华东师大版八年级数学下册电子课本
蛙泳-
第
17
章
分
式
..
..................................................
..................................................
....... 2
§
17
.1
分式及其基本性质
.
..............................................
............................................ 2
1.
分式的概念
.........
..................................................
.......................................... 2
2.
分式的基本性质
.......
..................................................
..................................... 3
§
17.2
分式的运算
.....
..................................................
............................................... 5
1.
分式的乘除法
< br>.
...................................
..................................................
............ 5
2.
分式的加减法
< br>.
...................................
..................................................
............ 6
阅读材料
.........
..................................................
..................................................
...... 8
§
17.3
可化为
一元一次方程的分式方程
.
....
..................................................
................ 9
§
17
.4
零指数幂与负整指数幂
.
.....................................
............................................. 12
1.
零指数幂与负整指数幂
.
...............................
..................................................
12
2.
科学记数法
......
..................................................
........................................... 13
小
结
..
..................................................
..................................................
.............. 14
复习题
......
..................................................
..................................................
.......... 15
第
17
章
分
式
现要装配
30
台机器，在装配好
6
台后，采用了新的技术，每天的工作效率
提高了
一倍，
结果共用了
3
天完成任务。
如果设原来每天能装配
x
台机器，
那么
不难列出方程：
6
x
30
6
2
x
3
这个方程左
边的式子已不再是整式，这就涉及到分式与分式方程的问题
.
§
17.1
分式及其基本性质
1.
分式的概念
做一做
（
1
）面积为
2
平方米的长方形一边长
3
米，则它的另一边长为
_____
米；
（
2
）面积为
S
平方米的
长方形一边长
a
米，则它的另一边长为
________
米；
（
3
）一箱苹果售价
p
元，
总重
m
千克，箱重
n
< br>千克，则每千克苹果的售价是
______
元；
形如
A
B
(
A
、
B
是整式，且
B
中含有字母，
B
≠
0)
的式子，叫做
< br>分式
(
fraction
).<
/p>
其中
A
叫做分式的
分子
(
numerator
),<
/p>
B
叫做分式的
分母
（
denominator
）
. <
/p>
整式和分式统称
有理式
（
rational
expression
）
,
即有
整式，
有理式
分式
.
例
1
下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？
（
1
）
1
x
；
（
2
）
x
2
；
（<
/p>
3
）
2
xy
x
y
；
（
4
）
3
x
y
3
< br>.
解：属于整式的有：
（
2<
/p>
）
、
（
4
）
；属于分式的有：
（
1
）
、
（
3
）
.
注意：在分式中，分母的值不能
是零
.
如果分母的值是零，则分式没有意义
.
例如，在分式
中，
a
≠
0
；在分式
a
S
9
m
n
中，
m
≠
n.
例
2
当
x
取什么值时
，下列分式有意义？
（
1
）
1
x
－
1
< br>；
（
2
）
x
2
2
x
3
.
分析
要使分式有意义，必须且只须分母不等于零
.
解
（
1
）分母
x
－
1
≠
0
，即
x
≠
1
.
所以，当
x
≠
1
时，分式
1
x
－
1
有意义
.
3
2
（
2
）分母
2
x
3
≠
0
，即
x
≠
-
所以，当
x
≠
-
3
2
.
有意义
.
时，分式
< br>x
2
2
x
3
2.
分式的基本性质
在进行分数的化简与运算时，
常要进行约分和通分，
其主要依据是分数的基
本性质<
/p>
.
类似地，分式有如下基本性质：
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不
变
.
与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分
.
例
3
约分
（
1
）
16
x
y
20
xy
4
2
3
；
（
2
）
x
4
x
4
x
4
2
2
分析
分式的约分，即要求把分子与分母的公因式约去
.
为此，首先要找出
分子与分母的公因式
.
解（
1
）
16
x
y
20
xy
2
2
3
4
＝－
4
xy
4
x
< br>4
xy
5
y
3
3
＝－
4
x
5
y
.
（
2
）
x
4
x
4
x
4
2
＝
(
x
< br>
2
)(
x
2
)
(
x
2
)
2<
/p>
＝
x
2
x
2
.
约分后，
分子与分母不再有公因式
.
分子与分母没有公因式称为
最简分式
.
例
4
通分
（
1<
/p>
）
1
a
b
2
，
1
ab
2
；
（
2
）
1
x
xy
2
1
x
y
，
1
x
y
；
（
3
）
1
x
y
2<
/p>
2
，
.
分析
分式的通分，
< br>即要求把几个异分母的分式分别化为原来的分式相等的
同分母的分式
.
通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的
最高次幂的积作为公分母
（叫做最简公分母）
.<
/p>
例如第
（
1
）<
/p>
小题中的两个分式
和
1
< br>ab
2
1
a
b
2
，它们的最简公分母是
a
2
b
2
.
1
a
b
2
解
（
1
）
与
1
ab
< br>2
的最简公分母为
a
2
b
2
，所以
1
a
b
1
ab
2
2
＝
1
b
a
b
b
2
＝
b
a
b
2<
/p>
2
，
.
