2020-2021成都树德中学高三数学上期末模拟试卷附答案
测缘分-
2020-2021
成都树德中学高三数学上期末模拟试卷附答案
一、选择题
<
/p>
1
．
若函数
y<
/p>
＝
f
(
x
)
满足：集合
A
＝<
/p>
{
f
(
n
)|
n
∈N
}
中至少有三个不同的数成等差数列，则称
函数
f
(
x
)
是“
等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是
(
)
①
y
＝
2
x
＋
1
；②
y
＝
log
2
x
；③
y
＝
2
＋
1
；
< br>x
*
（
④
y
＝
sin
A
．
1
4
x
4
）
B
．
2
C
．
3
D
．
4
2
．
程大位《算法统宗》里有诗云“九百九
十六斤棉，赠分八子做盘缠
.
次第每人多十七，
要将第八数来言
.
务要分明依次弟，孝和休惹外人传.
”意为：
996
斤棉花，分别赠送给
8
个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多
17
斤，直到第八个孩子为止
.
分配时一定
要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（
）
A
．
65
B
．
184
C
．
183
D
．
176
3
．
若正项递增等比数列
a
n
< br>满足
1
a
2
a
4
<
/p>
a
3
a
5
0
R
，则
a
8
< br>
a
9
的最
小值为（
）
A
．
9
4
B
．
9
4
C
．
27
4
D
．
27
4
4
．
若
A
BC
的三个内角满足
sin
A
:sin
B
:sin
C
5:11:13
，则
ABC
（
）
A
．一定是锐角三角形
C
．一定是钝角三角形
B
．一定是直角三角形
D
．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
2
5
．
在
V
ABC
中，
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，
cos
定是
( )
A
．直角三角形
B
．等边三角形
C
a
b
，则
V
ABC
的形状一
2
2
a
D
．等腰直角三角形
C
．等腰三角形
6
．
我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将
1
，
2
，
...
，
9
填入<
/p>
3
3
的方格<
/p>
内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于
15 (
如图）
.
一般地，将连续的正整数
1
，
2
，
3
，…，
n
2
填入
n
n
< br>的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这
个正方形就叫做
n
阶幻方
.
记
n
阶幻方的一条对角线上数的和为
N
n
(
如：在
3
阶幻方中，
N
3
<
/p>
15
)
，则
N<
/p>
10
（
）
A
．
1020
B
．
1010
C
．
510
D
．
505
7
．
数列
{<
/p>
a
n
}
为等比数
列，若
a
1
1
，
a
7
<
/p>
8
a
4
，数列<
/p>
1
的前
n
项和为
S
n
，则
S
5
(
a
n
)
A
．
31
16
B
．
15
<
/p>
8
C
．
7
D
．
31
<
/p>
8
．
已知集合
A
{t
|
t<
/p>
2
4
0}
，对于满足集合
A
的所有实数
t
，使不等式
x
2
tx
t
2x
1
恒成立的
x
的取值范围为
(
)
A
．
,1
3,
C
．
< br>
,
1
B
．
,
1
3,
D
．
3,
< br>
2
9
．
已知正项等比数列
a
n
的公比为
3
，若
a
m
a
n
9
a
2
，则
2
1
< br>的最小值等于（
）
<
/p>
m
2
n
D
．
A
．
1
B
．
1
2
C
．
3
4
3
2
10
．
已知等比数列
{
a
n
}
的各项均为正数，前
n
项和为
< br>S
n
，若
a
2
2,
S
6
S
4
6
a
4
，则<
/p>
a
5
A
．
4
B
．
10
C
．
16
D
．
32
<
/p>
11
．
等差数列
a
n
中，
已知
a
6
a
11
，且公差
d
0
，则其前
n
项和取最小值时的
n
的值
为
( )
A
．
6
B
．
7
C
．
8
D
．
9
12
．
设
S
n
为等差数列
<
/p>
a
n
的前
n
项和，
(
n
1)
S
n
＜
nS
n
1
(
n
N
)
.
