直角三角形三边关系
雷霆咆哮-
第
14
章
勾股定理
一、选择题（共
13
小题）
1
．如图，点
E
在正方形
ABCD
内，满足∠AEB=90°，
AE=6
，
BE=8
，则阴影部分的
面积是（
）
A
．
48
B
．
60
C
．
76
D
．
80
2
．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解
时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（
）
A
．黄金分割
B
．垂径定理
C
．勾股定理
D
．正弦定理
3
．
如图，
△
ABC
中，
D
为
AB
中点，
E
在
AC
上，
且
BE
⊥
AC
．
若
DE=10
，
AE=16
，则
B
E
的长度为何？（
）
A
．
10
B
．
11
C
．
12
D
．
13
4
．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（
）
A
．
a=1
，
b=2
，
c=3
B
．
a=2
，
b=3
，
c=4
C
< br>．
a=2
，
b=4
，
c=5
D
．
a=3
，
b=4
，
c=5
5
．下列各组线段中，能够组成直角
三角形的一组是（
）
A
．
1
，
2
，
3
B
．
2
，
3
，
4
C
．
4
，
< br>5
，
6
D
．
1
，
，
6
．一直角三角形的两边长分别为
3<
/p>
和
4
．则第三边的长为（
）
A
．
5
B
．
C
．
D
．
5
或
7
．设
a
、
b
是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为
6
，
斜边长为
2.5
，则
ab
的值是（
）
A
．
1.5
B
．
2
C
．
2.5
D
．
3
8<
/p>
．如图，若∠A=60°，
AC=20m
，则
BC
大约是
（结果精确到
0.1m
）
（
）
A
．
34.64m
B
．
34.6m
C
．
28.3m
D
．
17.3m
9
．如图，在矩形
ABCD
中，<
/p>
AD=2AB
，点
M
、
N
分别在边
AD
、
BC
上，连接
BM
、
DN
．若四边形
M
BND
是菱形，则
A
．
B
．
C
．
D
．
等于（
）
A
．只有
1
个
B
．
可以有
2
个
C
< br>．有
2
个以上，但有限
D
．有无数个
12
．
在等腰△
ABC
中，
∠ACB=90°，
且
AC=1
．
过点
C
作直线
l
∥
AB
< br>，
P
为直线
l
< br>上一点，
且
AP=AB
．则点<
/p>
P
到
BC
所在直
线的距离是（
）
A
．
1
B<
/p>
．
1
或
C
．
1
或
D
．
或
13
．如图，四边形
ABCD
中，
AB=AD
，
AD
∥
BC
，∠ABC=60°，
∠BCD=30°，
BC=6
，那么△
ACD
的面积是（
）
A
．
B
．
C
．
2
D
．
<
/p>
二、填空题（共
15
小题）
14
．如图，在平面直角坐标系中，点
A
，
B
的坐标分别为（﹣
6
，
0
）、（
0
，
8
）．以
点
A
为圆心，以
AB
< br>长为半径画弧，交
x
正半轴于点
C
，则点
C
的坐标为
< br>
．
15
．在
R
t
△
ABC
中，
CA=CB
，
AB=9
，点
D
在
BC
边上，连接<
/p>
AD
，若
tan
∠
CAD=
，则
BD
< br>的长为
．
16
．我
国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵
爽弦图”（
如图（
1
））．图（
2
）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼
接而成，记图中正方形
ABCD
、正方形
EFGH
、正方形
MNKT
的面积分别为
S
1
、
S
2
、
S
3
．若<
/p>
正方形
EFGH
的边长为
2
，则
S
1
< br>+S
2
+S
3
< br>=
．
10
．如图，正六边形
ABCDEF
中，
AB=2
，点
P
是
ED
的中点，
连接
AP
< br>，则
AP
的长为（
）
A
．
2
B
．
4
C
．
D
．
11
．
如果一个直角三角形的两条边长分别是
6
和
8
，另一个与它相似的直角三角形边
长分别是
3
和
4
及
< br>x
，那么
x
的值（
）
第
1
页（共
10<
/p>
页）
17<
/p>
．如图是“赵爽弦图”，△
ABH
、△<
/p>
BCG
、△
CDF
和△
DAE
是四个全等的直角三角形，
四边形
ABCD
和
EFGH
都是正方形．如果
AB=10
，
EF=2
，那么
AH
等于
．
18
．如
图，在△
ABC
中，
CA=CB
，
AD
⊥
BC
，
BE
⊥
AC
，
AB=5
，
AD=
4
，
则
AE=
．
19
．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，<
/p>
所有的三角形都是直角三角形，若正方形
A
、
B
、
C
、
D
的面积
分别为
2
，
5
，
1
，
2
．则最大的正方形
E
的面积是
．
20<
/p>
．在△
ABC
中，∠C=90°，
AB=7
，
BC=5
，则边
AC
的长为
．
21
．如图，矩形
