小学奥数—同余问题
我一个人-
数论之同余问题
余数问题是数论知识板块中另
一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必
考的奥数知识点，
所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数
的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！
”
余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理
，和同余定理）
，
及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。<
/p>
知识点拨：
一、带余除法的定义及性质：
一般地
，如果
a
是整数，
b
< br>是整数（
b
≠
0
）
,
若有
a
< br>÷
b=q
……
r
，也就是
a
＝
b
×
q
＋
r,
0
≤
r
＜
b
；我们称上面的除法算式为一个带余除
法算式。这里：
(1)
当
r
0
时：我们称
a
可以被
b
整除，<
/p>
q
称为
a
除以<
/p>
b
的商或完全商
(2)
当
r
0
时：我们称
a
不可以被
b
整除，
q
称为
a
除以
b
的商或不完全
商
一个完美的带余除法讲解模型
:
如图，这是一堆书，共有
a
本，这个<
/p>
a
就可以理解为被除数，
现在要求按照<
/p>
b
本一捆打包，那么
b
< br>就是除数的角色，经过打包后
共打包了
c
捆，那么这个
c
就是商，最后还剩余
< br>d
本，这个
d
就是
余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式
中
4
个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理：
1.
余数的加法定理
a
与
b
的和除以
c
的余数，等于
a,b
分别
除以
c
的余数之和，或这个和除以
c<
/p>
的余数。
例如：
23
，
16
除以
5
的余数分别是
3
和
1
，所以
23+16=39
除以
5
的余数等
于
4
，即两个余数的和
3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以
c
的余数。
例如
：
23
，
19
除以
5
的余数分别是
3
和
4
，故
23+19=42<
/p>
除以
5
的余数等于
3+4=7
除以
5
的余数，
即
2.
2.
余数的乘法定理
a
与
b
的乘积除以
c
的余数，等于
a,b
分
别除以
c
的余数的积，或者这个积除以
c
所得的余数。
例如：
23
，
16
除以
5
的余数分别是
3
和
1
，所以
23
×<
/p>
16
除以
5
的余
数等于
3
×
1=3
。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除
以
c
的余数。
例如：
23
，
19
< br>除以
5
的余数分别是
3
和
4
，所以
23
×
19
除以
5
的余数等于
3
×
4<
/p>
除以
5
的余数，即
2.
3.
同余定理
若两个整数
a
、
b
被自然数
m
除有相同的余数，
< br>那么称
a
、
b
< br>对于模
m
同余，
用式子表示为：
a
≡
b ( mod
m )
，左边的式子叫做同余式。
<
/p>
同余式读作：
a
同余于
< br>b
，模
m
。由同余的性质，我们
可以得到一个非常重要的推论：
若两个数
a
，
b
除以同一个数
m
得到的余数相同，则
a
，
b
的差一定能被
m
整除
用式子表示为：如果有
a<
/p>
≡
b ( mod m )
，那么一定有
a
－
b
＝
mk,k
是整数，即
m|(a
－
b)
三、弃九法原理：
在公元前
9
世纪，有个印度数学家名叫
花拉子米，写有一本《花拉子米算术》
，他们在计算时通常是
在
一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验
方式是这样进行的：
例如：检验算式
1234
1898
<
/p>
18922
678967
178902
8899
23
1234
除以
< br>9
的余数为
1
1898
除以
9
的余数为
8
18922
除以
9
的余数为
4
678967
除以<
/p>
9
的余数为
7
178902
除以
9
的余数为
0
这些余数的和除以
9
的余数为
2
而等式右边和除以<
/p>
9
的余数为
3
，
那么上面这个算式一定是错的。
上述检验方法恰好用到的就是
我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边
几个加数除以
9
的余数的和再除以
9
的余数一定与等式右边和除以
9
的余数相同。
而我们在求一个自然数除以
9
所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数
的各个位数字
之和除以
9
的余数就可以了，
在算的时
候往往就是一个
9
一个
9
的找并且划去，
所以这种方
法被称作“弃九法”
。
所以我们总结出弃九发原理：任何一个
整数模
9
同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被
9
除的余数
，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被
9
除的
余
数即可。
利用十进制的这个特性，
不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适
用
注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正
确。
例如：检验算式
9+9=9
时，等式两边的除以
9
的余数都是
0
，但是显然算式是错误的
< br>但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式
2
两端一定满足弃九法的规律。这个思想往
往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题
。
四、中国剩余定理：
1.
