2020年河南省中招命题专家原创预测卷数学试卷 解析版
史今为什么退伍-
2020
年河南省中招命题专家原创预测卷数学试卷
一．选择题（共
10
小题）
1
．下列各数中最小的是（
）
A
．
π
B
．
3
C
．
D
．
2
．丹江口水库是亚洲第一大人工淡水湖，国家南水北调工程水源地，总库容达到
290.5
亿
立方米，将
2
90.5
亿用科学记数法表示为
2.905
×
10
a
，则
a
的值为（
）
A
．
8
B
．
9
C
．
10
D
．
11
<
/p>
3
．
如图是一个正方体的平面展开图，<
/p>
折叠成正方体后与
“建”
字所在面相对的
面的字是
（
）
A
．创
B
．教
C
．强
D
．市
4
．下列计算正确的是（
）
A
．
2
a
2
﹣
a
2
＝
1
C
．
< br>a
3
×
a
4
＝
a
12
B
．
（﹣
3<
/p>
a
2
b
）
2
＝
6
a
4
b
2
D
．
a
4
÷
a
2
+
a
2
＝
2
a<
/p>
2
5
．本学期开展了“恰同学少年，品诗词美韵”中华传统诗词大赛活动．小江统计了班级
50
名同学四月份的诗词背诵数量，
具体数据如
表所示：
那么这
50
名同学四月份诗词
背诵数
量的众数和中位数分别是（
）
诗词数量
（首）
人数
A
．<
/p>
9
，
7.5
5
6
B
．
9
，
7
6
8
10
9
4
D
．
8
，
7.5
2
4
5
6
7
8
9
10
11
C
．
8
，
8
6
．
明代大数学家程大位著
《算法统宗》
一书中，<
/p>
记载了这样一道数学题：
“八万三千短竹竿，
将来要把笔头安，管三套五为期定，问都多少能完成？”用现代的话说就是：有
83
000
根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管
3
< br>个或笔套
5
个，怎样安排笔管和笔套的短竹的数
量，使制成的
1
个笔管与
1
个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为
x
根，用于制
作笔套的短竹数为
y
< br>根，则可列方程为（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
7
．下列一元二次方程中，无实数根的方程是（
）
A
．
x
2
+2
x
+1
＝
0
B
．
2
x
2
﹣
3
< br>x
+1
＝
0
C
．
x
2
+2
x
+2
＝
0
D
．<
/p>
4
x
2
+
x
﹣
1
＝
0
8
．在一个口袋中有
5
个完全相同的小球，把它们分别标号为
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，随机摸出一
个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球
的标号之和能被
3
整除的概率是
（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
9
．如图，在已知的△
ABC
中，按以下步骤
作图：
①
分别以
B
，
C
为圆心，以大于
BC
的
长为半径作弧，两弧相交于两点
M
，
N
；
②
作直线
MN
交
AB
于点
D
，连接
CD
．若
AD
＝
AC
，∠
A
＝
80
°，则∠
ACB
的度数为（
）
A
．
65<
/p>
°
B
．
70
°
C
．
75
°
D
．
80
°
10
．如图，在边长为
2
一个内角为
60
°的菱形
ABCD
中，点
P
以每秒<
/p>
1
cm
的速度从点
A
出
发，沿
AD
→
DC
的路径运动，到点
C
停止，过点
P
作
PQ
⊥
BD
，
PQ
与边
AD
（或边
CD
）
交于点
Q
，△
ABQ
的面积
y
（