若
< br>a
8
1
，则（
）
a
7
A
．
S
n
的最大值为
S
8
B
．
S
n
的最小值为
S
8
C
．
S
n
的最大值为
S
7
D
．
S
n
的最小值为
S
7
二、填空题
13
．
(
广东深圳市
2017
届高三第二次（
4
月）调研考试数学理试题
)
我国南宋时期著名的数
学家秦九韶在其著
作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法
---
“
三斜求积
1
2
2
a
2<
/p>
c
2
b
2
术
”
，即
△
ABC
的面积
S
a
c
4
2
< br>
内角
A
、
B
、
C
的对边
.
若
b
2
，且
t
an
C
__________
．
2
，其中
a
、
b
、
c
分别为
△
ABC
3sin
B
，则
△
ABC
的面积
S
的最
大值为
1
3cos
< br>B
x
y
1
14
．
已知
x
、
y
满
足约束条件
{
x
y
1,
若目标函数
z
ax
by
a
< br>
0,
b
0
的最大值为
2
x
y
2
7
，则
3
4
的最小值为
_______
．
a
b
15
．
已知等比数列
a
n
满足<
/p>
a
2
2,
a
3
1
，则
n
lim<
/p>
(
a
1
a
2
a
2
a
3
L
a
n
a
n
1
)
________________
.
16
．
已知
a
0,
b
0
，且
a
b
20
，则
lg
a
lg
b
的最大值为
_____
．
x
< br>
y
3
0
17
．
已知
x
，
y
满足
x
<
/p>
y
1
0
，则
z
x
2
y
的最大值为
______
.
x
5
y
1
0
18
．
如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于
2
），且所有项之和为
N
，那么称该数列为
N
型标准数列，例如，数列
2
，
3
，
4
，
5
，
6
为<
/p>
20
型标准数列，则
2668
型标准数列的个数为
______
．
19
．
已知
f
x
< br>
kx
k
0
，若正数
< br>a
、
b
满足
f
a
f
b
<
/p>
f
a
f
b
，且
a
f
< br>
k
4
b
f
的最小值为
1
，则实数
k
的值为
______
．
k
S
4
=
______
.
a
2
20
．
已知等比数列
a
n<
/p>
的公比为
2,
前
n
项和为
S
n
,
则
三、解答题
21
．
如图，测量河对岸的塔高
AB
时，可以选与塔底
B
在同一水平面内的两个测点
C
与
D
.
现测
得
BCD
，
BDC
，
CD
s
，并在点
C
测得塔顶
A
的仰角为
，求塔高
AB
.
22
．
设<
/p>
a
n
是等差数
列，公差为
d
，前
n
< br>项和为
S
n
.
< br>
（
1
）设
a
1
40
，
a
6
3
8
，求
S
n
的
最大值
.
（
2
）设
a
1
1
，
b
n
2
a
(
n
N
*
)
，数列
b
n
的前
n
项和为
T
n
，且对任意的
n
N
*
，都有
n
T
n
20
，求
d
的取值范围
.
23
．
已知在
<
/p>
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对
边分别是
a
，
b
，
c
且
2
a
cos
C
c
2
b
.
（
1
）求角
A
的大小；
（<
/p>
2
）若
a
1
，求
ABC<
/p>
面积的最大值。
24
< br>．
已知
a
n
是等差数列，
b
n
是等比数列，且
b
2
3
，
b
3
9
，
a
1
< br>
b
1
，
a
14
b
4
．
（
1<
/p>
）求
a
n
的通项公式；
（
2
）设
c
n
a
n
b
n
，求数列
<
/p>
c
n
的前
n
项和．
n
25
．
设数列
<
/p>
a
n
的前
n
项和为
S
n
.
已知
2
S
n
3
3
.