中国古代趣题：
中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：
“今有物，不知其数，三三数之，
剩二，五五数之，剩三，
七七数之，剩二，问物几何？”答曰：
“二十三。
”
此类问题我们可以称为
“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”
。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每
3
人一列
余
1
人、
5
人一列余
2
人、
7
人一列余
4<
/p>
人、
13
人一列余
6
人……。刘邦茫然而不知其数。
我们先
考虑下列的问题：假设兵不满一万，每
5
人一列、
9
人一列、
13
人一列、<
/p>
17
人一列都剩
3
人，
则兵有多少？
首先我们先求
5
、
9
、
13
、
1
7
之最小公倍数
9945
（注：因为<
/p>
5
、
9
、
13
、
17
为两两互
质的整数，故其
最小公倍数为这些数的积）
，然后再加
3
，得
9948
（人）
。
孙子算经的作者及确实著作年代均
不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来
说上面这种问题的解法
，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。
中国剩
余定理（
Chinese Remainder Theorem
）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
2.
核心思想和方法：
对于这一类问题，
我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，<
/p>
下面我们就以
《孙子算经》
中的问题为例
，分析此方法
:
今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数
之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？
题目中我们可以知道
，一个自然数分别除以
3
，
5
，
7
后，得到三个余数分别为
< br>2
，
3
，
2.
那么我们首先
构造一个数字，使得这个数字除以
3
余
1
，并且还是
5
和
7
的公倍数。
先由
5
<
/p>
7
35
，即<
/p>
5
和
7
的最小公
倍数出发，先看
35
除以
3
余
2
，不符合要求，那么就继续看
5
和
7
的“下一个”倍数
35
2
70
是否可以，很显然
70
< br>除以
3
余
1
< br>类似的，我们再构造一个除以
5
余
1
，同时又是
3
和
< br>7
的公倍数的数字，显然
21
可
以符合要求。
最后再构造除以
7
余
1
，同时又是
3
，
5
公倍数的数字，
< br>45
符合要求，那么所求的自然数可以这样计
算：
2
70
3
21
2
45
k
[3,5,7]
233
k
[3,
5,7]
，其中
k
是从
1
开始的自然数。
也就是说
满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所
求的数。
例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最
小的自然数”
，
那么我们可以计算<
/p>
2
70
3
21
2
45
2
[3,5,7]
23
得到所求
如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”
,
我们只要对最小的
23
加上
[3,5,7]
即可，即
23+105=128
。
例题精讲：
【模块一：带余除法的定义和性质】
【例
1
】
(
第五届小学数学报竞赛决赛
)
用某自然数
a
去除
1
992
，得到商是
46
，余数是
r
，求
a
和
r
．
9
2
4
6
4
< br>3
1
4
【
解
析
】
因
为
1992
是
a
的<
/p>
46
倍还多
r
,
得到
1992
46
43......14
，
得
1
，
所以
a
43
，
r
14
．
【
巩
固
】
(
清华附中小升初分班考试
)
甲、乙两数的和是
1088
，甲数除以乙数商
11
余
32
，求甲、乙两数．
【
解
析
】
(
法
1)
因为
甲
乙
11
< br>32
，所以
甲
乙
乙
11
32
乙
乙
12
32
1088
；
则乙
(1088
32)
12
88
，甲
1088
乙
1000<
/p>
．
(
法
2)
将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从
1088
中减掉
32
以后
，
1056
就应当
是乙数的
(11
1)
倍，所以得
到乙数
1056
< br>12
88
，甲数
1088
88
1000
．
【
巩
固
】
一
个两位数除
310<
/p>
，余数是
37
，求这样的两位数。
【
解
析
】
本
题为余数问题的基
础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题
---
即“不整除问题”
转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；
或者是用被除数加上一个
“除数与余数的差”
，
也可以得到一个除数的倍数。
本题中
310-37=273
，说明
273
< br>是所求余数的倍数，而
273=3
×
7
×
13
，所求的两位数约数还要
满
足比
37
大，符合条件的有
39
，
91.
