(完整)小学五年级奥数—数论之同余问题
红颜歌词-
数论之同余问题
余
数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必
考的奥数知
识点，所以学好本讲对于学生来说非常重
要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇
到余数的问题就基本晕菜了！
”
<
/p>
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理
(
加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理
)
及
中国剩余定
理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：
一、带余除法的定义及性质：
一般地
，如果
a
是整数，
b
< br>是整数
(
b
工
< br>0
)
，
若有
a
+
b=q ...............
r
，也就是
a
=
b xq
+
r,
0
w
r
v
b
;
我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：
(1)
当
r 0<
/p>
时：我们称
a
可以被
b
整除，
q
称为
< br>a
除以
b
的商或完全商
(2)
当
r 0<
/p>
时：我们称
a
不可以被
< br>b
整除，
q
称为
a
除以
b
的商或不完全商
一个完美的带余除法讲解模型
：
如图，这是一堆书，共有
a
本，这个
a
就可以理解为被除数，
现在
要求按照
b
本一捆打包，那么
b
就是除数的角色，经过打包后
共打包了
c
捆，那么这个
c
就是商，最后还剩余
d
本，这个
d
就是
余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中
4
个量的关系。并且可以
看出余数一定要比除数小。<
/p>
、三大余数定理：
1•
余数的加法定理
a
与
b
的和除以
c
的余数，等于
a,b
分别
除以
c
的余数之和，或这个和除以
例如：
23
,
16
除以
5
的余数分别是
3
和
1
，所以
23+16=39
除以
5
的余数等
于
4
，即两个余数的和
3+1.
c<
/p>
的余数。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以
c
的余数。
例如：
23
,
19
除以
5
的余数分别是
3
和
4
，故
23+19=42
除以
5
的余数等于
3+4=7
除以
5
的余数
,
即
2.
2.
余数的乘法定理
a
< br>与
b
的乘积除以
c
的余数，等于
a,b
分别除以
c
的余数的积，或者这个积除以
例如：
23
,
16
除以
5
的余数分别是
3
和
1
，所以
23
X
16
除以
5
的余数等于
3
X
仁
3
。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以
c
的余数。
c
所得的余数。
例如：
23
,
19
除以
5
的余数分别是
3
和
4
，所以
23
X
19
除以
5
的余数等于
3
X
4
除以
5
的
余数，即
2.
3.
同余定理
若两个整数
a
、
b
被自然数
m
除有相同的余数，那么称
< br>a
、
b
对于模
< br>m
同余，用式子表示为：
a
M
b ( mod
m)
，左
边的式子叫做同余式。
同余式读作：
a
同余于
b
，模
m
。由同余的性质，我们可
以得到一个非常重要的推论：
若两个数
a
,
b
除以同一个数
m
得到的余数相同，则
a
,
b
的差一定能被
m
整除
用式子表示为：如果有
a
M
b ( mod m
)
，那么一定有
a
-
b
=
mk,k
是整数，即
m|(a
—
b)
三、弃九法原理：
在公元前
9
世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》
，他们在计算时通常是
在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验
方式是这样
进行的：
例如：检验算式
1234 1898
18922 678967 178902 889923
1234
< br>除以
9
的余数为
1
1898
除以
9
的余数为
8
1892
2
除以
9
的余数为
4
678967
除以
9
的余数为
7
178902
除以
9
的
余数为
0
这些余数的和除以
9
的余数为
2
而等式右边和除以
9
的余数为
3
，那么上面这个
算式一定是错的。
上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲
的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边
几个
加数除以
9
的余数的和再除以
9
的余数一定与等式右边和除以
9
的余数相同。
而我们在求一个自然数除以
9
所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数
的各个位数字之和除以
9
的余数就可以了，在算的时候往往就是一个
9
一个
9
的找并且划去，所以这种方
法被称作
“弃九法”。
所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模
9
同余于它的各数位上数字之和。
<
/p>
再求这个和被
9
除的余
< br>
以后我们求一个整数被
9<
/p>
除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，
数即可。
利用十进制的这个特性，不
仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适
用
注意：弃九法只能知道原题一定是
错的或有可能正确，但不能保证一定正确。
例如：检验算式<
/p>
9+9=9
时，等式两边的除以
9
的余数都是
0
,<
/p>
但是显然算式是错误的
但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式
往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。
2
两端一定满足弃九法的规律。这个思想往
四、中国剩余定理：
1•
中国古代趣题：
中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：
三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：
“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩
“二十三。”
。
3
人一列
此
类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每
< br>
余
1
人、
5
人一列余
2
人、
7
人一列余
4
人、
13
人一列余
6
人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每
5
人一列、
9
人一列、
13
人一列、
17
人
一列都剩
3
人
,
则兵有多少
?
