2020年福建省宁德市高三一模试题
人在-
数学试题
一、选择题：本大题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求
的．
1.
已知集合
< br>A
x
2
x
1
3
,
B
x
x
x
2
0
，则
A
I
B
=
A.
(<
/p>
2,1)
B.
(1,2)
C.
(
<
/p>
1,2)
D.
(<
/p>
1,1)
z
+
1
2.
已知
复数
z
=
1
-
i
，其中
i
是
虚数单位，则
2
=
< br>z
1
1
A.
+
i
B.
-
i
C.
1
+<
/p>
i
D.
1
-
i
2
2
2
2
x
y
2
1
的焦距为
4
5
，则其焦点到渐近线的距离为
< br>
3.
已知双曲线
C
:
4
b
A. 8
B. 6
C.
2
2
D. 4
4.
设向量
a
,
b
满足
a
+
b
=
15,
a
-
b
=
7
，则
a
?
b
A.
4
B.
3
C.
2
D.
1
5.
2021
年起，
福建省高考将实行
“3
+1+2”
新高考。
“3”
是统一高考
的语文、
数学和英语三门；
“1”
是选
择性考试科目，由考生在物理、历史两门中选一门；
“2”
也是
选择性考试科目，由考生从
化学、生物、地理、政治四门中选择两门，则某考生自主选择
的“
1+2
”三门选择性考试科目
中，
历史和政治均被选择到的概率是
1
1
A.
B.
C.
1
D.
2
4<
/p>
3
2
3
2
6.
已知公比为
1
的等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和
为
S
n
,
等差
数列
{
b
n
}
的前
n
项和为
T
n
,
若有
a
3
+
b
4
+
b
5
+
a
6
=
10
，则
S
8
+
T
8
=
A.
80
B.
40
C.
20
D.
10
7.
若实数
x
,
y
,
z
满足
log
2
x
=
log
3
y
=
2
z
，则
x<
/p>
,
y
,
z
的大小关系是
A.
z
<
x
<
y<
/p>
B.
x
<
y
<
z
C.
x
<
z
<
y
D.
z
<<
/p>
y
<
x
8.
明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：
“
一
百馒头一百僧
，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各
几丁？<
/p>
”
如图所示的程序框图反映了此题的一个算法，执行右图的程
序框图，则输出
n
=
A.20
B.30
C.75
D.80
9.
将函
数
f
(
x
)<
/p>
3
2
sin
x
1
2
cos
x
的图象向左平移
3
个单位长度后，
1
- 1 -
1
1
2
2
所得的图象与原图象有相同
的对称中心，则正实数
的最小值是
1
A.
B.
2
C.
3
D.
6
<
/p>
3
10.
某长方体被一个平面所截，得到
几何体的三视图如图所示，
则这个几何体的表面积为
A.16
B.
20
C.
16
+
2
6
D.
20
+
2
6
x
2
y
2
=
1
的左、右焦点，椭圆
C
上一点
P
到上顶点
A
和坐标原点的
11.
已知
F<
/p>
1
,
F
2
为椭圆
C
:
2
+
a
64
距离相等，
且
D
PF
1
F
2
的内切圆半径为
1
< br>，则椭圆的离心率为
1
1
1
2
A.
B.
C.
D.
7
3<
/p>
2
3
x
3
3
x
,
x
0,
12.
已知函数
f
(
x
)
下列关于函数
y
f
(
f
(
x
))
2
的零点个数判断正确的是
a
x
,
x
0,
x
A.
当
a
<
/p>
0
时，至少有
2
个零点
B.
当
a
0
时，至多有
9
个零
点
C.
当
a
0
时，至
少有
4
个零点
D.<
/p>
当
a
0
时，至多有
4
个零点
二、填空题：本大题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分．把答案填在答题卡的相应位置．
13.
< br>已知函数
f
(
x
)
x
2
x
在点
(1,
< br>f
(1))
处的切线方程为
.
y
1,
14.