【例
2
】
(
2003
年全国小学数学奥林匹克试题
)<
/p>
有两个自然数相除，商是
17
，余数是<
/p>
13
，已知被除数、
除数、商与余数之和
为
2113
，则被除数是多少？
【
解
析
】
被
除数
除数
商
余数
被除数
除数
+17+13=2113
，所以被除数
除数
=2083
，
由于被除数
是除数的
17
倍还多
13
，则由“和倍问题”可得：除数
=
（
2083-13
）÷（
17+1
）
=115
，所以被除数
=2083-115=1968
．
<
/p>
【
巩
固
】
用
一个自然数去除另一个自然数，商为
40
，余数是
16.
被除数、除数、商、余数的和是
933
，求
< br>这
2
个自然数各是多少？
【
解
析
】
本
题为带余除法定义式的基本题型。根据题意
设两个自然数分别为
x,y
，可以得到
x
40<
/p>
y
16
x
856
,
解方程组得
，即这两个自然数分别是
856
，
21.
x
y<
/p>
40
16<
/p>
933
y<
/p>
21
【例
3
】
(2000
年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题
)
三个不同的自然数的和为
2001
< br>，它们分别除以
19,23,31
所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是
_______
，
_______
，
______
_
。
【
解<
/p>
析
】
设
所得的商为
a
，除数为
b
．
(19
a
b
)
(
23
a
b
)
(31
a
b
)
200
1
，
73
a
3
b
200
1
，由
b
1
9
，
可求得
a
27
，
b
10
．所以，这三个数分别是
19
a
b
523
，
23
a
b
631
，
31
a
b
847
。
【
巩
固
】
(
< br>2004
年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题
)
一个自然数，除以
11
时所得到的商和余数是
相等
的，除以
9
时所得到的商是余数的
3
倍，这个自然数是
________
_
．
【
解<
/p>
析
】
设
这个自然数除以
11
余
a
(0
a
11)
，
除以
9
余
b
(0
b
9)
，
则有
11
a
a
9
3
b
b
，
即
3
a
7
b
，
< br>只有
a
7
，
b
3
，所以这个自然数为
12
7
84
。
【例
4
】
(1997
年我爱数学少年数学夏令营试题
)
有
48
本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多
5
人．如果把书全部分给第一组，那么每人
4
本，
有剩余；每人
5
本，书不够．如果把书全分给
< br>第二组，那么每人
3
本，有剩余；每人
< br>4
本，书不够．问：第二组有多少人
?
< br>
【
解
析
】
由
4
8
4
12
，
48
5<
/p>
9.6
知，一组是
10
或
11
人．同理可知
48
3
16
，
48
4
12
知，二组是
13
、
14
或
15
人，因为二组比一组多
5
人，所以二组只能是
15
人，一组
< br>10
人．
< br>【
巩
固
】
一
个两位数除以
13
的商是
6
，除以
11
所得的余数是
6
，求这个两位数．
【
解
析
】
因
为一个两位数除以
13
的商是
6
，<
/p>
所以这个两位数一定大于
13
6
78
，
并且小于
13
(6
1)
91
；
又因为这个两位数除以
11
余
6
，而
78
除以
11
余
1
，这个两位数为
78
5<
/p>
83
．
【模块二：三大余数定理的应用】
【例
5
】
有一个大于
1
的整数，除
45,59,101
所得的余数相同，求这个数
.
【解析】
这
个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据
同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两
数差的公约数．
101
4
5
56
，
5
9
45
1
4
，
(56,14)
14
，
14
的约数有
1,2,7,14
，所以这个数可
能为
2,7,14
。
【
巩
固
】
有
一个整数，
除
39,51,147
所得的余数都是
3
，求这个数
.