首先我们先求
5
、
9
、
13
、
17
之最小公倍数
9945
（注：因为
5
、
9
、
13
、
17
为两两互质的整数
，故
其最小公倍数为这些数的积），然后再加
3
，得
9948
（人）。
孙子算经的作者及确实著作
年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来
说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理
。
中国剩余定理（
Chi nese
Remai nder Theorem
2.
核心思想和方法：
）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，
中的问题为例，分析此方法
：
下面我们就以《孙子算经》
今有物，
不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？
题目中我们可以知道，一个自然数分别除以
先构造一个数字，使得这个数字除以
3
，
5
，
7<
/p>
后，得到三个余数分别为
2
，
3
，
2.
那么我们首
3
余
1
，并且还是
5
和
7
的公倍数。
先由
5 7 35
，即
5
和
7
的最小公倍数出发，先
看
35
除以
3
余
2
，不符合要求，那么就继续看<
/p>
5
和
7
的“下一个”倍数
35 2 70
是否可以，很显然
<
/p>
70
除以
3
余<
/p>
1
类似的，我们再构造一个除以
5
余
1
，同时又是
3
和
7
的公倍数的数字，显然
21
可以符合要求。
最后再构造除以
7
余
< br>1
，同时又是
3
，
5
公倍数的数字，
45
符合
要求，那么所求的自然数可以这样计
算：
2 70 3 21
2 45 k[3,5,7]
233
k[3,5,7]
，其中
k
是从
1
开始的自然数。
也就是说满足上述关
系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所
求的数。
例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”
那么我们可以计算
2 70 3 21
，
2 45
2 [3,5,7]
23
得到所求
如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”
我们只要对最小的
，
23<
/p>
加上
[3,5,7]
即可，即
23+105=128
例题精讲
:
【模块一：带余除法的定义和性质】
【例
1
】
（
第
五届小学数学报竞赛决赛
）
用某自然
数
a
去除
1992
，得到商是
46
,
余数是
r
，求
a
和
r
.
【解
析】因为<
/p>
1992
是
a
的
46
倍还多
r
,
得到
1992 46
43……14,
得
1992 46 43
14
，所以
a 43, r 14
.
【巩固】
（
清华附中小升初分班考试
）
甲、乙两数的和是
1088
，甲数除以乙数商
11
余
32
，
求甲、乙两数
.
【解
析】
（
法
1
）
因为甲乙
11
32
，所以甲乙乙
11
32
乙
则乙
（
1088
32
）
12 88
,
甲
1088
乙
1000
.
（
法
2
）
将余数先去掉变成整除性问题
，利用倍数关系来做：从
乙
12 32
1088
;
1088
中减掉
32
以后，
1056
就
应当
是乙数的
（
11
1
）
倍，所以得到乙数
1056 12 88
，甲数
【巩固】一个两位数除
310
,
余数是
37
,
求这样的两位
数。
【解
析】本题为余数问题的基础题型，
需要学生明白一个重要知识点
,
转化
为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍
数；或者是用被除数加上一
个
“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。
本题中
310-37=273
，说明
273
是所求余数的倍数，而
273=3
X
7
< br>X
13
，所求的两位数约数还要
满足比
37
大，符合条件的有
39
,
91.
1088 88
1000
.
就是把余数问题
---
即“不整除问题”
【例
2
】
（
2003
年全国小学数学奥林匹克试题
）
有两个自然数相除，商是
17
,
余数是
13
，已知被除数、
除数、商与余数之和为
2113
，则被除数是多少？
【解
析】被除数
除数
商
余数
被除数
除数
+17+13=2113
数是除
数的
17
倍还多
13
< br>，则由“和倍问题”可得：除数
以被除数
=2083-115=1968
.
，所以被除数
< br>除数
=2083
，由于被除
=
（
2083-13
）
-
（
17+1
）
=115
，所
【巩固】用一个自然数去除另一个自然数，商为
这
2
个自然数各是多少？
40
,
余数是
16.
