初一几何——三角形的边角关系(一)
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初一几何
< br>——
三角形的边角关系（一）
【学习目标】
1
．
根据三角形、多边形内角和定理计算较复杂图形中的相关角度。
2
．
充分利用三角形三边关系解决相关问题。
3
．
学会并掌握双垂直图形。
【知识库】
1
、三角形的边：三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边
即：<
/p>
△
ABC
中，
a
+b>c,b+c>a,c+a>b
（两点之间线段最短）
由上式可变形得到：
a>c
－
b
，
b>a
－
c
，
c>b
－
a
即有：三角形的两边之差小于第三边
2
、高：由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶
点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
3
、中线：连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线
【规律探索】
（
北京市竞赛题
）
如图，把△
ABC
纸片沿
DE
折叠，当点
A
落在四边形
BCDE
内部时
，则∠
A
与∠
1
＋∠
2
之间
有一种数量关系始终保持
不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（
）
．
A
．∠
A
＝∠
1
＋∠
2
B
．
2
∠
A
＝∠
1
＋∠
2
C
．
3
∠
A
＝
2
∠
1
＋∠
2
D
．
3
∠
A
＝
2
（∠
1
＋∠
2
）
变式：
想
一想，如果当点
A
落在四边形
BCDE
外部时，∠
A
与∠
1
、∠
2
之间又有什么数量关系呢
？试画出图形
并说明。
【题型精讲】
重难点一：三角形的面积。
例一：<
/p>
如图，
△
ACB
中，∠
ACB
=90°
，∠
1=
∠
B
．
若
AC
=8
，
BC
=6
，
AB
=10
，则
CD
的长为
．
例二：
如图，等腰三角形
ABC
中，两腰
AB
=<
/p>
AC
，点
P
在底
边
BC
上任意一点，求证：点
P
到两腰的距离之和等
于等腰三角形腰上的高。
（要求画出草图再求证）
A
B
P
C
拓展延伸：
已知等边
△
ABC
和点
P
，设点
P
到
△
ABC
三边的<
/p>
AB
、
AC
、<
/p>
BC
的距离分别是
h
1
，
h
2
，
h
3
，
△<
/p>
ABC
的
高为
h
，请你探索以下问题：
（
1
）若点
P
在一边
BC
上（图
1
）
，此时
h
3
=0<
/p>
，问
h
1
、
h
2
与
h
之间有怎样的数量关系？请说明理由；
（
2
）若当点
P
在<
/p>
△
ABC
内（图
2
）
，此时
h
1
、
h
2
、<
/p>
h
3
与
h
之间有怎样的数量关系？请说明理由；
（<
/p>
3
）若点
P
在<
/p>
△
ABC
外（图
3
）
，此时
h
1
、
h
2
、<
/p>
h
3
与
h
之间有怎样的数量关系？请说明理由
重难点二：三角形的三边关系
例三：
已知三角形三边分别为
2
，
a
-
1
，
4
，那么
a
的取值范围是
(
)
A.1<
a
<5
B.2<
a
<6
C.3<
a
<7
D.4<
a
<6
例四：
已知
△
ABC
的周长是
12
，三边为
a
、
b
、
c
，若
b
是最大边，确定
b
的取值范围。
例
五：
已知：
△
ABC
< br>中，
AD
是
BC
边上的中线。求证：
AD
+
B
D
>
1
2
(<
/p>
AB
+
AC
)<
/p>
练习：
1
、
已知
a
、
b<
/p>
、
c
是
Δ
ABC
的三边长，化简
|
a
+
b
-
c
|-|
a
-
b
-
c
|
2
、
已知三角形的三边长
a
< br>、
b
、
c
都是整数，且
a
≤
b
＜
c
，
b
=7
，则这样的三角形有多少个？
3
、
已知
O
是
△
ABC
中任意一
点，求证：
1
2
(
AB
+
AC
+
BC
)
＜
OA
+
OB+OC
A
O
B
C