2
31
解得
n
20
．
2
、错位相减求和
例
2
：已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和
为
S
n
，
a<
/p>
1
1
，
a
n
1
2
S
n
1(
n
< br>N
)
，等差
< br>
数列
{
b
n
}
中，
b
n
0(
n
N
)
，且
b
1
b
2
b
3
15
，
3
，
b
4
，
27
成等比数列．
（
1
）求数列
{
a
n
}
、
{
b
n
}
的通项公式；
（<
/p>
2
）求数列
{
a
n
b
n
}
的前
n
项和
T
n
．
高考数学二轮专题经典训练（附自学辅导经典解析）
【答案】
（
1
）
a
n
<
/p>
3
n
1
(
n
N
)
，
b
n
2
n
1(
n
N
)
；
（
2
）
T
n
n
3
．
n
【解析】
（
1
）∵
a
1
1
，
a
n
< br>1
2
S
n
1(
n
N
)
，∴
a
n
2
S
n
1
1(
n
N
,
n
1)
，
∴
< br>a
n
1
a
n
2
(
S
n
S<
/p>
n
1
)
，即
a
n
1
a
n
2
a
n
< br>，∴
a
n
1
3
a
n
(
n
N<
/p>
,
n
1)
，
而
a
2
2
a
1
1
< br>
3
，∴
a
2
3
a
1
，
∴数列
{
a
n
}
是以
1
为首项，
3
为公比的等比数列，
∴
a
n
3
n
1
(
n
N
)
．
在等差数列
{
b
n
}
中，∵
b
1
b
2
b
3
<
/p>
15
，∴
b
2<
/p>
5
，
又
3
，
b
4
，
27
成等比数列，得
b
4
9
，
又
b
n
0
，故公差
d
0
，所以
b
4
9
，
d
2
，
又
b
2
5
，∴
b
n
2
n
1(<
/p>
n
N
)
．
2
（
2
）由（
1
）知
T
n
3
1
5
< br>
3
7
3
(
2
n
1)
3
n
2
(2
n
1)3
n
1
①，
∴
3
T
n
3
3
5
< br>
3
2
7
3
3
(2
n
<
/p>
1)3
n
1<
/p>
(2
n
1)3
n
②，
<
/p>
2
3
n
1
(2
n
1)3
n
2
3
∴①－②得
2
T
n
3
1
2
3
< br>
2
3
2
3
3
2
(
3
3
3
2
3
3
< br>3
n
3
)
(2
n
1)3
3
2
1
<
/p>
3
n
1
n
(2
n
1)3
n
3
n
(2
n
1)3
n
2
n
3
n
，
n
∴
T
n
n
3<
/p>
．
3
、分组求和
*
例
3
：已知数列
{
a
n
}
，
S
n
是其前
n
项的和
，且满足
3
a
n
2
S
n
n
(
n
N
)
．
（
1
）求证：数列
{
a<
/p>
n
}
为等比数
列；
（
2
）
记
T
n
S<
/p>
1
S
2
S
n
，求
T
n
的表达式．
1
2
高考数学二轮专题经典训练（附自学辅导经典解析）
【答案】（
1
）证明见解析；（
2
）
T
3
n
2<
/p>
9
n
2
4
n
8
n
4
．
【解析】（
1
）∵
3
a
n
2
S
n
< br>
n
，∴
3
a
n
﹣
1
2
S
n
﹣<
/p>
1
n
1(
n
2)
，
两式相减得
3<
/p>
(
a
n
a
n
﹣
1
)
2
a
n
1(
n
< br>
2)
，
∴
a
1
n
3
a
n
﹣<
/p>
1
1
(
n
2
)
，∴
a
n
3
(
a
< br>1
2
n
﹣
1
2
)
，
又
a
1
1
2
3
2
，∴数列
{
a
1
3
n
2
}
是以
2
为首项，
3
为公比的等比
数列．
（
2
）由（
1
）得
a
1
3
1
1
1
1
n
2
2
3
n
﹣
1
2
3
n
，∴
a
n
2
3
n
2
2
(
3<
/p>
n
﹣
1
)
，
∴
S
1
1
3(1
3
n
)
3
n
1
2
n
n
2
[(
3
3
3
)
n
]
2
(
1
3
n
)
3
4
< br>
n
2
，
∴
T
1
2
3
n
n
S
1
S
2
S
n
(3
3
3
3
n
3
n
1
)
4
1
4
2
(1
2
n
)
1
3
2
(1
3
n
)
3
n
(1<
/p>
n
)
n
3
n
2
9
n
2
4
1
3
4
4
8
<
/p>
4
n
4
．
一、解答题
1
．设等差数列
{
a
n
b
n
}
的公差为
2
，等比数列
{
a
n
b
n
}
的公比为
2
，且
a
1
2
，
b
< br>1
1
．
（
1
）求数列
{
a
n
}
的通项公式；
（
2
< br>）求数列
{2
a
n
2
n
}
< br>的前
n
项和
S
< br>n
．
【答案】（
1
）
2
n
< br>
1
3
2