被除数、除数、商、余数的和是
933
，求
【解
析】本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为
x,y
，可以得到
x 40y 16
x y 40 16 933
x 856
，
解方程组得
，即这两个自然数分别是
y
21
856
,
21.
【例
3
】
(<
/p>
2000
年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题
)
三个不同的自然数的和为
2001
，它们分别除以
19,23,31
所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是
____________
，
_____
，
_______
。
【解
析】
设所得的商为
a
，除数为
b
-
(19a b) (23a b) (31a b)
2001
,
73a 3b
2001
,
由
b
19
,
可求得
a
27
,
b 10
•所以，这三个数分别是
19a b
523
,
23a b 631
,
31a b 847
。
【巩固】
(2004
年福州市“迎春杯”小学数学竞
赛试题
)
一个自然数，除以
11
时所得到的商和余数是相等
的，除以
9
时所得到的商是余数的
3
倍，这个自然数是
_________
•
【解
析】设这个自然数除以
11
余
a (0 a 11)
，除以
9
余
b
(0 b
9)
，则有
11a a 9 3b
b
，即
3a 7b
,
只有
a 7
,
b 3
，所以这个自然数为
12 7
84
。
【例
4
】
(
199
7
年我爱数学少年数学夏令营试题
)
有
48
本书分给两组小朋友，已知第二
组比第一组多
人
.
< br>如果把书全部分给第一组，那么每人
4
本，有剩余；每人
5
本，书不够
.
如果把书全分
给
第二组，那么每人
3
本，有剩余；每人
4
本，书不够•问：第二组有多少人
？
【解
析】由
48 4 12
,
48 5 9.6
知，一组是
10
或
11
人
.
同理可知
48 3
16
,
48 4
12
知，二组是
13
、
14
或
15
人，因为二组比一组多
5
人，所以二组只能是
15
人，一组
10
人
.
【巩固】一个两位数除以
13
的商是
6
,
除以
11
所得的余数是
6
,
求这个两位数
.
【解
析】因为一个两位数除以
13
的商是
< br>6
，所以这个两位数一定大于
13 6 78
，并且小于
13 (6
1) 91
;
又因为这个两位数除以
11
余
6
，而
78
除以
11
余
1
,
这个两位数为
78 5 83
.
【模块二：三大余数定理的应用】
【例
5
】
<
/p>
有一个大于
1
的整数，除
45,59,101
所得的余数相同，求这个数
.
【解
析】
这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据
< br>
同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就
是说它是任意两
数差的公约数
.
101 45 56
,
59 45 14
,
(56,14) 14
,
14
的约数有
1,2,7,14
，所以这个数可<
/p>
5
能为
2,7,14
。
【巩固】有一个整数，除
39,51
,147
所得的余数都是
3
,
求这个数
.
【解
析】
（
法
1
）
39 3
36
,
147 3 144
,
（
36,144
）
12
,
12
的约数是
< br>1,2,3,4,6,12
，因为余数为
3
要小
于除数，这个数是
4,6,12
；
（
法
2
）
由于所得的余数相同，得到这个数一定
能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是
任意两数差的公约数
.
51 39
12
,
147 39 108
,
（
12,108
）
12
，所以这个数是
4,6,12
.
【巩固】在小于
1000
的自然数中，分别除以
18
< br>及
33
所得余数相同的数有多少个
【解
析】我们知道
18
,
33
的最小公倍数为
[18
,
33]=198
，所以每
198
个数一次
.
?
（
余数可以为
0
）
1
〜
1
98
之间只有
1
,
2
,
3
，…，
17
,
198
（
余
O
）
这
18
个数除以
18
及
33
所得的余数相同，
而
999
-
198=5
……9
，所以共有
5 08+9=99
个这样的数
.
【巩固】
（
2008
年仁华考题
）
一个三位数除以
17
和
19
都有余数，并且除以
17<
/p>
后所得的商与余数的和等于
它除以
19
后所得到的商与余数的和•那么这样的三位数中最大数是多少，
最小数是多少？
【解
析】
设这个三位数为
s
,
它除以
17
和
19
的商分别为
a
和
b
,
余数分别为
m
和
n
,
则
s 17a m 19b n
.
