三角形ABC中三边平方之间的关系八年级数学上册
面包机做面包-
三角形
ABC
中三边平方之间的关系
三角形
ABC
中
,BC=a,AC=b,AB=c,
若角<
/p>
C=90°,
根据勾股定理则
a²+b²
=c²,
若三角形
ABC
不
是直角三角形
,
请类化勾股定理，证明
a²+b²
与
c²
的关系
。
解：若△
ABC
是锐角三角形，则有
a2+b2
＞
c2
（
1
分）
若△
ABC
是钝角三角形，∠
C
为钝角，则有
a2+b2
＜
c2
．
< br>（
2
分）
当△
ABC
是锐角三角形时，
<
/p>
证明：过点
A
作
AD
⊥
BC
，垂足为
< br>D
，设
CD
为
< br>x
，则有
BD=a-x
（
3
分）
根据勾股定
理，得
b2-x2=AD2=c2-
（
a-x
）
2
即
b2-x2=c2-a2+2ax-x2
．
∴
a2+b2=c2+2ax
（
5
分）
∵
a
＞
0
，
x<
/p>
＞
0
，
∴
2ax
＞
0
．
∴
a2+b2<
/p>
＞
c2
．
（
6
分）
当△
ABC
是钝角三角形时，
证明：过
B
作
BD
⊥
AC
，交
AC
的延长线于
D
．
设
CD
为
x
，则有
BD2=a2-x2
（
7
分）
根据勾股定理，得（
b+x
）
2+a2-x2=c2
．
即
a2+b2+
2bx=c2
．
（
9
< br>分）
∵
b
＞
0
，
x
＞
0
，
∴<
/p>
2bx
＞
0
，<
/p>
∴
a2+b2
＜
c2
．
解：
当△
ABC
为锐角三角形时，
做
BC
边上的高<
/p>
AD
⊥
BC
于<
/p>
D
，
∴∠
ADC
=
∠
ADB=90
°。
设
CD
为
x
< br>，
BD
为
a-x
。在
Rt
△
ACD
和
Rt
△
ABD
中，∠
ADC=
∠
AD
B=90
°。由勾股定理得：
AD
²<
/p>
=b
²
-x
²<
/p>
=c
²
-
（
a-x
）²，
b
²
-x
²
=c
²
-a
²
+2ax-x
< br>²，
a
²
+b
< br>²
-2ax=c
²。∵
2ax>
0
，∴
a
²
+
b
²
>c
²
当△
ABC
为钝角三角形时，
做
BC
边上的高
AD
⊥
BC
的延长
线于
D
，
∴∠
D=90
°。
设
CD
< br>为
y
，
BD
为
a+y
。在
Rt
△
ACD
和
Rt
△
ABD
中，∠
D=90<
/p>
°，由勾股定理得：
AD
²
=b
²
-y
²
=c
²
-
（
a+y
）
²，
b
²
-y
²
=c
²
-a
²
-2ay+y
²，
a
²
+b
²
+2ay=c
²，∵
2ay>0
，∴
a
²
+b
²