< br>ABCD
中，
E
是
BC
的中点，矩形
ABCD
的周长
是
20cm
< br>，
AE=5cm
，则
AB
的长为
cm
．
22
．如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直
角三角形和一个小
正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为
1
：
13
，则直角三角形较短的直角边
a
与较长的直角
边
b
的比值为
．
第
2
页（共
10<
/p>
页）
第
14
章
勾股定理
参考答案与试题解析
一、选择题（共
13
小题）
1
．如图，点
E
在正方形
ABCD
内，满足∠AEB=90°，
AE=6
，
BE=8
，则阴影部分的面积
是（
）
A
．
48
B
．
60
C
．
76
D
．
80
【考点】勾股定理；正方形的性质．
【分析】由已知得△
ABE
为直角三角形，用勾股定理求正方形
的边长
AB
，用
S
阴影部分
=S
正方形
ABCD
﹣
S
△
ABE
求面积．
【解答】解：∵∠AEB=90
°，
AE=6
，
BE=8
，
∴在
Rt
△
ABE
中，
AB
2
=AE
2
+BE
2
=100
，
<
/p>
∴
S
阴影部分
=
S
正方形
ABCD
﹣
< br>S
△
ABE
，
< br>
=AB
2
﹣
< br>×
AE
×
BE
A
．黄金分割
B
．垂径定理
C
．勾股定理
D
．正弦定理
【考点】勾股定理的证明．
【专题】几何图形问题．
【分析】“
弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决了勾股定理的证明．
【解答】解：“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股
< br>定理．
故选：
C
．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理证明的方法最常用的思路是利用面积
证明．
3
．如图，△
ABC
中，
D
为
AB
中点，
E
在
AC
上，且
BE
⊥
AC
．若
DE=10
，
AE=16
，则
BE
的长度为何？（
）
=100
﹣
×
6
×
8
=76
．
故选：
C
．
【点评】本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质．关键是判断△
ABE
为直角三角
形，运用勾股定理及面积公式求解．
2
．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的
数学问题是（
）
A
．
10
B
．
11
C
．
12
D
．
13
【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．
【分析】
根据在直角三角形中，
斜边上的中线等于斜
边的一半这一性质可求出
AB
的长，
再
根据勾股定理即可求出
BE
的长．
<
/p>
【解答】解：∵
BE
⊥
< br>AC
，
∴△
< br>AEB
是直角三角形，
∵
D
为
AB
中点，<
/p>
DE=10
，
∴
AB=20
，
∵
AE=16
，
第
3
页（共
10
页）
∴
BE=
=12
，
故选
C
．
<
/p>
【点评】本题考查了勾股定理的运用、直角三角形的性质：直角三角形中，斜边上的
中线等于斜边的一半，题目的综合性很好，难度不大．
4
．下列
四组线段中，能组成直角三角形的是（
）
A
．
a=1
，
b=2
，
c=3
B
．
a=2
，
b=3
，
c=4
C
．
a=2
，
b=4
，
c=5
D
．
a=3
，
b=4
，
c=5
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：
A
、∵
< br>1
2
+2
2
=5
≠
3
2
，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
B
、∵
2
2
+3
2
=13
≠
4
2
，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
C
、∵
2
2
+4
2
=20
≠
5
2
，∴不能构成直角三角形，故本选项错
误；
D
、∵
3
2
+4
2
=
25=5
2
，∴能构成直角三角形，故本选项正确．
故选
D
．
<
/p>
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长
a
，
b
，
c
满足
a
2
+b
2
=c
2
，那
么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
5
．下列各组线段中，能够组成直角
三角形的一组是（
）
A
．
1
，
2
，
3
B
．
2
，
3
，
4
C
．
4
，
< br>5
，
6
D
．
1
，
，
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析
】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那
么这个三角
形是直角三角形判定则可．
【解答】解：
A
、
1
2
+2
2
≠
3
2
，不能组成直角三角形，故错误；
B
