三角形的不等关系
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三角形的不等关系
三角形的不等关系是研究许
多几何不等问题的基础，
这种不等关系分为两类：
一
类是在同一三角形中进行比较；一类是在两个三角形中比较．
在同
一个
三角形
中有关边或角不等关系的证明，常有以下定理：
(1)
三角形任何两边之和大于第三边．
(2)
三角形任何两边之差小于第三边．
(3)
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．
(4)
同一三角形中大边对大角．
(5)
同一三角形中大角对大边．
例题求解
【例
1
】
<
/p>
如图
19-2
，在
等腰梯形
ABCD
中，A∥BC，
A
B=CD
，
E
、
F
分别在
AB
、
CD
上且
AE=CF
．求证：
．
思路点拨
如图所示，延长
AD
至
D
1
使
DD
1
=BC
，延长
BC
至
C
l
，使
CC
l
=AD
，连结
C
l
D
l
，则
AB
C
1
D
l
是<
/p>
平行四边形
，
ABCD
< br>和
CDD
l
C
< br>l
是两个全等的
梯形
，在
D
1
C
1
上取一
点
G
使
D
1
G=AE
，连结
FG
和
EG
．
由
AE
=CF
，则
EF=FG
，又
EG=AD
1
=AD+BC
，
∴
2EF=EF+FG≥EG=AD+BC．
即
．
注
当且仅当点
F
落在
EG
上时，
即
E
为
AB
的中点时，
结论中的等号成立．
< br>证
明这类不等式的一个常用方法是能过添加
辅助线
，
把要比较大小的线段或角集中
到一个三角形
中，
或者适当地安排在两个三角形中，
以便应用上述基本
不等式
关
系．
【例
2
】
<
/p>
如图
19-3
，△ABC
中，
AB>AC
，
BE
、
CF
是
中线
，求证：
BE>CF
．
思路点拨
< br>将
BE
、
CE
< br>分别平移到
FG
、
FD
，
则
四边形
EFDC<
/p>
为平行四边形，
作
FH⊥BC
于
H
．
∴AB>AC，且
F
，
E
分别为
AB
、
AC
的中点，∴
FB>CE．
∴
FB>FD
，由
勾股定理
得：
HB>HD
，即
FB>FD
．
又∵GH=GB+BH=EF+BH=DC+BH>C
D+DH=CH，
即
GH>CH
，
∴
GF>CF
．
即
BE>CF
．
【例
3
】
如图
19-4
，在等腰△ABC
中，
AB=AC
，
D
为形内一点，∠ADC>∠ADB，
求证：
DB>DC
．
思路点拨
把△ABD
绕点
A
按逆时针方向旋转△BAC
< br>
至△ACD′，连接
DD′，则
AD=AD'
．
∴∠ADD′=∠AD′D，而∠ADC>∠ADB，
∴ ∠ADC>∠AD′C，
∴
∠ADD′+∠D′DC>∠AD′D+∠CD′D
∴
∠D'DC>∠DD'C．
∴
CD′>DC，即
DB>DC
．
注
几何图形在平移、对称、旋转变换
中，只是图形位置发生变化，而线段
的长度、角的大小不变．
【例
4
】
<
/p>
如图
19-5
，在△ABC
中，
a
、
b
、
c
分别为∠A、∠B、∠C
的对边，且
2
b
< a
+c
，求证：2∠B<∠A+∠C．
思路点拨
延长
BA
到
D
，使
AD=BC= a
，延长
BC
到<
/p>
E
，使
CE=AB=
，连结
DE
，
这就把图形补成一个等腰三角形，即有
BD=BE= a +
c
．
∴∠BDE=∠BED．
作
DF∥AC，CF∥AD，相交于
F
，连结
EF
，则
A
DFC
是平行四边形．
∴CF=AD=BC．
又∠FCE=∠CBA，∴△FCE≌△CBA
∴ EF=AC= b．
于是
DE≤DF+EF=2 b
< a+c=BD=BE．
这样，在△BDE
中，便有∠B<∠BDE=∠BED
∴
∠2B<∠BDE+∠BED=180°一∠B=∠A+∠C，
即
2∠B<∠A+∠C．
【例
5
】
<
/p>
过三角形的
重心
任作一直线，把这个三角
形分成两部分，求证：这
两部分面积之差不大于整个三角形面积的
．