cm
2
）与点
P
的运动时间
x
（秒）的
函数图象大致是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
二．填空题（共
5
小题）
11
．计算：﹣
3
2
+|
﹣
6|
＝
．
12<
/p>
．不等式组
的所有整数解的积是
．
13
．如
图，反比例函数
y
1
＝
与一次函数
y
2
＝
mx
+
b
（
m
≠
0
）的交点为
A
（﹣
1
，
4.5
）
，
B
（
3
，
﹣
1.5
）
，当
y
1
≥
y
2
< br>时，写出自变量
x
的取值范围
．
14<
/p>
．如图，
AC
的半圆
O
的一条弦，点
D
是弧
AC
的中点，将弧
AC
沿
弦
AC
为折线将弧
AC
折叠后过圆心
O
，
⊙
O
的半径为
2
，则图中
阴影部分的面积为
．
15
．如图，△
ABC
为直角三角形，∠
ACB
＝
90
°，
AC
＝
BC
＝
2
，
点
D
，
E
分别
为
AC
，
BC
的
中点，点
M
是边
AB
（不包括点
A
，
B
）上一动点，连接
DE
，
MD
，
ME
，
作△
MDE
关于
直线
< br>DE
的对称三角形，
得到△
M<
/p>
′
DE
，
连接<
/p>
CM
′，
当△
C
EM
′为等腰三角形时，
DM
2
′
＝
．
三．解
答题（共
8
小题）
< br>16
．先化简，再求值：
，其中
x
＝
2cos60
°﹣
3
．
17
< br>．某中学为培养学生的阅读习惯，开展了“读书周”活动，并随机调查了该校部分学生这
< br>一周的课外阅读时间，将结果绘制成了如下尚不完整的统计图表
学生课外阅读时间统计表
阅读时间
/
h
3
4
5
6
7
频数
3
m
30
12
3
请你根据以上信息回答下列问题
（<
/p>
1
）填空：
m
＝
，本次调查的人数为
；
（
2
）本次调查中，学生阅读时间的中位数为
h
；
（
3
）扇形统计图中，课外阅读
6
h
所对应的圆心角的度数是
；
（
4
）根据调查数据，发现这一周的人均阅读时间比活动前增加了
25%
，求活动前的人均
阅读时间．
18
．有这样一个问题：探究函数<
/p>
y
＝
1
﹣
过程，请补充完整：
（
1
）函数
y
＝
1
﹣
的自变量
x
< br>的取值范围是
；
的图形与性质进行了探究．下面是小明的探究
（
2
）如下表是
y
与
x
的几组对应值．写出
m
＝<
/p>
，
n
＝
．
x
y
…
﹣
4
﹣
3
﹣
2
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
﹣
0
…
2
m
3
5
﹣
3
﹣
1
﹣
n
1
2
3
…
…
（
3
）如图，在平面直角坐标系
xOy
中，描出了以表中各对对应值为坐标的点．根据描出
的点，画出该函数的图象．
（
4
）结合函数的图象，请完成：
①
y
＝
2
时，则
x
＝
；
②
写出该函数的一条性
质
< br>
；
③
若方程
1
﹣
＝
t
无解，则
t
的值为
．
19
．如
图，已知
AB
是
⊙
O
的直径，点
C
为
⊙
O
上一点，
CD
为不过圆心且垂直于
AB
的弦，
< br>CD
交
AB
于点
E
，连接
CO
并延长交
⊙
O
于点
F
，连接
CB
和
DF
并延长交于点
G
．
（
1
）求证：
CF
＝
GF
；
（
2
）填空：
①
若
AB
＝
4
，则△
COE
面积的最大值是
；
②
当∠
BGF
时，四边形
BODF
为菱形．
20
．如今，不少人购
买家具时追求简约大气的风格，图（
1
）是一款非常畅销的简约
落地收
纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意选择，图（
2
）为其侧面示意图，其中
OD
为
镜面，
EF