根据题意可知
a m b
n
，所以
s a m s
bn
，即
16a
18b
，得
8a 9b
.
所以
a
是
9
的倍数，
b
是
8
的倍数•此时，由
a m b
n
知
n m a b a
-a -a
.
9
9
由于
s
为三位数，最小为
100
，最大为
999
，
所以
100 17a m
999
，而
1 m 16
,
所以
17a 1 17a m
999
,
100 17a m 17a
16
，得到
5 a
58
，而
a
是
9
的倍数，所以
a
< br>最小为
9
，最大为
54
.
1
当
a
54
时，
n m
—
a
6
，而
n
18
，所以
m 12
，故此时
s
最大为
17 54 12
930
;
9
1
当
a
9
时，
n m -a
1
，由于
m 1
，所以此时
s
最小为
17 9 1
9
所以这样的三位数中最大的是
930
，最小的是
154
.
154
.
【例
6
】
<
/p>
两位自然数
ab
与
ba
除以
7
都余
1
，并且
a
b
，求
ab ba
.
【解
析】
ab ba
< br>能被
7
整除，即
（
10a b
）
（
10b
a
）
9
（
a b
）能被
7
整除
.
所以只能有
a b 7
，那么
ab
可能
为
92
和
81
，验算可得当
ab 92
时，
ba
29
满足题目要求，
ab ba 92 29 2668
【巩固】学校新买来
118
个乒乓球，
67
个乒乓球拍和
33
个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，
那么这
三
种物品剩下的数量相同
.
请问学校共
有多少个班？
【解
析】
所
求班级数是除以
118,67,33
余数相同的数
.
那么可知该数应该为
的公约数，所求答案为
17
.
118 67
51
和
67 33 34
【巩固】
（
2000
年全
国小学数学奥林匹克试题
）
在除
13511
,
13903
及
14589
时能剩下相同余数的最大整数
是
_________
.
【解
析】因为
13903 13511 392
,
14589 13903 686
,
由于
13511
,
13903
,
14589
要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个
数整除
.
（
392
,686
）
98
，所以所求的最大整数是
98
.
［例
7
】
（
2003
年南京市少年数学智力冬令营试题
）
2
2003
与
2003
2
的和除以
7
的余数是
____________
.
【解
析】
找规律
.
用
7
除
2
,
2
2
,
2
3
,
2
4
,
2
5
, <
/p>
2
6
,…的余数分别是
< br>2
,
4
,
1
,
2
,
4
,
1
,
2
,
4
,
1
,…
,2
的个数是
< br>3
的倍数时，用
7
除的余数为<
/p>
1
;
2
的个
数是
3
的倍数多
1
时，用
7
除的余数为
2
;
2
的个数是
3
的倍数多
2
时，用
7
除的余数为
4
.
因为
2
2003
2
3 667 2
，所以
2
2003
除
以
7
余
4
.
又两
个数
的积除以
7
的余数，与两个数分
别除以
7
所得余数的积相同
.
而
2003
除以
7
余
1
，所以
2003
2
除以
7
余
1
.
故
2
200
3
与
2003
2
的和除以
7
的余
数是
4 15
.
【巩固】
（<
/p>
2004
年南京市少年数学智力冬令营试题
）
在
1995
,
1998
,
2000
,
2001
,
2003
中，若其中几个数
的和被
9
除余
7
,
则将这几个数归为一组
.
< br>这样的数组共有
_____________
组
.
【解
析】
1 995
,
1998
,
2000
,
2001
,
2003
除以
9
的余数依次是
6
,
0
,
2
,
3
,
5
.
因为
2 5 2 5 0 7
,
2 5
3 6 0 2 5 3 6 7 9
,
所以这样的数组共有下面
4
个：
2000,2003
,
1998,2000,2003
2000,2003,2001,1995
,
1998,2000,2003,2001,1995
.
【例
8<
/p>
】
（
2005
年
全国小学数学奥林匹克试题
）
有一个整数，用它去除
70
,
110
,
160
所得到的
3
个余数
之和是
50
,
那么这个整数
是
_
_________
.
【解
析】
（
70 110 160
）
50
290
,
50 3
16……
2
，除数应当是
2
90
的大于
17
小于
< br>70
的约数，只可能
是
29
和
58
,
110 58 1……52
,
52 50
，所以除数不是
58
.
