数列求和方法大全例题变式解析标准答案——强烈推荐
舌尖上的味道-
1.7
数列前
n
项和求
法
知识点一
倒序相加法
特征描述：此种方法主要针对类似等差数列中
a
n
a
1
a
n
1
a
2<
/p>
,
具有这样特点的数列．
思考：你能区分这类特征吗？
知识点二
错位相减法
特征描述：此种方法主要
用于数列
{
a
n
b
n
}
的求和，其中
{
a
n
}
为等差数列，
{
b
n
}
是公比为
q
的等比数列，
只需用
S
n
qS
n
便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论
q=1
和
q
≠
1
两种
情况．
思考：错位时是怎样的对应关系？
知识点三
分组划归法
特征描述：此方法主要用
于无法整体求和的数列，例如
1
，
1<
/p>
1
1
1
，
1
，……，
2
2
4
1
1
1
1
+
< br>……
+
n
1
，可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和，再综
2
4
2
合求出所有项的和．
思考：求出通项公式后如何分组？
知识点四
奇偶求合法
特征描述：此种方法是针对于奇、偶数项，要讨论的数列
例如
S
n
1
3
5
7
思考：如何讨论？
1 / 13
< br>(
1)
n
1
(2
n
1)
，
要求
S
n
，
就必须分奇偶来讨论，
最后进行综合．
知识点五
裂项相消法
特征描述：此方法主要针
对
1
1
<
/p>
a
1
a
2
a
2
a
3
1
a
n
1
a
n
这样的求和，其中
{a
n
}
是等差数列．
思考：裂项公式你知道几个？
知识点六
分类讨论法
特征描述：
此方法是针对数列
{
a
n<
/p>
}
的其中几项符号与另外的项不同，
而求
各项绝对值的和的
问题，主要是要分段求
.
思考：如何表示分段求和？
考点一
倒序相加法
例题
1
：
等差数列求和
S
n
a
1
< br>
a
2
0
1
2
n
n
变式<
/p>
1
：
求证：
C<
/p>
n
3
C
n
5
C
n
(
2
n
1
)
C
n
(
n
1<
/p>
)
2
a
n
变式<
/p>
2
：
数列求和
s
in
2
1
s
in
2
2
s
in
2
3
考点二
错位相减法
2
例题
2
：
试化简下列和式：
S
n
1
2
x
< br>
3
x
sin
2
89
nx
n
1
(
x
0)
变式
1<
/p>
：
已知数列
1
,
3
a
,
5
a
,
,
(
2
n
1
)
a
2 / 13
2
n
< br>
1
(
a
0
)
，求前
n
项和。
变式
2
：
求数列
a
,
2
a
2
,3
a
3
,
,
na
n
,
；的
前
n
项和
变式
3<
/p>
：
求和：
S
1<
/p>
n
a
2
3
n
a
2
a
3
a
n
考点三：分组划归法
例三：
求数列
1
，
1
1
2
，
1
1
< br>1
1
1
1
2
4
，……，
1
2
4
+
……
+
2
n
1
的和<
/p>
.