若变量
x<
/p>
,
y
满足约束条件
x
y
1,
则
z
<
/p>
2
x
y
的最大值是
.
y
<
/p>
x
1,
15.
在边长为
2
的菱形
ABCD
中，
?
ABC
π
，以
AC
为折痕将
ABC
折起，使点
B
到达点
B
¢
的
3
位置，
且点
B
¢
在面
ACD
< br>内的正投影为
Δ
ACD
的重心<
/p>
G
,
则
B
ACD
的外接球
的球心
O
到点
G
的距离为
.
16.
若正项数列
a
n
满足
a
n
1
a
n
1
,
则称数列
a
n
为<
/p>
D
型数列
,
以下
4
个正项数列
a
n
满足
的递推关系分别为
:
2
2
①
a
n
1
a
n
1
②
a
1
1
2
1
③
a
n
1
< br>
2
n
④
a
n
1
2
a
n
1
a
< br>n
1
a
n
a
n
1
则
D
型数列
a
n
的序号
为
. <
/p>
三、解答题：
共
70
分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．第
17~21
题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第
22
、
23
为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共
60
分．
17.(12
分
)
< br>Δ
ABC
的内角
A
,
B
,
C
< br>的对边分别为
a
,
b
,
c
，已知
2
a
b
2
c
cos
B
，
c
3
.
（
1
）求角
< br>C
；
- 2 -
（
2
）延长线段
AC
到点
D
，使
CD
CB
，求
ABD
周长的取
值范围．
18.(12
分
)
< br>2
π
如图，矩形
ABCD
^
平面
BCE
，
AB
=
1
,
BC
=
BE
=
2
且
?
EBC
，
M
,
N
分别为
AB
,
CE
的
3
A
中点
.
（
1
）证明：
MN
/
/
平面
AED
；
D
M
（
2
）求几何体
A
-
MND<
/p>
的体积
.
B
E
N
C
19.(12
分
)
< br>某公司为了促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价
x
（单位：元
/
件）及相应月
销
量
y
（单位：万件），对近
5
个月的月销售单价
x
i
和月销售量
y
i
(
i
=
1,2,3,4,5)
的数据
进行了
统计，得到如下数表：
月销售
单价
x
i
（元
/
件）
月销售量
y
i
（万件）
8
11
8.5
10
9
8
9.5
6
10
5
（
1
）建
立
y
关于
x
的
回归直线方程；
（
2
）该公司年底开展促销活动，当月销售单价为
7
元
/
件时，其月销售量达到
14.8
万件，若
由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差
的绝对值不超过
0.5
万件，
则
认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（
1
）中得到的回归直线方程是否理想？
（
3
）根据（
1
）的结果，若该产品
成本是
5
元
/
件，月销售单价
x
为何值时，公司月利润的预
< br>报值最大？
（注：利润
=
销售收入
-
成本）
．
ˆ
a<
/p>
$$
ˆ
bx
ˆ
，其中
b
参考公式：回归直线方程
y
5
5
x
y
< br>i
i
1
n
i
1
n
i
nx
y<
/p>
2
$$
y
bx
$$
，
a
x
i
2
nx
参考数据：
x
i
y
i
352
，
x
i
2
407.5
i
1
i
1
- 3 -
20.
(12
分
)
1
3
已知抛物线
C
:
y
2
=
2
px
的焦点为
F
，
Q
(
,
t
)
在抛物线
C
上，且
QF
=
.
< br>2
2
（
1
）求抛物线
C
的方程及
t
的值；
（
2
）若过点
M
(0,
t
)
的直线
l
与
C
相交于
A
,
B
两点，
N
为
AB
的中点，
O
是
坐标原点，且
S
D
AOB
=
< br>3
S
D
MON
< br>，求直线
l
的方程
.
21.
(12
分
)
已知函数
f
(
x
)
=
ax
2
e
x
-
1(
a
?
