九年级数学第一章直角三角形的边角关系教案
陈实功-
九年级数学第一章直角三角形的边角关系教案
一、本章教学的指导意见：
（一）本章内容概述
4
、
船有触
礁的危
1
、从梯子的倾斜程度
45
°、
2
、
30
°、
3
、
三角函
险吗？
应
60
°角
的三角函
数的有关
用
谈起（
tanA
、
sinA<
/p>
、
数值
计算
5
、<
/p>
测量物体的高
度（活动课）
回顾与思考
本章内容从梯子的倾斜程度说起，
引出第一个三角函数——正切。
因为相比之下，
正切
是生活当中用得最多的三角函数概念，
如刻画物体的倾斜程度、
山的坡度等。
正弦和余弦的
概念，是在正切的基础上、利用直角三角形、通过学生的说理得到的。
接着，又从学生熟悉的三角板引
入特殊角
30
°、
45
°、
60
°角的三角函数值的问题。
< br>
对于一般包括锐角三角函数值的计算问题，
需要借助计
算器。
教科书仔细地介绍了如何从角
得值、从值得角的方法，并
且提供了相应的训练和解决问题的机会。
利用锐角三角函数解
决实际问题，也是本章重要的内容之一。除“船有触礁的危险
吗？”“测量物体的高度”
两节外，很多实际应用问题穿插于各节内容之中。
直角三角形
中边角之间的关系，
是现实世界中应用最广泛的关系之一，
锐角
三角函数在
解决现实问题中有着重要的作用，如在测量、
建筑、
工程技术和物理学中，人们常常遇到距
离、高度、
角度的计算问题，一般说来，
这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形
中
边和角的关系问题。
研究图形之中
各个元素之间的关系，
如边和角之间的关系，
把这种关系用数量
的形式表
示出来，
即进行量化，
是分析
问题和解决问题过程中常用的方法，
是数学中重要的思想方法。
通过这一章内容的学习，学生将进一步感受数形结合的思想、体会数形结合的方法。
<
/p>
通过直角三角形中边角之间关系的学习，
学生将进一步体会数学知
识之间的联系，
如比
和比例、图形的相似、推理证明等。
直角三角形中边角之间关系的学习，也将为一般性地学
习三角函数的知
识及进一步学习其它数学知识奠定基础。
（二）教学重点
1
< br>．使学生经历探索直角三角形中边角之间关系、探索
30
°、
45
°、
60
°角的三角函数值的
过程，从中发展学生观察、分析、发现的能力；
2
．理解锐角三角函数的概念，并能够通过实例进行
说明；
3
．会计算包括
30
°、
45
°、
60
°角的三角函数值的问题；
4
．
能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值
，
或由已知三角函数值求出相应的锐角；
5
．能够运用三角函数，解直角三角形及解决与直角三角形有关的实际问题，培养学
生分析
问题和解决问题的能力；
6<
/p>
．体会数、形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。
（三）教学难点
1<
/p>
．经历探索直角三角形中边角之间关系、探索
30
°、
45
°、
60
°角的三角函数值的过程；
2
< br>．解决与直角三角形有关的实际问题；
3
．体会数、形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题。
（四）教学关键
1
．使学生清楚直角三角形中边角之间的关系，熟练掌握解直角三角形；
2
．使学生能灵活解决与直角三角形有关的实际问题；
（五）教学策略
1
．注重创设符合学生实际的问题情境，引出锐角三角函数的概念，使学生感受数学与现实
世界的联系；
2
．引导学生自己观察、分析、发现直角三角形中边角之间的关系，并鼓励学生有条理地进
行思考和表达；
3
．注重数形结合思
想方法的渗透，引导学生逐步从对具体问题的研究中提炼出思想方法；
4
．在解决实际问题时，首先要引导学生弄清实际问题的意义，然后逐步把实际
问题表示为
数学问题，对一些术语（如仰角、俯角等）要向学生进行说明；
5
．教学时要关注学生是否积极投入到探索直角三
角形边角关系的活动中，以及在活动过程
中表现出来的思维水平；
6
．关注学生是否能够发现直角三角形中的边角关系，并能
有条理地表达自己的想法；
7
．关注
学生是否能够运用所学的知识解决实际问题，如能够把实际问题中的数量关系表示
为数学
表达式，并且求出问题的解；
8
．关
注学生对概念的理解，恰当考查知识与技能；
（六）设计思路
概
念
特
殊
角
一
般
角
应
用
二、具体内容分析及教学建议
第一节
从梯子的倾斜程度谈起
（一）教学核心
1
< br>．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解
tanA
、
sinA
、
cosA
的数学含义和与现实
生活的联系；
2
．能够用
tanA
、
sinA
、
cosA
表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡
度等，并能够用
tanA
、
sinA
、<
/p>
cosA
进行简单的计算；
3
．理解锐角三角函数的意义；
4