70 29
2……12
,
110 29
3……23
,
160 29
5……15
,
12 23 15
50
，所以除数是
29
【巩固】
（
2002
年全
国小学数学奥林匹克试题
25
,
那么
n=_________
）
用自然数
n
去除
63
,
91
,
129
得到的三个余数之和为
【解
析】
n
能整除<
/p>
63 91 129 25 258
•因为
25 3 8...1
，所以<
/p>
n
是
258
大于
8
的约数•显然，
n
不
能大于
63
.
符合条件的只有
43
.
【巩固】号码分别为
101,126,173,193
的
4
个运动员进行乒乓球比赛
，
规定每两人比赛的盘数是他们号码
的和被
3
除
所得的余数
.
那么打球盘数最多的运动员打了多少盘
【解
析】
本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算
?
101
,
126
,
173
,
193
< br>除以
3
的余数分别为
2
,
0
,
2
,
0
,
2
,
1
两
两相加除以
3
即可。显然
126
2
,
1
。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用
运动员打
5
盘是最多的。
【例
9
】
（
2002
年《小学生数学报》数学邀请赛试题
）
六名小学生分别带着
14
元、
17
元、
18
元、
21
元、
•一看定价才发现有
5
个人带的钱不够，
26
元、
37
元钱，一起到新
华书店购买《成语大词典》
但是其中甲、乙、丙
3
人的钱凑在一起恰好可买
种《成语大词典》的定价是
_________
元
.
2
本，
丁、戊
2
人的钱凑在一起恰好可买
<
/p>
1
本
.
这
【解
析】六名小学生共带钱
133
元
.
133
除以
3
余
1
,
因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买
他们五人带的钱数是
3
的倍数，另一人带的钱除以
3
余
1
•易知，这个钱数只能是
3
本，所以
37
元，所以
每本《成语大词典》的定价是
(14
17 18 21
26)
3
32
(
元
)
【巩固】
(
2000
年全国小学数学奥林匹克试题
< br>
两个顾客买走了其中的五箱
.
)
商店里有六箱货物，分别重
15
,
16
,
18
,
19
,
20
,
31
千克
,
2
倍，那么商店剩下的
已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的
一箱货物重量是
_
________
千克
.
【解
析】两个顾客买的货物重量是
3
的倍数
.
(15 16 18 19 20 31) (1 2) 119 3
39...2
，剩下的一箱货物重量除以
是
20
千克
.
3
应
当余
2
，只能
【例
10
】求
2461 135
6047 11
的余数
.
【解
析】
因为
2461 11
223...8
,
135 11
12...3
,
6047 11 549...8
，根据同余定理
(
三
)<
/p>
,
2461 135 6047
11
的余数等于
8 3 8
11
的余数，而
8 3 8
192
,
192 11
17...5
，所以
2461
135 6047 11
的余数为
5
.
【巩固
】
(
华罗庚金杯赛模拟试题
)
求
478 296 351
除以
17
的余数
.
【解
析】
先
求出乘积再求余数，计算量较大
.
可先分别计算出各因数除以<
/p>
17
的余数，再求余数之积除
以
17
的余数
.
478,296,351
除以
17
的余数分别为
2
,
7
和
11
,
(2 7 11) 17 9......1
.
【巩固】
求
3
1997
的最后两位数
.
【解
析】
即
考虑
3
1997
除以
< br>100
的余数
.
由于
100 4 25
，由于
3
3
27
除以
25
< br>余
2
，所以
3
< br>9
除以
25
余
< br>8
,
3
10
除以
25
余
24
，那么
3
20
除以
25
余
1
;
又因为
3
2
除以
4
余
1
，则
3
20
除以
4
余
1
;
即
3
20
1
能
被
4<
/p>
和
25
整
除，而
4
与
25
互质
，所以
3
20
1
能被
100
整除，即
3
20
除以
100
余
1
，由于
1997
20 99 17
,
所以
3
1997
除以
100
的余
数即等于
3
17
除以
< br>100
的余数，而
3
6
余
29
,
3
5
243
除以
100
余
43
,
3
17
(3
6
)
2
3
5
，所以
3
仃除以
100
的余数等于
29 29
43
除以
729
除以
100
100
的余数，而
29 29 43
36163
除以
100
余
63
，所以
3
1
7
除以
100
余
63
，即
3
1
7
的最后两
位数为
63
.