（
Ⅰ
）求
a
< br>n
的通项公式；
（
Ⅱ
）若数列
b
n
满足
a
n
b
n
log
3
a
n
，求
b
< br>n
的前
n
项和
T
n
.
26
．
已知
a
n
是递增数列，其前
n
项和为
S
n
，
a
1
1
，且
< br>10
S
n
(2
a
n
1)(
a
n
2)
，
n
N
*
．
（<
/p>
Ⅰ
）求数列
a
n
的通项
a
n
；
*
（
Ⅱ
）是否存在
m
,
n
,
k
N
使得
2(
a
m
a
n
)
a
k
成立？若存在，写出一组符合条件的
m
,
n
,
k
的值；若不存在，请说明理由；
（
< br>Ⅲ
）设
b
n
a
n
n
3
，若对于任意的
n
N
*
，不等式
2
5
< br>m
1
1
1
1
(1
)(1
)
L
(1
)
恒
成立，求正整数
m
的最大值．
31
b
1
b
2
b
n
2
n
3
< br>【参考答案】
***
试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1
．
C
解析：
C
【解析】
①
y
＝
2
x
＋<
/p>
1
，
n
∈
N
*
，是等差源函数；
②因为
log
2
< br>1
，
log
2
< br>2
，
log
2
< br>4
构成等差数列，所以
y
＝
log
2
x
是等差
源函数；
③
y
＝
2
x
＋
1
不是等差源函数，因为若是，则
2(2
p
＋
1)
＝
(
2
m
＋
1)
＋
(2
n
＋
1)
，则
2
p
＋<
/p>
1
＝
2
m
＋
2
n
，所以
2
p
＋
1
－
n
＝
2
m
－
n
＋
1
，左边是偶数，右边是奇数，故
y
＝
2
x
＋
1
不是等差源函数；
④
y
＝
sin
x
是周期函数，显然是等差源
函数
.
4
4
答案：
C
.
2
．
B
解析：
B
【解析】
分析：将原问题转化为等差
数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最
终结果
.
详解：由题意可得，
8
个孩子所得的棉花构成公差为
17
的等差数列
，且前
8
项和为
996
，
设首项为
a
1
，结合等差数列前
n
项和
公式有：
S
8
8
a
1
8
7
d
8
a
1
28
17
996
，
2
解得：
a
1
65
，则
a
8
a
1
7
d
< br>65
7
17
184
.
< br>
即第八个孩子分得斤数为
184
.
本题选择
B
选项
.
点睛：本题主要考查等差
数列前
n
项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知
识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力
.
3
．
C
解析：
C
【解析】
1
a
2
a<
/p>
4
设等比数列的公比为
q
（
q
＞
1
），
1+
（
a
2
-a
4
）
+λ
（
a
3
-a
5
）
=0
，可得
λ
=
则
a
5
a
3<
/p>
a
9
a
2
a
9
a
4
a
9
a
8
a
3
a
8
a
5
q
6
q
6
q<
/p>
6
a
8
2
a
8
2
a
8
2
令
a
8
+λa
9
=a
8
+
a
5
a
3
a
5
a
3
q
1
a
5
a
3
q
< br>
1
q
1
t
q
2
1
，（
t<
/p>
＞
0
），
q
2
=t+1
，则设
f
（
t
）
1<
/p>
t
1
3
t
t
1
t
1
2
t
1
t
1
q
6
=
t
当
＞
时，
f
（
t
）递
f
t
< br>
2
2
2
2
q
1
t
t
t
增；
当
0
＜
t
＜
可得
t=
3
2
3
2
1
时，
f
（
t
）递减．
2
1
27
27
6
处，此时
q=
，
f
（
t
）取得最小值
，且为
，则
a
8
+λa
9
的最小值为
；
2
4
4
< br>2
故选
C.
4
．
C
解析：
C
【解析】
【分析】
由
sin
A
:sin
B
< br>:sin
C
5:11:13<
/p>
，得出
a
:
b<
/p>
:
c
5:11
:13
，可得出角
C
为最大角，并利<
/p>
用余弦定理计算出
cos
C
，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状
.
