三角形的内角与外角之间的关系
士兵76-
五、
三角形的内角与外角之间的关系：
1
、三角形的内角和：
180
°
应用：
1
）、应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角
2
）、已知三角关系求三个角
引申：①直角三角形的两个锐角互余；
能作（
n-3
）条对角线；
（
2
）多边形有
n<
/p>
(
n
3
)
条对角线。
2<
/p>
（
3
）从
n
边形的一个顶点出发能将
n
边形分成（
n-2
）个三角
形；
※
6
．镶嵌②一个三角形中至多有
一个直角或一个钝角；
③一个三角中至少有两个内角是锐角。
3
）、三角形的外角和：
360
°<
/p>
4
）、
三角形外角的性质：
①三角形的一个
外角等于与它不相邻的两个内角的和；
——
常用来求
角度
②三角形的一个外角大于任何一个与它不相
邻的内角。
——
常用来比
较角的大小<
/p>
5
）、多边形的内角与外角
多边形的内角和与外角和（识记）
正
n
边形
内角和
3
180
4
360
5
540
6
720
8
1080
10
1440
12
1800
15
2340
°
外角和
360
°
每
一个内角
(
n
2
)
180
360
或
180
n
n
°
360
°
°
360
°
°
360
°
120
°
°
360
°
135
°
°
360
°
144
°
°
360
°
150
°
°
360
°
158
°
60
°
90
°
108
°
120
°
每
一个外角
180
< br>(
n
2
)
180
360
< br>
或
n
n
90
°
72
°
60
°
45
°
36
°
30
°
22
°
引申
：（
1
）从
n
边形的一个顶点出发
（
1
）同一种正三边形、正四边形、正六边形可以进行平面镶嵌；
（
2
）正三角形与正四边形、正三角形与正六边形
……可以进行平面
镶行镶嵌。
（
1
）多边形的内角和：（
n-2
）
180
°
（
2
）多边形的外角和：
360
°
【典型例题】
以
嵌；
<
/p>
（
1
）同一种任意三角形、任意四边形可
以进行镶嵌。
【典型例题】
三角形的分类
每一个外角
180
(
n
2
)
180
360
或
n
n
120
°
90
°
72
°
60
°
45
°
36
°
30
°
22
°
引申
：（
1
）从
n
边形的一个顶点出发
（
1
）同一种正三边形、正四边形、正六边形可以进行平面镶嵌；
（
2
）正三角形与正
<
/p>
（
1
）多边形的内角和：（
n-2
）
180
°
（
2
）多边形的外角
和：
360
°
四边形、正三角形与正六边形……可以进行平面镶行镶嵌。
【典型例题】
以
嵌
.
适当添加辅助线，寻找基本图形
B
C
E
D
A
图
8
(1)
基本图形一，如图
8
< br>，在
ABC
中，
AB=AC
，
B,A,D
成
一条直线，则
图
9
DAC
=2
B
=2
C
或
B
=
C
=
1
DAC
.
2
(2)
< br>基本图形二，
如图
9
，
如果
CO
是
AOB
的角平分线，
DE
∥
OB
交
OA,OC
于
D,E
，
那么
DOE
是等腰三角形，
D
O=DE
.
当几何问题的条件和结论中，
或在推理过程中出现有角平分线，
平行线，
等腰三角形三个条
件中的
两个时，
就应找出这个基本图形，
并立即推证出第三个作为结论
.
即：
角平分线
+
平行线→等腰三角形
. <
/p>
基本图形三，
如图
10
< br>，
如果
BD
是
< br>
ABC
的角平分线，
M
是
AB
上一点，
MN
BD
，且与
BP,BC
相交于
P,N
.
那么
BM=BN
，即
<
/p>
BMN
是等腰三角形，
且
MP=NP
，即：角平分线
+
垂线→等腰三角形
.
当几何证题中出现角平分线和向角平分线
所作垂线时，
就应找出这个
基本图形，
如等腰三角形不完整就应将基本图
形补完整，如图
11
，图
12.
图
11
例题
1
如
图
1
，
△
AB
C
中，
AD
是高，
AE
是角平分线，
∠
B=20
°，
∠
C=60
°
.
求∠
CAD
和∠
AEC
的度数。
例题
2
如果三角形的一个外角与跟它不相邻的两个内角的和为