2020-2021学年度山西省太原市高考一模数学试卷(理)及答案
房地产开发-
第二学期阶段性检测
高
三
数
学（理）
出题人、校对人：刘晓瑜、
郭舒平、董亚萍、刘锦屏、凌河、闫晓婷（
2018.4.2
）
一、选择题：本大题共
12
小题，每小题
5
分，在每小题给出的四个选项中
，只有一项是符合题目要求的
.
1
、
已知
P
x
y
ln(1
x
2
)
,
Q<
/p>
y
y
2
x
,
x
P
,
则
P
I
Q
=
（
）
1
1
A
.
(0,1)
B
.
(
,1)
C
.
(0,
)
D
.
(1,2)
2
2
2
、
已知复
数
z
a
<
/p>
i
(
i
为虚数单
位
)
在复平面内对应的点在第三象限，
则实数
a
2
i
的取值范围是（
）
1
1
1
+
)
A
.
(
2,
)
B
.
(
,2)
C
.
(
,
2)
D
.
(
，
2
2
2
3
、
在
ABC
中
，
角
A
,
B
,
C
所
对
的
边
< br>分
别
是
a
,
b
,
c
，
若
直
线
bx<
/p>
y
cos
A<
/p>
cos
B
<
/p>
0
与
ax
y
cos
B
cos
A
0
平
行
，
则
ABC
一
定
是
（
）
A
.
锐角三角形
B
.
等腰三角形
C
.
直角三角形
D
.
等腰或直角三角形
4
、在区间
[1,5]
随机地取一个数
m
，则方程
4
x
m
y
1
表示焦点在
y
轴上的椭圆的概率是（
）
2
2
2
A
.
1
1
3
3
B
.
C
.
D
< br>.
5
4
5
4
5
、
若
(2
x
1)
n
a
0
a
1
x
a
2
x
2
L
< br>a
n
x
n
的展开式中的二项式系数和为
32
，
则
a
1
a<
/p>
2
L
+
a
n
（
）
A
.
241
B
.
242
C
.
243
D
.
244
6
、
《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著
，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用
法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民
间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程
序框图的算法思路源于该著作中
的
“李白沽酒”
问题，
执行该程序框图
，
若输出的
m
的值为
< br>0
，
则输入的
a
的值为（
）
A
.
189
21
45
93
B
.<
/p>
C
.
D
.
64
8
16
32
7
、已知等比数列
a
n
的前
n
项和是
S
n
，则下列说法一定成立的是（
）
A
.
若
a
3
0
，则
a
2015
0
B
.
若
a
4
0
，则
a
2014
0
C
.
若
a
< br>3
0
，则
S
2015
0
< br>D
.
若
a
4
0
，则
S
2014
0
8
、
已知
k
R
，
点<
/p>
P
(
a
,
b
)
是直线
x
y
2
k
与圆
x
y
k
< br>2
k
3
的公共点，
则
ab
的最大值为
（
）
2
2
2
5
A
.
15
B
.
9
C
.
1
D
.
3
x
y
2
0<
/p>
9
、若不等式组
x
5
y
10
0<
/p>
，所表示的平面区域存在点
(
x
0
,
y
0
)
，使
x
0
+
ay
0
< br>2
0
成立，则实数
a
的
x
y
8
0
取值范围是（
）
< br>A
.
a
1
B
.
a
1
C
.
a
1
D
.
a
1
10
、平行四边形
ABCD
中，
AB
2
,
AD
1
,
AB
<
/p>
AD
1
，点
M
在边
CD<
/p>
上，则
MA
M
B
的最大值为
（
）
A
.
5
B
.
2
C
.
2
2
1
< br>D
.
3
1
x
2
y
2
11
、已知
F
1
,
F
2<
/p>
是双曲线
2
2
1
(
a
0
,
b
0
)
的左、右焦点，
过
F
1
的直线
l
与双
a
b
S
AF
1<
/p>
F
2
2
曲线的左支交于点
A
，与右支交于点
B
，若
AF
，则
1
2
a
，
F
1
AF
2
< br>
3
S
ABF
2
（
）
A
.
1
B
.
1
1
2
C
.
D
.
< br>2
3
3
2
12
、不等式
x
ln
x
x
(
m
2)
x
2
m
有
且只有一个整数解，则
m
的取值范围为（
）
A
.
[
1
,
)
B
.
(
,
4
4ln
2]
U
[
1,
)
C
.
(
,
3
< br>
3ln3]
U
[
1
,
)
D
.
(
4
4ln
2,
3
3ln
3]
U
[
1,
)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考
题两部分
.
第
13
题—第
21
题为必考题，每个试题考生都必须作答
.
第
22
题—第
23
题为选考题，考生根据要求作答
.
二、填空题：本大题共
4
小题，每小题
5
分
13
、
1
1
(
1
x
2
sin
2
x
)
dx
< br>
.
当
a
0
时，
是
.
14
、已知函数
f
(
x
)
< br>e
x
，
g
(
x
)
a
x
2
bx
1(
a
,
b<
/p>
R
)
，
若
f
(
x
)
g
(
x
)
对任意的
x
R
恒成立，则
b
的取值范围
15
、如图是某四面体的三视图，则
该四面体的体积
为
. <
/p>
16
、
已知数列
a
n
满足
na
n
2<
/p>
(
n
2)
a
n
(
n
2
2
n
)
< br>，
其中
a
1
1,
a
2
2
，若
a
n
a
n
<
/p>
1
对
n
N
恒成立，则实
数
的取值范围是
.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
17
、<
/p>
（本小题满分
12
分）
< br>
已
知
BAC
2
，
P
为
B
AC
内
部
一
点
，
过
点
P
的
直
线
与
BAC
的
两
边
交
于
点
B
,
C
，
< br>且
3
PA
AC
,
AP
3
.