．经历观察、猜测等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理
地、清晰地阐述自己的
观点；
5
．体会数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实
际问题的能力；
6
．体会解决问题的策略多样性，发展实践能力和创新精神；
（二）课时安排
2
课时
（三）教材分析
本节从现实情境
（梯子的倾斜程度）
出发，
让学生经历探索直角三角形边角关系的过程
中，理解锐角三角函数的意
义，并能够举例说明，能用
tanA
、
sinA
、
cosA
表示直角三角形<
/p>
中两边的比，并能够根据直角三角形的边角关系进行计算。
◆
第一课时
（一）教学内容
本节首先由梯子的倾
斜程度问题引出锐角三角函数正切。此情境问题是一个开放性问
题，主要看学生是否能够
说出理由。如，因为梯子的高度
AC
、
ED
相等，可以用
BC
、
FD
的距
离判断梯子的倾斜程度等。
然后通过想一想，研究有一个公共角的两个直角三角形的关系（相似）
，得出两直角边
比的关系，
使学生理解当锐角
固定时，
它的对边与邻边的比值也固定这一事实。
由于直角三<
/p>
角形中的锐
A
确定之后，
它的对边与邻边之比也随之确定，
故定义此确定之比为角
A
的正切，
并用符号
tanA
表示。
在得出正切的定义之后，
通过议一议，
引导学生进一步议论出正切的值与梯子倾斜程度
之间的关系。
随后由例
1
，通过计算正切值，判断梯子的倾斜程度。这是上述结论的直接运用。
< br>
正切还经常应用于另一很实用的概念——对山坡坡度的刻画，
< br>最后向学生介绍坡度、
坡
角等概念。
（二）教学建议
1
．本节的重点就是理解
tanA
的数学含义，难点
是从现实情境中理解
tanA
的数学含义，所
< br>以在教学中要注重创设符合学生实际的问题情境，使学生感受到数学与现实世界的联系；
< br>
2
．课本引例是一个开放性问题，学生的回答可能多种
多样，例如，有的学生可能会想到度
量角度等，教师可以引导学生用对边和邻边之比；<
/p>
3
．鼓励学生有条理地进行表达和思考
，特别关注他们对概念的理解；
4
．
要注意坡度与坡角的区别和联系，坡度是坡角的正切；
（三）教学素材
1
< br>．在“小车下滑的时间”的实验过程中，如图所示，
小
车从斜坡的顶端滑下，已知一次实验的结果需
4
秒，
36cm
木板的坡度为
3
，请你根据图中数据计算小车的平
4
均速度？
◆
第二课时
（一）教学内容
课本在正切的基础上
，继续拓展到直角三角形其它边之间的比，从而引出正弦和余弦，
以及它们的符号表示。
然后通过想一想，引导学生进一步讨论出正弦和余弦的值与梯
子倾斜程度之间的关系。
例
2
和做一做，
是正弦、
余弦的简单运用，同时渗
透互余的两个角的正弦、
余弦有如下
o
关系：
sinA=cos
（
90
-A
）
（二）教学建议
1
< br>．正弦、余弦的概念是类比正切得到的，因此可仿照正切进行正弦、余弦的教学，建议引
< br>导学生进行充分的讨论、说理；
2
．用函数的观点理解正弦、余弦和正切，这是一个难点，教学时可发动学生进行研讨。事
实上，当∠
A
确定时，三个比值分别唯一确定；当∠
A
变化时，三个比值也分别有唯一确定
的值与
之对应；
o
3
．做一做时，可渗透
sinA=cos
（
90
-A
）
，但不要随意拔高要求
；
4
．引导学生积极参与数学活动，
对数学产生好奇心和求知欲；
5
．引
导学生形成合作交流的意识以及独立思考的习惯；
A
D
（三）教学素材
1
．如图，矩形
ABCD
中，
AB=1
，
BC=
3
，
AC
与
BD
O
相交于
O
，则
tan
AOB
等于多少？
B
C
第二节
30
°、
45
°、
60
°角的三角函数值
（一）教学核心
1
< br>．经历探索
30
°、
45
°、
60
°角的三角函数值的过程，能够进行
有关的推理，进一步体会
三角函数的意义；
< br>2
．能够进行
30
°、
45
°、
60
°角的三
角函数值的计算；
3
．能够根据
30
°、
45
°、
60
°的三角函数值说明相应的锐角的大小；
< br>
4
．经历探索的过程，发展学生观察、分析、发现的能
力；
5
．培养学生把实际问题转化为
数学问题的能力；
（二）课时安排
1
课时
（三）教学内容
课本由常用的、学生
熟悉的三角板引入
30
°、
45
°、
60
°角的三角函数值的问题，首
先讨论
30
°角的三角函数值；然后通过做一
做继续讨论
45
°、
60
°角的三角函数值。
随后的例
1
，旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值；例
2
是将数学知识回到现实中去，应
用数学知识解决实际问题。
（四）教材分析
本节在
前两节介绍了正切、正弦、余弦定义的基础上，经历探索
30
°
、
45
°、
60
°角
的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义，并能够进行含有
30
°、
45
°、
60
°角
的三角函数值的计算。