为放置物品的收纳架，
AB
，
AC
为等长的支架
，
BC
为水平地面，
且
OA
＝
44
cm
，
OD
＝
120
cm
，
BD
＝
40
cm
，∠
ABC
＝
75
°，如图（
3
）将镜面顺时针旋转
15
°，求此时
收
纳镜顶部端点
O
到地面
BC
的距离．
（结果精确到
1
cm
，
参考数据：
< br>sin75
°≈
0.97
，
cos75
°
≈
0
.26
，
tan75
°≈
3.73
，
≈
1.41
，
≈
1.73
）<
/p>
21
．某环
卫公司承包了市区两个片区道路的清扫任务，需要购买某厂家
A
，
B
两种型号的马
路清扫车，购买
5
辆
A
型马路清扫
车和
6
辆
B
型
马路清扫车共需
171
万元；购买
3<
/p>
辆
A
型马路清扫车和
12
辆
B
型马路清扫车共需
237
万元．
（<
/p>
1
）求这两种马路清扫车的单价；
（
2
）恰逢该厂举行
30
周年庆，决定对这两种马路清扫车开展促销活动，具体方案如下：
购买
A
型马路清扫车按原价的八折销售，
购买
B
型马上清扫车不超过
10
辆时按原价销售，
超过
10
辆的部分按原价的七折销售．设购买
x
辆
A
种马路清扫车需要
y
1
元，购买
x
（
< br>x
＞
0
）个
B
型马路清扫车需要
y
2
元，分别求出
y
1
，<
/p>
y
2
关于
x
的函数关系式；
（
3
）
若该公司承包的道路清扫面积为
118000
m
2
，
< br>每辆
A
型马路清扫车每天清扫
5
000
m
2
，
每辆
B
型马路清扫车每天清扫
6000
m
2
，公司准备购买
< br>20
辆马路清扫车，且
B
型马路
清
扫车的数量大于
10
．请你帮该公司
设计出最省钱的购买方案．请说明理由．
22
．
（
1
）
【发现证明】
如图
1
，在正方形
ABCD
中，点
E
，
F
分别是
BC
，
CD
边上的动点，且∠
EAF
＝
45
°，求
证：
EF
＝
D
F
+
BE
．
小明发现，
当把△
ABE
绕点
A
顺时针旋转
90
°至△
ADG
，
使
AB
与
AD
重
合时能够证明，
请你给出证明过程．
（
2
）
【类比引申】
< br>①
如图
2
，在正方形
ABCD
中，如果点
E
，
F
分别是
CB
，
DC
延长线
上的动点，且∠
EAF
＝
45
°，则（
1
）中的结论还成立吗？请写出证明过程．
②
如图
3
，如果点
E
，
F
分别是
BC
，
CD
延长线上的动点，且∠
EAF
＝
45
°，则
EF
，
< br>BE
，
DF
之间的数量关系是<
/p>
（不要求证明）
< br>（
3
）
【联想拓展】如图
1
，若正方形
ABCD
的边长为
6
，
AE
< br>＝
3
，求
AF
< br>的长．
23
．如图，抛物线
y
＝﹣
x
2
+
bx
+
c
与
x
轴交于点
A
，
B
，与
y
轴交于点
C
，其中
点
B
的坐标为
（
3
，
0
）
，
点
C
的坐标为（
0
，
3
）
，直线
1
经过
B
，
C
两点．
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）过点
C
作
CD
∥
x
轴交抛物线
于点
D
，过线段
CD
< br>上方的抛物线上一动点
E
作
EF
⊥
CD
交线段
BC
于点
F
，求四边形
ECFD
的面积的最大值及此时点
E
< br>的坐标；
（
3
）
点
P
是在直线
l
上方的抛物线上一动点，
点
M
是坐标平面内一动点，
是否存在动点
P
，
M
，使得以
C
，
B
，
P
，
M
为顶点的四边形是矩形？若存在
，请直线写出点
P
的横坐
标；若不存在
，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共