【解析】
(
法
1)
<
/p>
39
3
36
，
147
<
/p>
3
144
，<
/p>
(36,144)
12
，
12
的约数是
1,2,3,
4,6,12
，因为余数为
3
要小
于除数，这个数是
4,6,12
；
(
法
2)
由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是< p>
任意两数差的公约数．
51
39
12
，
147
39
< br>108
，
(12,108)
<
/p>
12
，所以这个数是
4,6,12
．
【
巩
固
】
在
小于
1000
的自然数中，
分别除以
18
及
33
< br>所得余数相同的数有多少个
?(
余数可以为
0)
【解析】
我
们知道
18
，
33
的最小公倍数为
[18
，
33]=198
，所以每
198
个数一次．
1
～
198
之间只有
1
，
2
，
3
，…，
17
，
198(
余
O)
这
18
个数除以
18
及
3
3
所得的余数相同，
而
999
÷
198=5
……<
/p>
9
，所以共有
5
×
18+9=99
个这样的数．
【
巩
固
】
(
2008<
/p>
年仁华考题
)
一个三位数除以
17
和
19
都有余数，并
且除以
17
后所得的商与余数的和等于
它除以
19
后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大
数是多少，最小数是多少？
【解析】
设
这
个
三
位
数
为
s
，
它
除
以
17
和
19
的
商
分
别
为
< br>a
和
b
，
余
数
分
别
为
m
和
n
，
则
s
1
7
a
m
1
9
b
< br>
n
．
根据题意可知
a
m
b
n
，所以
s
a
m
s
b<
/p>
n
，即
16
a
18
b
，得
8
a
9
b
．所以
a
是
9
8
1
的倍数，
b
是
8
的倍数．此时，由
a
m
b
<
/p>
n
知
n
m
a
b
a
a
a
．
9
9
由于
s
为三位数，最小为
100
，最大为
999
，所以
100
< br>
17
a
m
999
，而
< br>1
m
16
，
所以
17
a
1
17
a
m
999
，
1
00
17
a
m
17
a
16
，得到
5
a
58
，而
a
是
9<
/p>
的倍数，所以
a
最小为
< br>9
，最大为
54
．
1
当
a
< br>
54
时，
n
< br>
m
a
6
，而
n
18
，所以
m
12
，故此时
s
< br>最大为
17
54
12
930
；
9
1
当
a
9
时，
n
m
a
1
，
由于
m
1
，
所以此时
s
最小为
17
9
1
154
．
9
所以这样的三位数中最大的是
930
，最小的是
154
．
【例
6
】
两位自然数
ab
与
ba
除以
< br>7
都余
1
，并且
a
b
，求
< br>ab
ba
．
< br>
（
10
b
a
)
9
（
a<
/p>
b
）
ab
ba
能被
7
整除，
【解析】
即
(10
a
b
)
能被
7
整除．
所以只能有
a
< br>
b
7
，
那么
ab
可能为
< br>92
和
81
，验算可得当
ab
92
时，
ba
29
满足
题目要求，
ab
ba
92
29
2668
【
巩
固
】
< br>
学
校新买来
118
个乒乓球，
67
个乒乓球拍和
33
个乒乓球网，
如果将这三种物品平分给每个班级，
那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？
【解析】
所
求班级数是除以
118,67,33
余数相同的数．那么可知该
数应该为
118
67
51
和
67
33
34
的公约数，所求答案为
17
．
【
巩<