变式
1
：
5
，
55
，
555
，
5555
，…，
5
9
(10
n
1)
，…；
变式
2
：
1
3,2
4,3<
/p>
5,
,
n
(
n
2),
；
变式
3<
/p>
：
数列
1,(1+2),(1+2+2<
/p>
2
),
……
(1
+2+2
2
+
…
+2
n
－
1
),<
/p>
……前
n
项的和是
A
．
2
n
B
．
2
n
－
2
C
．
2
n+
1
－
n
－
2
D
．
n2
n
考点四：奇偶求合法
例四：
S
n
1
3
5
< br>
7
(
1)
n
1
(2
n
1)
3 / 13
）
（
n
1
S
…
（
-1
）
（
4
n-3
）
n
N
n
变式
1
：
求和：
变式<
/p>
2
：
已知数列
{
a
n
}
中
a<
/p>
1
=2
，
a
n
+a
n+1
=1
，
S
n
为
{a
n
}
前
n
项和，求
S
n
变式
3
：<
/p>
已知数列
{a
n
}
中
a
1
=1
，
a
2
=4<
/p>
，
a
n
=a
n-2
+2
（
n
≥
3
）
，
S
n
为
{a
n
}
前
n
项和，求
S
n
考点五：裂项相消法
例五：
{a
n
}
为首项为
a
1
,
公差为
d
的等差数列，求
S
n
1
1
1
a
1
a
2
a
2
a
3
a
3
a
4
< br>
1
a
n
1
a
n
变式
1
：
变式<
/p>
2
：
数列通项公式为
a
n
1
1
1
,
,
,
1
3
2
4
3
< br>5
,
1
,
n
(
n
2
)
；
1
n<
/p>
n
1
；求该数列前
n
项和
2
2
4
2
(
2
n
)
2
变式
3
：
：
求和
S
n
< br>
1
3
3
5
(
2
n
1
)(
2
n
1
)
4 / 13
考点六：分类讨论法
例六：
在公差为
d
的等差数列
{a
n
}
中，已知
a
1
＝
10
，且
a
1
，
2a
2
＋
2
，
5a
3
成等比数列．
< br>
(1)
求
d
< br>，
a
n
；
(2)
若
d<0
< br>，求
|a
1
|
< br>＋
|a
2
|
＋
|a
3
|
＋…＋
|a
n
|.
变式<
/p>
1
：
在等差数列
{
a
n
}
中，
a
16
a<
/p>
17
a
18<
/p>
a
9
36
,
其前
n
项和为
S
n
.
（
1
）求
S
n
的最小值，并求出
S
n
的最小值时
n
< br>的值；
（
2
< br>）求
T
n
a
1
a
2
a<
/p>
n
.
变
式
2
：
设
数
列
{
a
n
}
满
足
a
< br>1
5
,
a
n
1
2
a
n
3
n
1
，
已
知
存
在
常
数
< br>p
,
q
使
数
列
{
a
n
pn
q<
/p>
}
为等比数列
.
求
a
1
<
/p>
a
2
a
n
.
变式
3
：
已知等比
数列
{
a
n
}
中，
a
1
=6
4
，
q=
5 / 13
1
，设
b
n
=log
2
a
n
，求数列
{|
b
n
|}
的前
n
项和
S
n
.
2
答案及解读
考点一
例一：
等差数列求和
S
n
a
1
a
2
<
/p>
a
1
(
a
1
d
)
a
n
[
a
1
(
n
1)
d
]
①
把项的次序反过来，则：
S
n
a
n
(
a
n
< br>
d
)
①
+
②得：
[
a
n
(
n
1)<
/p>
d
]
②
n
个
2
S
n
a
1
a
n
(
a
1
a
n
)<
/p>
n
(
a
1
a
n
)
(
a
1
a
n
)
S
n
n
(<
/p>
a
1
a
n
)
2
变式
1
：
m
n
m
< br>思路分析：由
C
n
C
n
可用倒序相加法求和。
0
1
2
n
证：令
S
n
C
n
3
C
n
5
C
n
(
2
n
< br>
1
)
C
n
(
1
)
(
2
)
n
n
1
2
1
0
则
S
n
(
< br>2
n
1
)
C
n
(
2
n
1
)
C
n
5
C
n
3
C
< br>n
C
n
m
n
m
C
n
C
n
0
1
2
n
(
1
)
(
< br>2
)
有
:
2
S
n
(
2
n
2
)
C
n
(
2
n
2
)
C
n
< br>
(
2
n
2
)
C
n
(
2
n
2
)
C
n
0
1
2
n
< br>
S
n
(
n
1
)
[
C
n
C<
/p>
n
C
n
C
n
]
(
n
1
)
2
n
等式成立
变式
2
：
<
/p>
2
2
2
sin
2
89
，
设
S
sin
1
sin
2
sin
3
2
2
2
sin
2
1
，
又∵
S
sin
89
sin
88
sin
87
∴
2
S
89
，
S
考点二
例二：
89
．
2<
/p>
S
n
1
2
x
3
x
2
nx
n
< br>1
(
x
0)
6 / 13