10
小题）
1
．下列各数中最小的是（
）
A
．
π
B
．
3
C
．
D
．
【分析
】
根据估算无理数的大小的方法得出
【解答】
< br>解：∵
π
＞
3
< br>，
∴各数中最小的是：
故选：
D
．
．
＞
3
，
3
＞
，
＞
3
，进而比较可得答案．
2
．丹江口水库是亚洲第一大人工淡水湖，国家南水北调工程水源地，总库容达到
290.5
亿
立方米，将
290.5
亿用科学记数法表示为
2.905
×
10
a
，则
a
的值为（
）
A
．
8
B
．
9
C
．
10
D
．
11
<
/p>
【分析】
科学记数法的表示形式为
a
×
10
n
的形式，
其中
1
≤
|
a
|
＜
10
，<
/p>
n
为整数．确定
n
的值时，
要看把原数变成
a
时，
小数点移动了多少位，
n
的绝对值与小数点
移动的位数相
同．当原数绝对值＞
1
时
，
n
是正数；当原数的绝对值＜
1
时，
n
是负数．
【解答】
解：
290.5
亿＝
29050000000
＝
2.905
×
10
10
，
∴
a
＝
10
．
故选：
C
．
3
．
如图是一个正方体的平面展开图，
折叠成正方体后与
“建”
字所在面相对
的面的字是
（
）
A
．创
B
．教
C
．强
D
．市
【分
析】
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】
解：∵正方体的表面展开图，相
对的面之间一定相隔一个正方形，
∴“建”与“强”是相对面．
故选：
C
．
4
．下列计算正确的是（
）
A
．
2
a
2
﹣
a
2
＝
1
B
．
< br>（﹣
3
a
2
b
）
2
＝
6
a
4
b
2<
/p>
C
．
a
3
×
a
4
＝
a
12
D
．
a
< br>4
÷
a
2
+
a
2
＝
2
a
2
【分析
】
直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则分
别化简得出答案．
【解答】
< br>解：
A
、
2
a
2
﹣
a
2
＝
a
2
，故
此选项错误；
B
、
< br>（﹣
3
a
2
b
）
2
＝
9
a
4
b
2<
/p>
，故此选项错误；
C
< br>、
a
3
×
a
4
＝
a
7
，故此选项错误；
D
、
a
4
÷
a
2
+
a
2
＝
2
a
2<
/p>
，正确．
故选：
D
．
5
．本学期开展了“恰同学少年，品诗词美韵”中华传统诗词大
赛活动．小江统计了班级
50
名同学四月份的诗词背诵数量，<
/p>
具体数据如表所示：
那么这
50
名同学四月份诗词背诵数
量的众数和中位数分别是（
）
诗词数量
（首）
人数
A
．<
/p>
9
，
7.5
5
6
B
．
9
，
7
6
8
10
9
4
D
．
8
，
7.5
2
4
5
6
7
8
9
10
11
C
．
8
，
8
【分析】
根据
众数和中位数的定义解答可得．
【解答】
解：这组数据中
8
出现的次数最多，则其众数为
8
首；
50
个数据的中位数为第
25
、
26
个数据的平均数，则其中位数为
故选：
< br>D
．
6
．
明代大数学家程大位著
《算法统宗》
一书中，
记载了这样一道数学题：
“八万三千短竹竿，
将来要把笔头安，管三套五为期定，问都多少能完成？”用现代的话说就是：有
83000
根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管
3
个或笔套
5
个，怎样安排笔管和笔套的短竹
的数
量，使制成的
1
个笔管与
1
个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为
x
根，用于制
作笔套的短竹数为
y
根，则可列方程为（
）
A
．
C
．
B
．
D