/p>
固
】
(
2000
年全国小学数学奥林匹克试题
)
在除
13511
，
13903
及
14589
时能剩下相同
余数的最大整数
是
_________
．
【解析】
因
为
13903
< br>13511
392
,
14589
13903
686
，
由于
13511
，
13903
，
14589
要被同一个数除时，余数相同
，那么，它们两两之差必能被同一个
数整除．
(
392
,
686
)
98
，所以所求的最大整数是
< br>98
．
【例
7
】
(2003
年南京市少年数学智力冬令营试题
< br>)
2
2003
与
2003
2
的和除以
7
的余数是
________
．
【解析】
找
规律．用
7
除
2
，
2
2
，
2
3
，
2
4
，
2
5
，
2
6
，<
/p>
…
的余数分别是
2
，
4
，
1
，
2
，
4
，
1
，
2
，
4
，
1
，
…
,2
的个数是
3
的倍数时，用
7
除的余数为
1
；
2
的个数是
< br>3
的倍数多
1
时，用
7
除的余数为
2
；
2
的个数是
3
的倍数
多
2
时，用
7
除的余数为
4
．因为
2
2003
2
3
667
2
，所以
2
2003
除以
7
余
4
．又两
个数的积除以
7
的余数，
< br>与两个数分别除以
7
所得余数的积相同．
而
2003
除以
7
余
1
，
所以
2003
2
除以
7
余
1
．故
2
2003
与
2003
2<
/p>
的和除以
7
的余数是
4
1
5
．
【<
/p>
巩
固
】
(
2004
年南京市少年数学智力冬令营试题
)
在
1995
，
1998
，
2000
，
2001
，
2003
中，若其中几个数
的和被
9
< br>除余
7
，则将这几个数归为一组．这样的数组共有
______
组．
【解析】
1
995
，
1998
，
< br>2000
，
2001
，
2003
除以
9
的余数
依次是
6
，
0
，
2
，
3
，<
/p>
5
．
因为
2
5
2
5
0
7
，
< br>2
5
3
6
0
2
5
3
6
7
9
，
，
< br>
1998
,
2000
,
2003
，
,
200
3
所以这样的数组共有下面
4
个：
2000
<
/p>
2000
,
2003
，
1998
,
2000
,
2003
．
,
2001
,
1995
,
2001
,
19
95
【例
8
】
(2005
年全国小学数学奥林匹克试题
)
有一个整数，用它去除
70
，
110
，<
/p>
160
所得到的
3
个余数
之和是
50
，那么这个整数是
______
．
(70
110
160)
50
290
，
50
3
16......2
，除数应当是
290
的大于
17
小于
70
的约数，只可能
< br>【解析】
是
29
和
58
，
110
58
1......
52
，
52
50
，所以除数不是
58
．
70
29
2......12
，
110
29
3......23
，
160
29
5......15
，
12
23
15
50
，所以除数是
29
【
巩
固
】
(2002
年全国小学数学奥林匹克试题
)
用自然数
n
去除<
/p>
63
，
91
，<
/p>
129
得到的三个余数之和为
25
，那么
n=________
【解析】
n
能整除
63
91
129
25
258
．因为
25
3
8...1
，所以
n
是
258
大于
8
的约数
．显然，
n
不
能大于
63
．符合条件的只有
43<
/p>
．
【
巩
固
】
号
码分别为
101,126,173,193
的
4
个运动员进行乒乓球比赛
,
规定每两人比赛的盘数是他们号码
的和被
3
除所得的余数
.
那么
打球盘数最多的运动员打了多少盘
?