【详解】
由
sin
A
:sin
B
< br>:sin
C
5:11:13<
/p>
，可得出
a
:
b
:
c
5:1
1:13
，
设
a
5
t
t
0
，则
b
11
t
，
c
13
t
，则角
C
为最大角，
a
2<
/p>
b
2
c
2
25
t
2
121
t
2
169
t
2
23
由余弦定理得
c
os
C
0
，则角
C
为钝角，
2
ab
2
5
t
11
t<
/p>
110
因此，
ABC
为钝角三角形，故选
C.
【点睛】
本题考查利用余弦定理判断
三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对
大角定理进行判断，考查推
理能力与计算能力，属于中等题
.
5
．
A
解析：
A
【解析】
【分析】
C
a
b
得到
sin
A
cos
C
=
sin
B
，结合三角
2
2
a
< br>形内角和定理化简得到
cos
A
sin
C
0
，即可确定
V
ABC
的形状．
【详解】
利用平方
化倍角公式和边化角公式化简
cos
2
Q
cos
2
C
a
+
b
=
2
2
a
1
+
cos
C
sin
A
+
sin
B
=
化简得
sin
A
cos
C
=
sin
B
2
2sin
A
Q
B
=
p
-
(<
/p>
A
+
C
)
sin
A
cos
C
=
sin(<
/p>
A
+
C
)
即
cos
A
sin<
/p>
C
0
Q
sin
C
0
cos
A
0
即
A = 90
0
V
ABC
是直角三角形
故选
A
【点睛】
C
a
b
时，
将边化
2
2
a
为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略．
本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简
cos
2
6
．
D
解析：
D
【解析】
n
阶幻方共有
n
个数，其和为
1
2
...
n
2
2
n
2
n
< br>2
1
2
,
Q
n
阶幻方共有
n
行，
每行的
10
< br>
10
2
1
2
n
2
n
2
1
和为
2
n
n
n
1
，即
N
n
2
2
n
n
2
1
2
,
N
<
/p>
10
505
，故选
D.
7
．
A
解析：
A
【解析】
【分析】
先求等比数列通项公式，再
根据等比数列求和公式求结果
.
【详解】
Q
数列
a
n
为等比数列，
a
1
1
，
a
7
8
a
4<
/p>
，
q
6
8
q
3
，解得
q
2
，
a
n
a
1
q
n
1
2
n
<
/p>
1
，
1
Q
数列
的前
n
项和为
S
n
，
a
n
1
1
1
5
1
1<
/p>
1
1
2
31
S
5
1
< br>
．
1
2
4
8
16
16
1
2
故
选
A
．
【点睛】
本题考查等比数列通项公式
与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题
.
8
．
B
解析：
B
【解析】
【分析】
由条件求出
t
的范围，不等式
x
2
tx
t
2
x
1
变形为
x
2
tx
t
2
x
1
0
恒成立，即
不等式
x
t
1
< br>x
1
0
恒成立，再由不等式的左边两个因式同为正或同为负处理
．
【详解】
由
t
2
4
0
得，
<
/p>
2
t
2
，
1
1
t
3
不等式
x
2
tx
t
2
x
1
恒成立，即不等式
x
2
tx
t
2
x
1
0
恒成立，即不等式
x
t
1
x
1
0
恒成立，
只需
x
1
0
或
x
1
0
恒成立，
只需
x
1
或
x
1<
/p>
恒成立，
Q
1
1
t
3
只需
x
3
或
x
1
即可．
故选：
B
．
【点睛】
本题考查了一元二次不等式
的解法问题，难度较大，充分利用恒成立的思想解题是关键．
x
1
t<
/p>
x
t
1
0
x
t
1
0
x
1
t
9
．<
/p>
C
解析：
C
【解析】
2
∵正项等比数列
a
n
的公比为
3
，且
a
m
a
n
9
a
2
∴
a
2
3
m
2<
/p>
2
2
a
2
3
n
2
a
2
3
m
n
4
9
a
2
<
/p>
∴
m
n
6
1
2
1
1
m
2
n
1
1
5
3
(
m
n
)(
)
(2<
/p>
)
(
2)
，当且仅当
m
2
n
4
6
m
2
n
6
2
n
< br>m
2
6
2
4
时取等号
.