（
1
）若
AB
3
，求
PC
；
（
2
）求
1
1
的取值范围
.
< br>PB
PC
18
、
（本小题满分
12
分）
如图，在四棱锥
P
ABCD
中，四边形
ABCD
是菱形
，对角线
AC
与
BD
< br>的交点为
O
,
PD
PB
AB
2,
PA
6,
BCD
60
o
.
（
1
）证明
：
PO
平面
ABCD
；
（
2
）
在棱
CD
上是否存在点
M
，
使平面
ABP
与平面
MBP
所<
/p>
余弦值为
成锐二面角的
明理由
.
5
?
若存在，请指出
M
点的位置；若不存在，请说
5
19
、
（本小题满
分
12
分）
在
2018
年
2
月
K12
联盟考试中，我校共有
50
0
名理科学生参加考试，其中语文考试成绩近似服从正态分布
N
(95,17.5
2
)
，数学成绩的频率分布直方图如图：
（
1
）
如果成绩大于
130<
/p>
的为特别优秀，
这
500
名学生中本次考试语文、
数学成绩特别优秀的大约各多少人？
< br>
（
2
）如果语文和数学两科都
特别优秀的共有
6
人，从（
1
）中的这些同学中随机抽取
3
人，设三人中两科
都
特别优秀的有
X
人，求
X
的分布列和数学期望．
（
3
）根据以上数据，是否有
99%<
/p>
以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀？
①若
X
~
N
(
,
)
，
2
< br>则
P
(
X
)
0.68,
P
(
2
X
2
)
0.96
n
(
ad
bc
)
2
②
K
=
(
a
b
)(
c
d
)(
a
c
)(
b
d
)
2
③
P
(
K
2
K
0
)
0.50
0.40
…
0.010
0.005
0.001
K
0
0.455
0.708
…
6.635
7.879
10.828
20
、
（本小题满分
12
分）
x
2
y
2
已知椭圆
C
1
:
2
2
1
(
a
b
0
)
，
F
为左焦点，
A
为上顶点，
B
(
2
,
0
)
为右顶点，
a
b
若
7
AF
2
AB
，抛物线
C
2
的顶点在坐标原点，焦点为
F
.
（
1
）求
C
1
的标准方程；
（
2
）是否存在过
F
点的
直线，与
C
1
和
C
2
交点分别是
P
< br>，
Q
和
M
，
N
，使得
S
OPQ
在，求出直线的方程；如
果不存在，请说明理由
.
21
、<
/p>
（本小题满分
12
分）
< br>
已知函数
f
(
x
)
(
x
2)(
e
ax
)
.
x
1
S
OMN
？如果存
2
（
< br>1
）当
a
0
时，讨论
f
(
< br>x
)
的极值情况；
（
2
）若
(
x
1)[
f
(
x
)
< br>a
e
]
0
，求
a
的值
.
请考生从第
22
、
23
题中任选一题作答，并用
< br>2B
铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按
所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分
.
22
、
（本小题满分
10
分）
【选修
4
——
4
：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系
xOy
中，曲线
C
1
的参数方程为
x
2+2cos
t
（
t
为参数）
，以坐标原点为极点，
x
轴的
y
2sin
t
正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它
与直角坐标系
xOy
有相同的长度单位，曲线
< br>C
2
的极坐标方程为
2sin
，曲线
C
3
的极坐标
方程为
=
(
0)
.
6
（
1
）求曲线
C
1
的普通方程和
C
3
的直角坐标方程；
（
2
）设
C
3
分别交
C
1
、
C
2
于点
P
、
Q
，求
C
1
PQ
的面积
.
23
、
（本小题满
分
10
分）
【选修
4
——
5
：不等式选讲】
已知函数
f
(
x
)
|
x
m
|
2
x
1
.
（
1
）当
m
=1
时，解不等式
f
(
x
)
3
；
（
2
）若<
/p>
m
1
1
，且当
x
[
m
,2
m
]
时，不等式
f
(
x
)
x
1
恒成立，求实数
m
的
取值范围．
2
4
理科数学
参考答案
1.B
2.C
3.C
【解析】由两直线平行
可得
b
cos
B
a
cos
A
0
，由正弦定理可得
sin
B
cos
B
sin
A
cos
A<
/p>
0
，即
1
1
sin
2
A
sin
2
B
，
又
A
,
B
(0,
)
，
A
+
B
(0,
)
，
所
以
< br>2
A
2
B
或
2
A
+
2
B
=
，<
/p>
即
A
B
或
2
2
A
+
B
=
角形
.
4.B
5.B
6.C
7.C
【解析】等比数列的公
比
q
0
，若
a
3
0
，则
a
1
q
2
0,
a
1
0,
a
2015
a
1
q
2014
0
，所以
A
错误；若
2
，当<
/p>
A
B
时，
a
b
，
cos
A
cos
B
，此时两直线重合，不符合题意，舍去
.
则
ABC
是
直角三
a
4
0
，则
a
1
q
3
0,
<
/p>
a
1
q
0,
a
2014<
/p>
a
1
q
2013
0
，所以
B
错误；若
a
3
0
，则
a
1
=
a
3
0,
q
1
时，
2
q