【解析】
本
题可以体现出加法余数定理的巧用。
计算
101
，
126
，
173
，
193
除以
3
的余数分别为
2
，
0<
/p>
，
2
，
1
。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用
2
，
0
，
2
，<
/p>
1
两两相加除以
3
即可。显然
126
运动
员打
5
盘是最多的。
【例
9
】
(2002
年《小学生数学报》数学邀请赛试题
)
六名小学生分别带着
14
元
、
17
元、
18
元、
21
元、
26
< br>元、
37
元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》
．一看定价才发现有
5
个人带的钱不够，<
/p>
但是其中甲、
乙、
丙
3
人的钱凑在一起恰好可买
2
本，
丁、
戊
2
人的
钱凑在一起恰好可买
1
本．
这
种《成语大词典》的定价是
________
元
．
【解析】
六
名小学生共带钱
133
元．
133
除以
3
余
1
，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买
3
本，所以
他们五人带的钱数是
3
的倍数，另一人带的钱除以
3
余
1
．易知，这个钱数只能是
37
< br>元，所以
每本《成语大词典》的定价是
(14
17
18
21
26)
3
32
(
元
)
．
【
巩
固
】
(
2000
年全国小
学数学奥林匹克试题
)
商店里有六箱货物，分别重
15
，
16
，
18
，
19
，
20
，
31
千克，
两个顾客买走了其中的五箱．
已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的
2
倍，
那么商店剩下的
一箱货物重量是
________
千克．
【解析】
两
个顾客买的货物重量是
3
的倍数．
(15
16
18
19
20
31)
(1
2)
119
3
39...2
，剩下的一箱货物重量除以
3
应当余
2
，只能<
/p>
是
20
千克．
【例
10
】
求
2
461
135
6047
11
的余数．
【解析】
因
为
2461
11<
/p>
223...8
，
135
11
< br>12...3
，
6047
11
549...8
，根据同余定理
(
三
)
，
2461
135
6047
< br>
11
的余数等于
8
3
8
11
的余数，而
8
3
8
192
，
192
11
17...5
，所以
2461
135
6047
11
的余数为
5
．
【
巩
固
】
< br>(
华罗庚金杯赛模拟试题
)
求<
/p>
478
296
351
除以
17
的余数．
【解析】
先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除
以
17
的余数，再求余数之积除
以
17
的余数．
4
78,296,351
除以
17
的余数
分别为
2
，
7
和
11
，
(2
7
11)
17
9......1
．
【
巩
固
】
求
3
1997
的最后两位数．
【解析】
即<
/p>
考虑
3
1997
除以
100
的余数．由于
100
4
25
，由于
3
3
27
除以
25
余
2
，所以
3
9
除以
25
余
8
，
3
10
除以
25
余
24
，那么
3
20
除以<
/p>
25
余
1
；又因
为
3
2
除以
4
余
1
，则
3<
/p>
2
0
除以
4
余
1
；即
3
20
1
能被
4
和
25
整除，而
4
与
25
互质
，所以
3
20
1
能被
100
整除，即
3
20
除以
100
余
1
，由于
1997
20
99
17
，所以
3
1997
除以
100
的余数即等于
3
17
除以
100
的余数，而
3
6
729
除以
100
余
29
，
3
5
243
除以
100
余
< br>43
，
3
17
< br>
(3
6
)
2
3
5
，所以
3
17
除以
100
的余数等于
29
29
43
除以
100
的余数，
而
2
9
29
4
3
36163
除以
< br>100
余
63
，
所以
3
1997
除以
100
余
63
，
即
3
1997
的最后
两位
数为
63
．
【
巩
固
】
222
2
除以
13
所得余数是
_____.
2000
个
2
【解析】
我
们发现
222222
整除
1
3
，
2000
÷
6
余
2
，所以答案为
22
÷
13
余
9
。
【
巩
固
】
求
143
89
除以
7
的余数．
【解析】
法
一：
由于
143
3
mod7
(143
被
7
除余
3)
，
所以
143
89
3
< br>89
mod7
(
143
89
被
7
除所得余数与
3
89
被
7
除所得余
数相等
)
而
3
6
729
，
729
1
mod7
（
72
9
除以
7
的余数为
1
）
，
所以<
/p>
3
89
3
6
3
6
14
个
3
6
3
5
3
5
5
mod7
< br>
．
故
143
89
除以
7
< br>的余数为
5.