n
1
a
n
；（<
/p>
2
）
S
n
5
2
n
n
2
2
5
．
高考数学二轮专题经典训练（附自学辅导经典解析）
【解析】（
1
）因为
a
1
2
，
b
1
1
，所以
a
1
b
1
1
，
a
1
b
1
3
，
依题意可得
a
n
b
n
1
< br>2(
n
1)
< br>
2
n
1
，
a
n
b
n
3
2
n
1
，
2
n
1
< br>3
2
n
1
故
a
n
．
2
（
2
）由（
1
）可知
2
a
n
2
n
2
n
1
5
2
< br>n
1
，
故
S
n
(
1
3
2
n
1
)
5
(
1
< br>
2
2
n
1
)
5
2
n
n
2
5
．
n
(1
2
n
1)
< br>
5
(2
n
1)
2
2
．已知等差数列
{
a
n
}
中，
a
1
1
，且
a
1
，
a
2
，
a
4
2
成等比数列．
（
1
）求数列
< br>{
a
n
}
的通项公式及前
n
项和
S
n
；
（
2
）设
b
n
< br>
2
(
1)
a
，求数列
{
< br>b
n
}
的前
2
n
项和
T
2
n
．
n
n
【答案】（
1
）
a
n
2
n
1
，
S
n
n
2
；（
2
）
T
2
n
【解析】（
1
）设等差数列
{
a
n
}
的公差
为
d
，
8<
/p>
1
(16
n<
/p>
n
)
．
15
16
∵
a
1
1
，且
a
1
，
a
2
，
a
< br>4
2
成等比数列，∴
a
2
2
a
1
(
a
< br>4
2)
，
即
(1
d
)
2
1
(1
3<
/p>
d
2)
，解得
d
2
或
d
1
．
当
d
1
时，
a
2
0
，不合题意，舍去，∴
d
2
，
∴
a
n
1
2(
n
1)
2
n
< br>1
，
S
n
n
n
n
(
a
1
a
n
)
n
n
2
．
2
（
2
）∵
b
n
2
(
1)
a
2
(
1
)
(2
n
1
)
，
b
n<
/p>
2
2
2
n
3
b
n
2
2
(2
n
< br>3)
1
2
n
1
16
；当
n
为奇数时，
(2
n
< br>
1)
，
∴当
n
为偶数时，
b
n
2
b
< br>n
2
16
∴数列
{
b
n
}
的奇数项是以
为首项，
1
2
1
为公比的等比数列；
16
偶数项是以
8
为首项，
16
为公比的等比数列，
高考数学二轮专题经典训练（附自学辅导经典解析）
∴数列
{
b
n
}
的前
2<
/p>
n
项的和
T
2<
/p>
n
(
b
1
b
3
b
5
b
2
n
1
)
(
b
2
b<
/p>
4
b
6
b
2
n
)
1
1
(
)
[1
(
)
n
]
8
(
1
16
n
)
8
1
2
16<
/p>
(16
n
n
)
．
1
1
16
15
16
1
16
a
n
an
b
，
3
< br>．
已知函数
f
(
x
)
log
3
(
ax
< br>b
)
的图像经过点
A
(2,1)
和
B
(5,<
/p>
2)
，
n
N
*
．
（
1
）求
a
n
；
（
2
）
设数列
{
a
n
}
的前
< br>n
项和为
S
n
< br>，
b
n
2
n
2
s
n
，
求
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
．
【答案】（
1
）
a
n
2
n
1
，
n
N
< br>*
；（
2
）
T
n
2
n
1
n<
/p>
2
n
2
．
【解析】（<
/p>
1
）由函数
f
(
x
)
log
3
(
ax
<
/p>
b
)
的图象经过点
A
(2,1)
和
B
< br>(5,
2)
，
log
3
(2
a
b
)
< br>
1
a
2
得
，
解得
，
l
og
(5
a
b
)
2
b<
/p>
1
3
所以
a
n
2
n
1
，
n
< br>
N
*
．
（
2
）由（
1
）知数列
{
a
n
}
为以
1
为首项，
2
为公差的等差数列，
<
/p>
所以
S
n
n
n
(
n
1)
2
n
2
，得
b
n
< br>2
n
2
2
S
n
2
n
2
n
，
∴
T
n
(2
1
2
1
)
(2
< br>2
2
2
)
(2
3
2
3
)<
/p>
2
(1
2
3
n
)
(2
1
2
2
2
3
2
n
)
<
/p>
(2
n
2
n
)
(1
n
)
n
2(1
2
n
)
2
2
n
1
n
2
n
<
/p>
2
．
2
1
2
4
．在数列
{
a
n
}
中，
a
1
4
，且
na
n
1
(
n
1)
< br>a
n
2
n
2
2
n
．
a
n
{
（
1
）证明：数
列
}
是等差数列；
< br>n
1
{
（
2
）求数列
a
}
的前
n
项和
S
n
．
n