三角形中的边角关系的复习
时间煮雨吉他谱-
第
13
章
“三角形中的边角关系”的复习
一、复习目标
1
．了解与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线），知道三角形三边关系的两
个定理，会画出任意三角形的高、中线、角平分线．
2
．了解与三角形有关的角（内角、外角），会用平行线的性质与平角的定义说明三角
形内角和等于
180°
，探索并理解三角形内角的
和定理的三个推论．
3.
了解三角形
的按边、按角进行的分类。
4
．了解
定义、命题、真命题、假命题、原命题、逆命题、反例等概念，会判断命题的
条件与结论
，知道原命题与逆命题关系。
5
．公
理、定理、证明、演绎推理、辅助线等概念，会进行简单的推理证明
6.
提高学生的推理证明及学生的概括与归纳能力。
二、重难点
重点是：梳理本章知识，强化知识之间的联系；
难点是：提高学生的推理证明及学生的概括与归纳能力。
三、知识归纳
1
．三角形的概念
< br>不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形．
①三角形有三条边，三个内角，三个顶点
.
②组成三
角形的线段叫做三角形的边
;
③
相邻两
边所组成的角叫做三角形的内角，简称角
;
④相邻两边的公共
端点是三角形的顶
点，
④三角形
ABC
用符号表示为
△
ABC
，⑤三角形
ABC
的边
AB
可用边
AB
所
对的
角
C
的小写字母
< br>c
表示，
AC
可用
b
表示，
BC
可用
a
表示
.
注意：
（
1
）三条线
段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；
（
< br>2
）三角形是一个封闭的图形；
（
3
）
△
A
BC
是三角形
ABC
的符号标记，单独
的
△
没有意义．
2
．三角形的三边关系
A
三角形的任意两边之和大于第三边
;
任意两边之差小于第三边
.
注意：<
/p>
（
1
）三边关系的依据是：两点之间线段
是短；
（
2
）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．
3
．三角形的中线、角平分线、高
<
/p>
（
1
）三角形中线：连结一个顶点和它对
边中点的线段．
表示法：①
AD
是
△
ABC
的
BC
上的中线
.
1
②
BD=DC=
BC.
2
注意：
①三角形的中线是线段；
②三角形三条中线全在三角形的内部；
B
D
C
A
2
1
B
D
C
③三角形三条中线交于三角形内部一点；
④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
（
2
）三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与
它的对边相交，这个角顶点与交
点之间的线段。
表示法：①
AD
是
△
ABC
的∠
< br>BAC
的平分线
.
A
1
②
∠
1=
∠
2=
∠
BAC.
2
注
意：
①三角形的角平分线是线段；
B
D
C
②三角形三条角平分线全在三角形
的内部；
③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；
④用量角器画三角形的角平分线．
（
3
）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作
垂线，顶点和垂足之
间的线段．
表示法：①
AD
是
△
ABC
的
BC
上的高线
.
②
AD
⊥<
/p>
BC
于
D.
③
∠
ADB
=
∠
ADC=90°
.
注意：
①
三角形的高是线段；
②
锐角三角形三条高全在三角形的内
部；直角三角形有两条高是直角边，另一
条在内部；钝角三角形有两条高在形外，另一条
在内部。
③
三角形三条高所在直线交于一点．
4
．三角形的分类：
不等边三角形
按边分：<
/p>
三
角形
腰与底不相等的等腰三角形
等腰三角形<
/p>
腰与底相
等的等边三角形
直角三角形
锐角三角形
<
/p>
按角分：
三角形
锐角三角形
或：
三角形
直角三角形
斜三角形
钝角三角形
钝
角三角形
5
．
对“定义”的理解：
能明确界定某个对象含义的语句叫做定义。
注意：
确界定某个对象有两种形式：
①
揭示对象的特征性质；
例如：从三角
形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做
三角形的高．<
/p>
②
明确对象的范围。例：整数和分数统称为有理数
6
．有关“命题”的概念
用来判断它是真（正确）
、假（错误）的语句或式子叫做命题。
注意：①
命题有真命题和假命题两种，
②
命题由
题设
和
结论
两部分组成的
.
前一部分，也称之为
条件，
后一部分称之
为
结论。
③
命题通常是用“
< br>如果
·
·
·
·
·
·
,
那么
·
·<
/p>
·
·
·
·
.
”
的形式给出
.<
/p>
④
“
如果
p,
那么
q.
”
中
的题设与结论互换，
得一个新命题：
“
如果
q,
那么
p.
”
这
两个命题称为互逆命题
.
其中一个命题叫
原命题
，另一个命题叫做
逆命题
⑤
当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题
.
⑥
符合命题的题设，
但不满足命题的结论的例子，
称之为
反例
.
< br>要说明一个命题
是假命题，只要举一个反例即可
7
．有关“公理、定理、证明、推论、演绎推理、辅助线”等概念
（
1
）公理：从
长期实践中总结出来的，不需要再作证明的真命题。
（
2
）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并被
选作判断命
题真假的依据的真命题。
（
3
）演绎推理：从已知条件出发，依
据定义、公理、定理，并按照逻辑规则，推导
出结论的方法。
（
4
）证明
：演绎推理的过程就是演绎证明，简称“证明”
。
（
5
）推论
：由公理、定理直接得出的真命题。
（
6
）辅助线：为了证明的需要，在原来的图形上添画的线段
或直线。
8
．三角形的内角和定理：
三角形的内角和等于
180°
．
（
1
）从折
叠可以看出：∠
A+
∠
B+
∠
C=180
0
(2)
从剪拼可以看出：∠
A+
∠
B+
∠
C=180
0
(3)
由推理可知：∠
A+
∠
B+
∠
C=180
0
推理过程：
一
、
作
CM
∥
AB
，
则
∠
4
=
∠
1
，
∠<
/p>
5=
∠
2,
∵<
/p>
∠
3+
∠
4+<
/p>
∠
5=180
0
，
∴∠
3+
∠
1+
∠
2=180
< br>0
，即∠
A+
∠
B+
∠
ACB=180
0
．
二、作
MN<
/p>
∥
BC
，则∠
2
=
∠
B
，∠
3
=
∠
C
，而∠
1+
∠
2+
∠
3=180
0
，
即∠
BAC+
∠
B+
∠
C=180
0
．
注意：
（
1
）证明的思路很多，基本思想是组成平角．