法二：
计算
3
89
被
7
除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：
3
1
3
2
3
3
6
3
4
3
5
5
3
6
3
7
3
mod
7
3
2
4
1
于是余数以
6
为周期变化．所以
3
89
3
5
5
mod7
．
【
巩
固
】
（
2007
年实验中学考题）
1
2<
/p>
2
2
3
2
【解析】
由
于
1
2
2
2
3
2
< br>
2001
2
2002
除以
7
的余数是多少
？
2001
2
2002
2
2002
2003
4005
而
1001<
/p>
是
7
的倍数，
1001
2003
< br>
1335
，
6
2001
2
2002
2
除以
7
的余数是
0
；
所以这个乘积也是
7
的倍数，故
1
2
2
< br>2
3
2
【
巩
固
】
31
30
30
31
被
13
除所得的余数是多少？
【解析】
3
1
被
13
除所得的余数为
5
，
当
n
< br>取
1
，
2
，
3
，
12
，
8
，
1
<
/p>
时
5
n
被
13
除所得余数分别是
5
，
12
，
8
，
1
，
5
，
以
4
为周期
循环出现，
所以
5
30
被
13
除的余数与
5
2
被
13
除的余数相同
，
余
12
，
则
31
30
除
以
13
的余数为
12
< br>；
30
被
13
除所得的余数是
4
，当
n
取
1
，
2
，
3
，
9
，
10
，
< br>1
，
4
，
3
，
12
，
9
，
10
，
时
，
4
n
被
13
除所得的余数分别是
4
，
3
，
12
，
以
6
为周期循环出现，所以
4
31
被
13
除
所得的余数等于
4
1
被
13
除所得的余数，即
4
，故
30
31
除以
13
的余数为
4
；
所以
31
30
< br>
30
31
被
< br>13
除所得的余数是
12
4
13
3
．
【
巩
固
】
(
2008
年奥数网杯
)
已知
a
20082008
2008
个
2008
2008
，问：
a
除以
13<
/p>
所得的余数是多少？
【解析】
2
008
除以
13
余
6
，
10000
除以
13
余
3
，注意到
20082008
2008
< br>
10000
2008
；
2
20082008
10000
< br>
2008
；
2008
2
10000
2008
；<
/p>
根据这样的递推规律求出余数的变化规律：
< br>20082008
除
以
13
余
6
3
6
13
11
，
2
除
以
13
余
11
3
< br>6
39
0
，
即
2
是
13
的倍数．
而
2008
除以
3
余
1
，所以
a
20082008
2008
个
2008
2008
除以
13
的余数与
2008
除以
13
的余数相同，为
6.
【
巩
固
】
777
77
除以
41
的余数是多少？
1996
个
7
【解析】
找
规律：
7
41
□
7
，
77
41
□
36<
/p>
，
777
41
□
3
9
，
7777
41
□
28
，
77777
41
□
0
，……，所以
777
77
是
41
的倍数，而
1996
5
399
1
，所以
777
77
可以
1
996
个
7
分成
399
段
77777
和
1
个
7
组成，那么它除以<
/p>
41
的余数为
7
．
1
1<
/p>
2
2
3
3
4
4
【
巩
固
】
2005
2005
除以
10
所得的余数为多少？
【解析】
求
结果除以
10
的余数即求其个位数字．
从
1
到
2005
这
2005
个数的个位数字是
10<
/p>
个一循环的，
而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是
4
个一循环的，因此把所有加数的个位数按每
20
个
(20
是
4
和
10
的最小公倍数
)
一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的
．
首先计算
1
1
2
2
3
3
4
4
20
20
的个位数字，
为
1
4
<
/p>
7
6
5
6
3
6
9
0
1
6
3
6
5<
/p>
6
7
4
9
0
94
的个位数字，为
4
，
由于
2005
个加数共可分成
100
组另
5
个数，
100
组的个位数字和是
4
< br>
100
400
的个位数即
0
，
另
外
5
个
数
为
2001
2001
、
2002
2002
、
2003
2003
、
2004
2004
、
2005
2005
，
它
们
和
的
个
位
数
字
是
1
4
7
6
5
23
的个位数
3
，所以原式的个位数字是
3
，即除以
10
的余数是
3
．
【例
11
】
求
所
有的质数
P
，使得
4
< br>p
2
1
与
6
p
2
1
也是质数．
【解析】
如
果
p
5
，<
/p>
则
4
p
2
1
1
0
1
，
6
p
2
1
151
