余数问题教师版
本周-
余数问题
余数问题
(
教师版
)
知识精讲
一、带余除法的定义及性质
一般地，
如果
a
是整数，
b
是整数（
b
≠0
）
,
若有
a
÷
< br>b
=
q
……
r
，也就是
a
＝
< br>b
×
q
＋
r
,
0≤
r
＜
b
；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：<
/p>
(1)
当
r<
/p>
0
时：我们称
a
可以被
b
整除，
q
称为
a
除以
b
的商或完全商
(2)
当
r
0
时：我们称
a
不可以被
b<
/p>
整除，
q
称为
a
除以
b
的商或不完全商
一个完美的带余除法讲解模型
:
< br>这是一堆书，共有
a
本，这个
a
就可以理解为被除数，现在要求按照
b
本一捆打包，那么
b
就是除数的角色，经过打包后共打包了
c
捆，那么这个
c
就是商，最后还剩余
d
本，这个
d
就是余数。
二、三大余数定理：
1.
余数的加法定理
a
与
b
的和除以
c
的余数，等于
a
，
b
分别除以
c
的余数
之和，或这个和除以
c
的余数。
例如：
23
，
16
除以
5
的余数分别是
< br>3
和
1
，所以
< br>23+16=39
除以
5
的余数
等于
4
，即两个余数的和
3+1. <
/p>
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以
c
的余数。
例如：
2
3
，
19
除以
5
的余数分别是
3
和
< br>4
，所以
23+19=42
除以
5
的余数等于
3+4=7
除以
5
的余数，即
2
。
2.
余数的乘法定理
a
与
b
的乘积除以
c
的余数，等于
a
，
b
分别除以
c
的余
数的积，或者这个积除以
c
所得的余数。
例如：
23
，
16
除以
5
的余数分别是
3
和
1
，所以
23×
16
除以
5
的余数等于
3×
1=3
。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除
以
c
的余数。
1
/
6
余数问题
(
教师版
)
例如：
23
，
19
除以
5
的余数分别是
3<
/p>
和
4
，所以
23
×
19
除以
5
的余数等于
3×
4
除以
5
的余数，即
2.
3.
同余定理
若两个整数
a
、
b
< br>被自然数
m
除有相同的余数，
那
么称
a
、
b
对
于模
m
同余，
用式子表示为：
a
≡
b
(mod
m
)
，
左边的式子叫
做同余式。
同余式读作：
a
同余于
b
，模
m
。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：
若两个数
a
，
b
除以同一个数
m
得到的余数相同，则
a
，
b
的差一定能被
m
整除。
用式子表
示为：如果有
a
≡
b
< br>(mod
m
)
，那么一定有
a
－
b
＝
mk
，
k
是整数，即<
/p>
m
|(
a
－
b
)
经典例题
a
去除
1992
，得到商是
46
，余数是
r
，求
a
和
r
．
【例
1
】用某自然数
【
解析】
因
为
1992
是
a
的
46
倍还多
r
,
得到
1992
46
43......14
，得
1992
46
< br>43
14
，所以
a
43
，
r
14
．
< br>
【例
2
】甲、乙两数的和是<
/p>
1088
，甲数除以乙数商
11
余
32
，求甲、乙两数．
【解析】
(
法
1)
因为甲
< br>乙
11
32
，所以甲
乙
乙
11
< br>
32
乙
乙
12
32
1088
< br>；
【解析】
则
乙
(1088
32)
12
88
，甲
1
088
乙
1000
．
【解析】
(
法
2)
将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从<
/p>
1088
中减掉
32
以后，
1056
就应当是
乙数的<
/p>
(11
1)
倍
，所以得到乙数
1056
12
88
，甲数
1088
88
1000
．
【例
3
】一个两位数除
310
，余数是
37
，求这样
的两位数。
【解析】
本
题为余数问题的基础题型，
需要学生明白一个重要
知识点，
就是把余数问题
---
即“不
整除问题”
转化为整除问题。
方法为用被除数减去余数，
即得到一个除数的倍数；
或者是用被除数加上一个“除
数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。
本题
中
310-37=273
，说明
273
是所求余数的倍数，而
273=3×7×13，所求的两位数约
数还要满足比
37
大，
符合条件的有<
/p>
39
，
91.
【例
4
】有两个自然数相除，商是
17
，余数是
13
，已知被除数、除数、商
与余数之和为
2113
，则被除数是
2
/
6
余数问题
(
教师版
)
多少？
【解析】
被
除数
除数
商
余数
被
除数
除数
+17+13=2113<
/p>
，所以被除数
除数
=2083
，由于被除数是除
数的
17
倍还多
13
，则由“和倍问题”可
得：除数
=
（
2083-13
）÷（
17+1
）
=1
15
，所以被除数
=2083-115=1968
。
【例
5
】有
48
本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多
5
人．如果把书全部分给第一组，那么每人
4
本，
有剩余；
每人
5
本，
书不够．
如果把书全
分给第二组，那么每人
3
本，
有剩余；
每人
4
本，书不够．
问：
第二组有多少人
?
【解析】
由
48
4
1
2
，
48
5
9.6
知，一组是
< br>10
或
11
人．同理可知
48
3
16
，
48
4
12
知，二组是<
/p>
13
、
14
或<
/p>
15
人，因为二组比一组多
5
人，所以二组只能是
15
人，一组
10
人．
【例
6
】一个两位数除以
13
的
商是
6
，除以
11
所得的余数是
6
，求这个两位数．
【解析】
因为一个两位数除以
13
的商是
6
，所以这个两位数一定大于
13
6
78
，并且小于
13
(6
1)
91
；
又因为这个两位数除以
11
余
6
，而
78
除以
11
余
1
，这个两位数为
78
5
83
．
【例
7
】
有一个大于
1
的整数，除
45,59,
101
所得的余数相同，求这个数
.
【解析】
这
个题没有告诉我们，
这三个数除以这个数的余数分别是多少，
但
是由于所得的余数相同，
根据同
余定理，
我们可以得到：
这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，
也就是说它是任意两数差
101
4
5
56
，
5
9
45
1
4
，
(56,14)
14
，
14
的约数有
1
,2,7,14
，
的
公约数．
所以这个数可能为
2,7,14
。
【例
8
】
2
2003
与
2003
2
的和除以
7
的余数是
________
．
【解析】
找
规律．用
7
除
2
< br>，
2
，
2
，
2
，
2
，
2
，…的余数分别是
2
，
4
，
1
，
2
，
4
，
1
，
2
，<
/p>
4
，
1
，…,2
2
3
4
5
6
的个数是
3
的倍
数时，
用
7
除的余数为
1
；
2
的个数是
3
的倍数多
1
时，用
7
除的余数为
2
；<
/p>
2
的个
数是
3<
/p>
的倍数多
2
时，用
7
除的余数为
4
．因为
2
2003
2
3
667
2
，所以
2
2003
除以
7
余
4
．又两个数的积
2
除以
7
的余数，与两个数分别除以
7
所得
余数的积相同．而
2003
除以
7
余
1
，所以
200
3
除以
7
余
1
．故
2
2003
与
2003
的和除以
7
的余数是
4
1
5
．
2
【例
9
】求
2461
135
6047
11
的余数
．
【解析】
因
为
2461
11
223...8
，
135
11
12...3
，
6047
11
549...8
，根据同余定理
(
三
)
，
2461
135
6047
< br>
11
的余数等于
8
3
8
11
的余数，而
8
3
8
192
，
3
/
6