错位相减求和
筷子兄弟的父亲-
错位相减求和及其应用
对于等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
a
1
< br>
a
2
a
3
a
n
，根据等比数列的通项公式，
S
n
a
1
a
1
q
a
< br>1
q
2
a
1
q
n
1
①
如果用公比
q
乘①的两边，可得
qS
n
a
1
q
a
1
q
< br>
a
1
q
2
n
1
a
1
q
n
②
①与②的右边有很多相同的项，用
①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，
a
1<
/p>
(1
q
n
)
得
(1
q
)
S
n
a
1
a
1
q
，
当
q
1
时，
等比数列的前
n
项和的公式为
S
n
（
q
1
）
1
q
< br>n
上述推导等比数列前
n
项和公
式的方法就是错位相减法，
其实错位相减法是一种常用的
数列求
和方法，
应用于等差数列与等比数列相乘的形式，
借助错位相减
把这种形式数列的求
和转化为等比数列求和，比如：
{
c
n
}
为公比为
q
例
1.
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
b
n
c
n
，
其中
{
b
n
}
为公差为
d
的等差数列，
（
q
1
）的等比数列
，求数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
由于
S
n
b
1<
/p>
c
1
b
2
c
2
b
3
c
3
b
n
1
c
n<
/p>
1
b
n
c
n
①
用等比数列
{
c
n<
/p>
}
的公比
q
乘①
的两边，可得：
qS
n
b
1
< br>c
2
b
2
c
3
b
n
2
c
n
1
b
n
1
< br>
c
n
b
n
c
n
1
②
用①的两边分别减去②的两边，而
且让①的右边的最后一项减②的右边的倒数第二项，
依次错一位相减，可得：
(1
q
)
S
n
< br>b
1
c
1
d
c
2
d
c
3
d
c
n
1
< br>d
c
n
b
n
c
n
1
③
c
2
(1
q
n
1
)
b
n
c
n
1
则
(1
q
)
S
n
b
1
c
1
d
(
c
2
c
3
c
< br>n
1
c
n
)
b
n
c
n
1
b
1
c
1
d
1
< br>
q
b
1
c
1
d
c
2
(1
<
/p>
q
n
1
)
b
n
c
n
1
b
n
c
1
(
q
1)
d
c
1
n
b
1
c
1
(
d
b
1
)
c
2
< br>
q
故
S
n
1
q
(1
q
)
2
1
q
(1
q
)
2
(1
q
)
2
若等差数列
{
b
n
}
中
b
1
d
，则③式可化为
d
c
1
(1
q
n
)
< br>(1
q
)
S
n
d
(
c
1
c<
/p>
2
c
3
c
n
1
c
n
)
b
n
c
n
1
<
/p>
b
n
c
n
1
1
q
d
c
1
(1
< br>
q
n
)
b
n
c
n
1
b
n
c
1
(
q
1)
d
c
1
n
d
c
1
q
故
S
n<
/p>
(1
q
)
2
1
q
(1
q
)
2
(1
q
)
2
< br>我们知道，
等差数列的通项公式可以看成关于
n
的一次函数，
从上面过程来看，
错位相