都是质数，
所以
5
符合题意．
如果
P<
/p>
不等于
5
，
那么
P
除以
5
的余
数为
1
、
2
、
3
或者
4
，<
/p>
p
2
除以
5
的余数即等于
1
2
、
2
2
、
3<
/p>
2
或者
4
2
除以
5
的余数，即
1
、
4
、
9<
/p>
或者
16
除以
5
的余数，只有
1
和
4
两种情况．如果
p
2
除以
5
的余数为
1
，那么
4
p
2
1
除以
5
的余数等于
4
1
1
5
除以
5
的余数，为
0<
/p>
，即此时
4
p
2
1
被
5
整除，而
4
p
2<
/p>
1
大于
5
，
所以此时
4
p<
/p>
2
1
不是质数
；如果
p
2
除以
5
的余数为
4
，同理可知
6
p
2
1
不是质数，所以
P
不等
于
5
，
4
p
2
1
与
6
p
2
< br>
1
至少有一个不是质数，所以只有
p
5
满足条件．
【
巩
固
】
在图表的第二行中，恰好填
上
89
～
98
这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以
11
所
得的余数都是
3
．
【解析】
因为两个数的乘积除以
11
的余数，等于
因数
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
因数
两个数分别除以
< br>11
的余数之积．因此原题中的
89
～
98
可以改换为
1
～
10
，这样上下两数的
乘积除以
11
余
3
就容易计算了．我们得到下面的结果：
进而得到本题的答案是：
因
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
因数
因数
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
3
7
1
9
5
6
2
10
4
8
数
因
数
【
巩
固
】
(
2000
年
“华杯赛”
试题
)3
个三位数乘积的算式
abc
bca<
/p>
cab
23
4235286
(
其中
a
b
c
)
，
在
校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位
6
< br>是正确的，问原式中的
abc
是
多少？
【解析】
< br>由
于
234235286
2
3
4
2
3
5
< br>2
8
6
8(mod9)
，
abc
bca
cab
(
a
b
c
)
3
(mod9)
，
于是<
/p>
(
a
b
c
)
3
8(mod9)
，从而
(
用
a
b<
/p>
c
0,1,
2,...,8(mod9)
代入上式检验
)
a
b
c
2,5,8(mod9)
…<
/p>
(1)
，对
a
进
行讨论：
b
的个位数字是
6
，
如果
a
9
，
那么
b
c
2,5,8(mod9)
…
(2)
，
又
c
a<
/p>
所以
b
c
的个位数字为
4
，
b
c
可<
/p>
能
为
4
1
、
7
2
、
8
3
、
6
4
，
其
中
只
有
(
b
,<
/p>
c
)
(
4,
1)
,
(8,<
/p>
3
合
(2)
，<
/p>
经
检
验
只
有
符
9
8
3
8
3
9
3
9
8
3
2
8
2
4
5
<
/p>
3
2
符合题意．
91
95
89
97
93
94
90
98
92
96
4
3
、
如果
a
8
，
那么
b
c
3,6,0(mod9)
< br>…
(3)
，
又
< br>b
c
的个位数字为
2
或
7
，
则
b
c
可能为
2
1
、
6
2
、
7
6
、<
/p>
7
1
，其中只
有
(
b
,
c<
/p>
)
(2,1)
符合
(3)
，经检验，
abc
821
不合题意．
如果
a
7<
/p>
，
那么
b
c
4,7,1(mod9)
…
(4)
，
则
b
c
可能为
4
2
、
< br>6
3
，
其中没有符合
(4)
的
(
b
,
c
)
．
如果
a
< br>
6
，那么
b
< br>
5
，
c
4
，
abc
bca
cab
< br>
700
600
500
2100000
00
222334586
，因此
这时
abc
不可能符合题意．综上所述，<
/p>
abc
983
是本题唯一的解．
【例
12
】
一
个大于
1
的
数去除
290
，
235
，
200
时，
得余数分别为<
/p>
a
，
a
2
，
a
5
，
则这个自然数是多少？
【解析】
根
据题意可知，这个自然数去除
290
，
233
，
195
时，得到相同的余
数（都为
a
）
．
既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余<
/p>
0
．那么这个
自然数是
< br>290
233
57
的约数，
又是
233<
/p>
195
38
的约数，
因此就是
57
和
38
的公约数
,
因为
57
和
38
的公约数只有
19
和
1
，而这个数大于
1
，所以这个自然数是
19
．