0)
．
<
/p>
（
1
）求函数
f
(
x
)
的单调
区间；
（
2
）已知
a
>
0
且
x
[1,
)
，若函数
f
(
x
)
没
有零点，求证：
(
x
1)(
f
(
x
)
1)
< br>x
2
ln
x
．
（二）
选
考题：共
10
分．请考生在第
22
、
23
两题中任选一题作答．如果多做，则
按所做的
第一个题目计分
．
22
．
[
选修
4-4
：坐标系与参数方程
]
< br>（
10
分）
< br>在平面直角坐标系
xOy
中，圆
C
:
(
x
<
/p>
1)
2
(
y
1)
2
1
，以坐标原点
O
为极点，
x
轴正半
轴为极轴，
直线
l
的极坐标方程为
(0
)
，
直线
l
交圆
C
于
A
,
B
两点，
P
为
A
,
B
中点
.
2
（
1
）求点
P
轨迹的极坐标方程；
（
2<
/p>
）若
|
AB
|<
/p>
|
OP
|
3
，求
的值
.
23
．
[
选修
4-5
：不
等式选讲
]
（
10
分）
已知
x
+
1
+
2
x
-
1
?
m<
/p>
（
1
）求
m
的最大值
M
；
<
/p>
（
2
）若
a
,
b
均为正数，且
a
+
1
=<
/p>
M
,
求
a
-
2
b
的取值范围<
/p>
.
b
-
1
1
在
R
上恒成立
.
2
参考答案
- 4 -
一、选择题：
本题考查基础知识和基本运算．
本大题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分．
1. B
2. A
3. D
4. C
5. A
6. B
7. A
8. C
9. C
10. D
11. B
12. B
二、填空题
：
本题考查基础知识和基本运算．
本大题共
4
< br>小题，每小题
5
分，共
20
分．
6
13
．
y
=
3
x
-
1
14
．
5
15
．
16
．②③④
6
三、解答题：
本大题
共
6
小题，共
70
分．
17.
本小题主要考查
正弦定理、余弦定理、两角和差公式等基础知识，考查运算求解能力，考
查化归与转化思
想等．满分
12
分．
解法一：
（
1
）根据余弦定理
得
a
2
+<
/p>
c
2
-
b
2
2
a
+
b
=
2
c
2
ac
整理得
a
2
b
< br>2
c
2
ab
，……………………………
…………………………
3
分
a
2
b
2
c
2
< br>1
cos
C
< br>
，
2
ab
2
Q
C
(0,
)
，
2<
/p>
C
……………………………………………………………………………
5<
/p>
分
3
（
2
）依题意得
BC
D
为等边三角形，所以
ABD
的周长等于
2
a
<
/p>
b
3
………………………………………………………………
6
分
由正弦定理
a
b
c
=
=
=
sin
A
sin
B
sin
C
3
3
2
=
2
，
所以
a
2sin
A
,
b
2sin
B
，
2
a
b
4sin
A
2sin
B
…………………………………………………………
8
分
4sin
A
2sin(
A
)
3
2
3
sin(
A
)
………………………………………………………
10
分
6
，
，
Q
A
(0
,
)
3
A
6
(
6
,
2
)
sin(
A
1
)
(
,
1)
，
6
2
2
a
+
b
?
(
3,2
3)
，…………………………
…………………………………
11
分
所以
AB
D
的周长的取值范围是
(2
3
,
3
3)
．……………
…………………
12
分
解法二：
（
1
）根据正弦定
理得
2sin
A
sin
B
2sin
C
cos
B
……………………………………………………
2
分<
/p>
Q
sin
A<
/p>
sin[
(
B
C
)]
sin(
B
C
)
sin
B
cos
C
cos
B
s
in
C
,
………
3
分
2s
in
B
cos
C
=
-
sin
B
,
Q
sin
B
< br>
0
，
1
cos
C
，………………………………………………………………
…
4
分
2<
/p>
Q
C
(0,<
/p>
)
，
2
C
……………………………………………………………………………
5
分
3
（
2
）同解法一．
- 5 -