、
2
2
+3<
/p>
2
≠
4
2
，不能组成直角三角形，故错误；
C
、
4
2
+5
2
≠
6
2
，不能组成直角三角形，故错误；
D
、
1
2
+
< br>（
）
2
=
（
）
2
，能够组成直角三角形，故正
确．
故选
D
．
<
/p>
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析
所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间
的关系，进而作出判断．
6
．一直角三角形的两边长分别为<
/p>
3
和
4
．则第三
边的长为（
）
A
．
5
B
．
C
．
D
．
5
或
【考点】勾股定理．
【专题】分类讨论．
【分析】本题中
没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析．
【解答】解：（
1
）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三
边为
5
，
（
2
）当
4
为斜
边时，由勾股定理得，第三边为
，
故选：
D
．
【点评】题主要考查学生对勾股定理的运用，注意分情况进行分析．
7
．（
2013
•
德宏州）设
a
、
b
是直角三角形的两
条直角边，若该三角形的周长为
6
，斜
边长为
2.5
，则
ab
的值是（
）
A
．
1.5
B
．
2
C
．
2.5
D
．
3
【考点】勾股定理．
【专题】压轴题．
【分析】由该三角
形的周长为
6
，斜边长为
2.5
可知
a+b+2.5=6
，再根据勾股定理和
完
全平方公式即可求出
ab
的值．
【解答】解：∵三角形的周长为
6
，斜边长为
2.5
，
∴
a+b+2.5=6
，
∴
a+b=3.5
，①<
/p>
∵
a
、
b
是直角三角形的两条直角边，
∴
a
2
+b
2
=2.5
2
，②
由①②可得
ab=3
，
故选
D
．
<
/p>
【点评】本题考查了勾股定理和三角形的周长以及完全平方公式的运用．
< br>
8
．如图，若∠A=60°，
AC=20m
，则
BC
大约是（结果精确到
0.1m
）
（
）
A
．
34.64m
B
．
34.6m
C
．
28.3m
D
．
17.3m
【考点】勾股定理；含
30
度角的直角三角形．
【分析】首先计算出∠
B
的度数，再根据直角三角形的性质可得
AB=40m
，再利用
勾股
定理计算出
BC
长即可．
【解答】解：∵∠A=60°，∠C=90°，
第
4
页（共
10
页）
∴∠B=30°，
∴
AB=2AC
，
∵
AC=20m
，
∴<
/p>
AB=40m
，
∴
BC=
=
=
=20
≈
34.6
（
m
），
∴
< br>=
=
．
故选：
B
．
【点评】此题主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角
形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．在任何一个直角三角形中，两条直角边
长的平方之和一定等于斜边长的平方．
9
．如图，在矩形
< br>ABCD
中，
AD=2AB
，点
M
、
N
分别在
边
AD
、
BC
上，连接
BM
、
DN
< br>．若四
边形
MBND
是菱形，则
等于（
）
故选：
C
．
【点评】此题考查了菱形与矩形的性质，以及直角三角形中的勾股定理．解此题的关
键是注意数形结合思想与方程思想的应用．
10
．<
/p>
如图，
正六边形
ABCDEF
中，
AB=2
，
点
P
是
ED
的中点，<
/p>
连接
AP
，
则<
/p>
AP
的长为
（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
A
．
2
B
．
4
C
．
D
．
【考点】勾股定理．
【分析】连接<
/p>
AE
，求出正六边形的∠F=120°，再求出∠
AEF=
∠EAF=30°，然后求出
∠AEP=90
°并求出
AE
的长，再求出
PE
的长，最后在
Rt
△
AEP
中，利用勾股定理列式
进行计算即可得解．
【解答】解：如图，连接
AE
，
在正六边形中，∠
F=
×（
6
﹣
2
）
•
180°=120°，
∵
AF=EF
，
∴∠
AEF=
∠
EAF=
（180°﹣120°）=30°，
∴∠AEP=120°﹣30°=90°，
< br>AE=2
×2cos30°=2×
2
×
∵点
P
是
ED
的中点，
∴
< br>EP=
×
2=1
，
在
Rt
△
AEP
中，
AP=
=
=
．
=2
，
【考点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质．
【分析】首先由菱形的四条边都相等与矩形的四个角是直角，即可得到直角△
ABM
中
三边的关系．
【解答】解：∵四边形
MBND
是菱形，
∴
MD=MB
．
∵四边形
ABCD
是矩形，
∴∠A=90°．
设
AB=x
，
AM=
y
，则
MB=2x
﹣
< br>y
，（
x
、
y
均为正数）．
在
Rt
△
ABM
中，
AB
2
+AM
2
=BM
2
，即
x
2
+y
2
=
（
2x
﹣
y
）
2
，
解得
x=
y
，
∴
MD=MB=2x
﹣<
/p>
y=
y
，
故选：
C
．
第
5
页（共
1
0
页）