全国名校高考数学一轮复习优质专题汇编(知识点详解附专题训练) 数列求和之并项求和与分组求和法
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全国名校高考数学一轮复习优质专题汇编（知识点详解附专题训练）
第
4
节
并项求和与分组求和法
【基础知识】
1
．分组转化求和法：有一类数列
错误！未找到引用源。
，它
既不是
等差数列，也不是等比数列，但是数列
错误！未找到引用
源。
是等差
数列或等比数列或常见特殊数列，
< br>则可以将这类数列适当拆开，
可分
为几个等差、等比数列
或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合
并即可
.
2
．并项求和法：一个数列的前
n
项和中，可两两结合求解，则称之
为并项求和．形如
a
n
1
f
n
类型，可采用两项合并求解．例如，<
/p>
S
n
100<
/p>
2
99
2
98
2
97
2
2
2
1
2
100
99
98
97
n
2
1
5050
.
【规律技巧】
常见可以使用公式求和的数列：
(1)
等差数列、等比数列
以及由
等差数列、
等比数列通过加、
减
构成的数列，
它们可以使用等差数列、
等比数列的求和公式求解
；
(2)
奇数项和偶数项分别构成等差数列或
< br>等比数列的，
可以分项数为奇数和偶数时，
分别使用等差
数列或等比
数列的求和公式．
【典例讲解】
【例
1
】
<
/p>
设数列
{
a
n<
/p>
}
满足
a
1
＝
2
，
a
2
＋
a
4
＝
8
，且对任意
n
∈
N
*
，
π
函数
f
(
x
)
＝
(
a
n
－
a
n
＋
1<
/p>
＋
a
n
＋
2
)
x
＋
a
n
＋
1
cos
x
－
a
n
＋
2
sin
x
满足
f
′
2
＝
< br>0.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
1
(2)
若
b
n
＝
2
a
n
＋
2
a
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
n
< br>
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【变式探究】
在等差数列
{
a
n
}
中，已知公差
d
＝
2
，
a
2
是
a
1
与
a
< br>4
的等比中项．
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
n
（
n
＋
1
）
n
(2)
令
b
n
＝
a
，记
T
n
＝－
b
1
＋
b
2
－
b
3
< br>＋
b
4
－
…
＋
(
－
1
)
b
n
，
2<
/p>
求
T
n
.
【针对训练】
1
、求数列的前
n
项和：
1
1
,
4
,
1
< br>1
1
7
,
,
3
n
2
，
…
2
n
1
a
a
a
1
< br>1
1
解：设
S
< br>n
(
1
1
)
(
4
)
(
2
7
)
(
n
< br>
1
3
n
2
)
a
a
a
将其每
一项拆开再重新组合得
S
n
(
1
1
1
1
< br>2
n
1
)
(
1
4
7
3
n
< br>2
)
a
a
a
（分组）
当
a
＝
1
时<
/p>
，
S
n
n
(
3
n
1
)
n
2
＝
(
3
n
1
)
n
2
（分组求和）
1
n
a
a
1
n
(<
/p>
3
n
1
)
n
(
3
n
1
)
n
a
当
a
1
时，
S
n
＝
1
2
a
1
2
1
a
1
2
、
求数列
{n(n+1)
(2n+1)}
的前
n
项和
.
解：设
a
k
k
(
k
1
)(
2
k
1
)
2
k
3
3
k
2
<
/p>
k
∴
S
n
k
(
k
1
)(
2
k
1
)
＝
(
2
k
3
3
k
2
k
)<
/p>
k
1
k
1
n
n
将其每一项拆开再重新组合得
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题汇编（知识点详解附专题训练）
S
n
＝
2
<
/p>
k
3
k
k
3
2
k
1
k
1
k
1
n
n
n
（分组）
＝
2
(
1
3
2
3
n
3
)<
/p>
3
(
1
2
2
2
n
2
)
(
1
2
<
/p>
n
)
＝
n
2
(
n
1
)
2
n
(
n
< br>1
)(
2
n
1
)
n
(
n
1
)<
/p>
2
2
2
（分组求和）
n
(
n
1
)
2
(
n
2
)
＝
2
【巩固提升】
1
1
．数列
{
a
n
}
满足
a
n
＋
a
n
＋
1
＝
2
(
n
∈
N
*
)
，且
a
1
＝
1
，
S
n
是数列
{
a
n
}
的前
n
< br>项和，则
S
21
＝
(
)
21
A.
2
B
．
6
C
．
10
D
．
11
2
．
已知函数
f<
/p>
(
n
)
＝
n
2
cos(
n
π)
，
且
a
n
＝
f
(
n
)
＋
f
(
n
＋
1)
< br>，
则
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
…
＋
a
100
＝
(
)
B
．
0
A
．－
100
C
．
100
D
．
10 200
< br>1
3
．
（
2013·
湖南卷）
设
S
n
为数列
{a
n
}
的前
n
项和，
S
n
＝
(
－
1)
n
a
n
－
2
n
< br>，
n
∈
N
*
，则
(1)a
< br>3
＝
________
；