．
＝
7.5
首；
【分析】
由用于生产笔管和笔套的短竹的数量结合生产的笔管总
数＝笔套的总数，即可
得出关于
x
，<
/p>
y
的二元一次方程组，此题得解．
【解答】
解：依题意，得：
故选：
B
．
．
7
．下列
一元二次方程中，无实数根的方程是（
）
A
．
x
2
+2
x
+1
＝
0
B
．
2
x
2
﹣
3
x
< br>+1
＝
0
C
．
x
2
+2
x
+2
＝
0
D
．
4<
/p>
x
2
+
x
﹣
1
＝
0
【分析】
分别计算出每个方程判别式的值，从而
得出答案．
【解答】
解：
A
．方程
x
2
+2
x
+1
＝
0
判别式△＝
2
2
﹣
4
×
1
×
1
＝
0
，有两个相等实数根，不
符合题意；
B
．方程
2
x
2
﹣
3
x
+1
＝
0
判别式△＝（﹣
3
）
2
﹣
4
×
2
×
< br>1
＝
1
＞
0
，有两个不相等实数根，不
符合题意；
C
．方程
x
2
+2
x
+2
＝
0
判别式△＝
2
2
﹣
4
×
1
×
2
＝﹣
4
＜
0
，没有实数根，符合题意；<
/p>
D
．方程
4<
/p>
x
2
+
x
﹣
1
＝
0
判别式△＝
1
2
﹣
4
×
4
×（﹣
1
）＝
17
＞
0
，有两个不相等实数根，不
符合题意；
故选：
C
．
8
．在一个口袋中有
5
个完全相同的小球，把它们分别标号为
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，随机摸出一
个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的标号之和能被
3
整除的概率是
（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析
】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的
小球标号之和能被
3
整除的情况，再利用概率公
式即可求得答案．
【解答】
解：根据
题意，画树状图如下：
共有
20
种等可能的结果数，其中两次摸出小球的标号之和能被
3
整除的占
8
种，
所有两次摸出小球的标号之和能被
3
整除的概
率＝
故选：
B
．
＝
．
9
．如图，在已知的△
ABC
中，按以下步骤作图：
①
分别以
B
，
C
为圆心，以大于
BC
的
长为半径作弧，两弧相交于两点
M
，
N
；
②
作直线
MN
交
AB
于点
D
，连接
CD
．若
AD
＝<
/p>
AC
，∠
A
＝<
/p>
80
°，则∠
ACB
的度数为（
）
A
．
65
°
B
．
70
°
C
．
75
°
D
．
80
°
【分析】
根据作图过程可得
DM
是
BC
的垂直平分线，
所以
DC
＝
DB
，
所以∠
B
＝∠
DCB
，
再根据
AD
＝
AC
，∠
A
＝
80
°，可得∠
ADC
＝
< br>50
°，进而求出∠
ACB
的度
数．
【解答】
解：根据作图过程可知：
<
/p>
DM
是
BC
的垂
直平分线，
∴
DC
< br>＝
DB
，
∴∠
B
＝∠
DCB
，
∴∠
ADC
＝∠
B
+
∠
DCB
＝
2
∠
DCB
，
∵
AD
＝
AC
，∠
A
＝
80
°，
∴∠
ADC
＝∠
ACD
＝
（
180
°﹣∠
A
）＝
50
°，
∴∠
D
CB
＝
∠
ADC
＝
25
°，
∴∠
ACB
＝∠
DCB
+
∠
ACD
＝
25
°
+50
°＝
75
°．
∴∠
ACB
的度数为
75
°．
故选：
C
．
10
．如图，在边长为
2
一个内角为
60
°的菱形
A
BCD
中，点
P
以每秒
1
cm
的速度从点
A
出
发，沿
AD
→
DC
的路径运动，到点
C
停止，过点
P
作
PQ
⊥
BD
，
PQ
与边
AD