【巩固】
222 2
除以
13
所得余数是
________
.
2000
个
【解
析】
我们发现
2222
22
整除
13
,
2000
北
余
2
，所以答案为
22
+
13
余
9
。
【巩固】求
143
89
除以
7
的余数<
/p>
.
【解
析】法一：
由于
143 3 mod 7
（
143
被
7
除余
3
）
,
所以
143
89
3
89
mod7
（
143
89
被
7
除所得余数与
3
89
被
7
除所得余数相等
）
而
3
6
729
,
729
89
6
6
14
个
1
mod7
6
5
（
729
除以
7
的余数为
1
）
,
5
所以
3
3
4
3
2
4
4
3^
3
3
5 mod 7
.
故
143
89
除以
7
的
余数为
5.
法二：
89
计算
3
被
7
除所得的余数可以用找规律的方法
，规律如下表：
3
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
6
3
7
L
L
mod7
3
2
6
4
5
1
3
5
3
5 mod 7
于是余数以
6
为周期变化
.<
/p>
所以
3
89
<
/p>
【巩固】（
2007
年实验中学考题）<
/p>
1
2
2
2
3
2
L
2
2
2
2
2
2001
2
2002
除以
7
的余数是多少？
2002 2003 4005
----------------------- 1001 2003
1335
，而
1001
是
7
的倍
6
【解
析】
由于
1
2
3 L 2001
2002
数，所以这个乘积也是
7
的倍数，故
1
2
2
2
3
2
L 2001
2
2002
2
除以
7
的余数是
0
;
【巩固】
31
30
30
3
1
被
13
除所得的余数是多少？
【解
析】
31
被
13
除所得的余数为
5
，当
n
取
1
,
2
,
3
,
L
时
5
n
被
13<
/p>
除所得余数分别是
5
,
12
,
8
,
1
,
5
,
12
,
8
,
1 L
以
4
为周期循环出现，所以
5
30
被
13
除的余数与
5
2
被<
/p>
13
除的余数相同，余
12
,
则
31
3
0
除以
13
的余数为
< br>12
;
30
被
13
除所得的余数是<
/p>
4
，当
n
取
1
,
2
,
3
,
L
时，
4
n
被
13<
/p>
除所得的余数分别是
4
,
3
,
12
,
9
，
10
，
1
，
4
，
3
，
12
，
9
，
10
，
L
L
以
6
为周期循环出现，所以
< br>
4
31
被
13
除所得的余数等于
4
1
被
13
除所得的余数，
即
4
，故
30
31
< br>除以
13
的余数为
4
;
所以
31
30
30
31
被
1
3
除所得的余数是
12 4 13
3
.
【巩固】
（
2008
年奥数网杯
）
已知
a
彳
048
却
08»
£
0g8<
/p>
，问：
a
除以
1
3
所得的余数是多少？
2008
个
2008
【解
析】
2 008
< br>除以
13
余
6
< br>,
10000
除以
13
余
3
，注意到
200
82008 2008 10000 2008
;
2 20082008 10000
2008
;
2008 2
10000 2008
;
L L
根据这样的递推规律求出余数的变化规律：
20082008
除以
13
余
6
3 6 13 11
,
2
除以
13
余
11 3 6 39
0
，即
2
是
13
的
倍数
.
<
/p>
而
2008
除以
3
余
1
，所以
a 2°
08
却
084 £
0g8
除以
13
的余数与
2008
除以
13
的余数相同，为
6.
2008
个
2008
【巩固】
147
2
437
除以
41
的余数是多少？
1996
个
7
【解
析】找规律：
7 41
□
7
,
77 41
□
36
,
777 41
□
39
,
7777 41
□
28
,
77777 41
□
0
,……，所以
77777
是
41
的倍数，而
19
96 5 399L 1
，所以
彳
4?
2
庖
7
可以<
/p>
1996
个
7
分成
399
段
77777
和
1
< br>个
7
组成，那么它除以
41
的余数为
7
.
【巩固】
1
1
2
2
3
3
4
4
L L 2005
2005
除以
10
所得的余数为多少？
【解
析】
求结果除以
10
的余数即求其个位数字
.
从
1
到
< br>2005
这
2005
个数的个位
数字是
10
个一循环的
,