故选
C.
∴
点睛：利用基本不等式解题的注意点：
（
1
）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即
“
一正、二正、三相等
”
< br>，且这三个
条件必须同时成立．
（
2
）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行
恒等变形，构造成满足条件的
形式，常用的方法有：
“1”
的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．
（
3
）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有
同时满足等号成立的条件才能取得等号．
10
．
C
解析：
C
【解析】
2
2
由
S
6
<
/p>
S
4
a
6
a
5
6
a
4
得，
q
q
< br>
6
a
4
0,
q
q
6
0<
/p>
，解得
q
=
2<
/p>
，从而
a<
/p>
5
a
2
2
3
=2
8=16
，故选
C.
11
．
C
解析：
C
【解析】
a
6
a
11
，
所以
a
6
0,
a
11
0,
a
6
a
11
,
a
1
因为等差数列
a
n
中，
S
n
d
[(
n
8)
2
64]
，
所以当
n
8
时前
n
项
和取最小值
.
故选
C.
2
15
d
< br>，有
2
12
．
< br>C
解析：
C
【解析】
【分析】
由已知条件推导出（
n
2
﹣
n
）
d
＜
2
n
2
d
，从而得到
d
＞
0
，所以
a
7
＜
0
，
a
8
＞
0
，由此求出数列
{
S
n
}
中最小值是
S
7
．
【详解】
∵（
n
+1
）
S
n
＜
nS
n
+
1
，
∴
S<
/p>
n
＜
nS
n
+1
﹣
nS
n
＝
na
n
+1
即
na
1
n
n
1
d
2
＜
na
1
< br>+
n
2
d
，
整理得（
n
2
﹣
n
）
d
＜
2
n
2<
/p>
d
∵
n
2
﹣
n
﹣
2
n
2
＝﹣
n
2
﹣
n
< br>＜
0
∴
d
＞
0
∵
a
8
＜
1
＜
0
a
7
∴
a
7
＜
0
，
< br>a
8
＞
0
数列的前
7
项为负，
故数列
{
S
n
}
中最小值是
S
7
故选
C
．
【点睛】
本题考查等差数列中前
n
项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数<
/p>
列的性质的灵活运用．
二、填空题
13
．
【解析】由题设可知即由正弦定理可得所以当时故填<
/p>
解析：
3
【解析】
由题设可知
sin
C
3sin
B
sin
C
3
sin
B
cos
C
cos
B
sin
C
，即
cos
C<
/p>
1
3cos
B
sin
C
3
sin
A
，由正弦定理可得
c
3
a
，所以
4
a
2
4
1
< br>1
2
4
4
2
，当
a
4
a
2<
/p>
时，
S
3
a
a
8
a
4
< br>
2
2
2
S
max
1
2
4
8
4
4
3
，故填
3
.
2
2
14
．
7
【解析】试题分析：作出不等式表示的平面区域得到及其内部其中把目标
函数转化为表示的斜率为截距为由于当截距最大时最大由图知当过时截距最大
最大因此由于当且仅当时取等号
考点：
1
线性规划的应用；
2
利
解析：
7
【解析】
试题分析：作出不等式
表示的平面区域，得到
及其内部，其中
<
/p>
把目标函数
为
因此
，由于
转化为
当截距最大时，
最大，
由图知，当过
，
，
< br>由于
，
，表示的斜率为
，截距<
/p>
时，截距最大，
最大，