（或边
CD
）
交于点
Q
，△
ABQ
的面积
y
（
cm
2
）与点
P
的运动时间
x
（秒）的函数图象大致
是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析
】
根据动点
P
的运动过程分两种情况说
明：
①
PQ
与边
CD
交于点
Q
时，过点
D
作
DE
⊥
AB
于点
E
，
根据在边长为
2
一个内角为
6
0
°的菱形
ABCD
中，
即可求当
0
≤
x
≤
2
时，
y
＝
；
②
当
< br>PQ
与边
AD
交于点
Q
时，过点
Q
作
QE
⊥
AB
于点
E
，即可求当
2
x<
/p>
+4
，进而可判断，△
ABQ
的面积
y
（
cm
2
）与点
P
的运动时间
x
＜
x
≤
4
时，
y
＝﹣
（秒）的函数图象．
【解答】
解：
①
PQ
与边
CD
交于点
Q
时，
如图，过点
D
作
DE
⊥
AB
于
点
E
，
∴∠
DEA
＝
90
°，
在边长为
2
一个内角为
60
°的菱形
ABCD
中，
AD
＝
DC
＝
2<
/p>
，∠
DAB
＝
6
0
°，
∴
A
E
＝
1
，
DE
＝
∴
S
△
ABQ
＝
AB
•<
/p>
DE
＝
＝
，
2
×
＝
，
即当
0
≤
x
≤
2
时，
y
＝
．
< br>
该函数图象是平行于
x
轴的一
段线段；
②
当
PQ
与边
AD
交于点
Q
时，如图，
过点
Q
作
QE
⊥
AB
于点
E
，
∴∠
QEA
＝
90
°，
∵
PQ
⊥
BD
，
∴∠
DFP
＝∠
DFQ
＝
90<
/p>
°，
∵四边形
ABCD
是菱形，
∴
BD
平分∠
ADC
，
∴∠
CDB
＝∠
ADB
，
DF<
/p>
＝
DF
，
∴△
DFP
≌△
D
FQ
（
ASA
）
，
∴
DP
＝
DQ
，
∵
AD
＝
DC
＝
2
，
∴
AQ
＝
PC
＝
4
﹣
x
，
∴在
Rt
△
AQE
中，∠
QAE
＝
60
°，
∴
QE
＝
∴
S<
/p>
△
ABQ
＝
AQ
＝
（
4
﹣
x
）
，
2
×
x
+4
（
4
﹣
x
）＝﹣
，
x
+4
AB
•
QE
＝
即当
2
＜
x
≤
4
时，
y
＝﹣
该函数图象是
y
随
x
的增大而减小的一段线段．
所以△
ABQ
的面积
y
（
cm
2
）与点
P
的运动时间
x
（秒）的函数图象
大致是选项
C
．
故选：
C
．
二．填空题（共
5
小题）
11
．计算：﹣
3
2
+|
﹣
6|
＝
﹣
3
．
【分析】
先计算乘方、绝对值，再计算加法即可得．
【解答】
解：原式＝﹣
9+6
＝﹣
3
，
故答案为：﹣
3
．
12
< br>．不等式组
的所有整数解的积是
6
．
【分析】
分别解出每一个不等式得到
，再求
出不等数组的整数解为
2
，
3
即可．
【解答】
解：
解不等式得
，
∴
＜
a
≤
3
，
∴不等式组的整数解为
2
，
3
，
∴所有整数解的积是
6
，
故答案为
6
．
13
．如图，反比例函数
y
1
＝
与一次函数
y
2
＝
mx
+
b
（
m
≠
0
）的交点为
A
（﹣
1
，
4.5
）
，
B
（
3
，
﹣
1.5
）
，当
y
1
≥
y
2
时，写出自变量
x
的取值范围
﹣
1
≤
x
＜
0
或
x
≥
3
．
【分析】
根据函数图象，当双曲线不在直线下方时，
x
的取值范围便是所示答案．
【解答
】
解：由函数图象可知，当双曲线在直线上方时，﹣
1
≤
x
＜
0
或
x
≥
3
< br>．
故答案为，﹣
1
≤
x
＜
0
或
x
≥
3
．
14
．如图，
AC
的半圆
O
的一条弦，点<
/p>
D
是弧
AC
的中
点，将弧
AC
沿弦
AC
为折线将弧
AC
折叠后过圆心
O
，
⊙
O
的半
径为
2
，则图中阴影部分的面积为
．