＝
1
a
ab
a
2
＝
a
a
b
2
2
（
2
）
1
x
y
与
1
x
<
/p>
y
1
x
y
1
x
y
的最简公分母为（
x
-
y
）
(
x
+
y
)
，即
x
2
－
y
2
，所以
1
（
x
y
）
(
x
y
)(
x
y
)
1
(
x
y
)
(
x
y
)(
x
y
)
x
y
x
y
2
2
＝
＝
，
＝
＝
x<
/p>
y
x
y
2
2
.
（
3
）因为
x
2
－
y
2
＝
_____
___________,
x
2
＋<
/p>
xy
＝
_______________
_,
所以
1
x
y
1
x
y
1
x
xy
2
2
2
2
2
与
1
x
xy
2
的最简公分母为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，因此
＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，
＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
.
练
习
1.
约分：
（
1
）
2
ax
y
3
axy<
/p>
2
2
；
（
2
）
2
a
(
a
b
)
3
b
(
a
b
)
；
（<
/p>
3
）
(
a
x
)
(
x
a
)
2
3
；
（
4
）
x
4
xy
2
y
2
.
2.
通分：
（
1
）
1
3
x
2
，
5
12
xy
；
（
2
）
1
x
x
2
，
1
x
x
2
< br>.
3.
军训期间，小华打靶
的成绩是
m
发
9
环和
n
发
7
环，请问，小华的平均成绩
是每发多少环？
习题
17.1
1.
用分式填空：
（
1
）
小明
t
小时走了
s
千米的路，则他走这段路的平均速度是＿＿＿＿千
米
/
时；
（
2
）
一货车送货上山，上山速度为
x
千米
/
时，下山速度为
y
千米
/
时，则
该货车的平均速度为＿＿
＿＿千米
/
时
.
2.
指出下列有理式中，哪些是分式？
1
x
，
1
2
x
c
ab
1
2
（
x
+
y
）
，
x
3
，
2
m
x
，
x
x
3
x
< br>2
4
x
1
1
，
4
x
9
y
13
3.
当
x
取什么值时，下列分式有意义？
（
1
）
；
（
2
）
a
bc
< br>b
ac
x
2
x
2
；
（
3
）<
/p>
；
（
4
）
4
x
3
x
5
.
4.
通分：
（
1
）
、
、
；
（
2
）
x
x
2
，
1
x
2
< br>2
x
1
.
5.
某机械厂欲成批生产某种
零件，第一道工序需要将一批长
l
厘米、底面半径
为
2
r
厘米的圆钢锻造成底
面半径为
r
厘米的圆钢
.
请问锻造后的圆钢长多少
厘米？
< br>
§
17.2
分式的运算
1.
分式的乘除法
试一试
计算：
（
1
）
a
b
2
3
2
b
2
3
a
a
b
a
b
2
< br>3
；
（
2
）
2
b
2
a
b
2
3
a
2
b
.
解
（
1
）
3
a
a
2
b
=
a
2
b
< br>3
2
2
b
3
a
a
b
2
3
=
2
a
3
b
2
a
b
2
.
2
3
（
2
）
=
2
b
a
2
=
.
概括
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母
.
如果得到
的不是最简分式，应该通过约分进行化简
.
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘
.
例
1
计算：
a
x
ay
a<
/p>
xy
a
yz
（<
/p>
1
）
2
2
；
（
2
）
2
2
2
2
.
by
b
x
b
z
b
x
2
2
2
< br>2
a
x
ay
a
x
ay
a
解
（
1
）
2
2
=
2
2
=
3
.
by
b
x
by
b
x
b
2
2
2
2
3
（
2
）
a
xy
b
z
2
2
2
a
yz
b
x
2
2
< br>2
2
=
a
xy
b
z
2
2
2
b
x<
/p>
2
2
2
a
yz
=
x
z
3
3
.
x
2
x
9
例
2
计算：
.
2
x
< br>
3
x
4
解
原式＝
x
3
x
2
(
x
3
)(
x
3
)
＝
.
x
2
x
3
(
< br>x
2
)(
x
2
)
思
考
怎样进行分式的乘方呢？试计算：
（
1
）
（
（
1
）
（
n
m
n
m
n
m
）
3
（
2
）
（
）
3
=
）
k
=
n
n
n
n
m
）
< br>k
（
k
是正整数）
＝
________
；
m
m
m
＝
n
n
n
m
< br>m
m
（
2
）
（
n
n
n
n
n
＝
m
< br>m
m
m
m
m
n
k
个
＝
___________.
仔细观察所得的结果，试总结出分式乘方的法则
.
练
习
1.
计算：
b
a
（
1
）<
/p>
a
c
；
（
2
）
x
4
y
3
xy
3
2
< br>2
xy
x
2
y
；
（
3
）
3
y
10
x
6
y
2
2
x
2
；
（
4
）
x
x
1
2
x
x
x<
/p>
2
2
.
2.
计算：
（
1
）
（
y<
/p>
2
x
）
2
；
（
2
）
（
2
a
c
2
）
3
3.
上海到北京的航线全程
s
千米，
飞行时间需
a
小时；
铁路全长为航线长的
m
倍，
乘车时间需
b
小时
.
飞机的速度是火车速度的多少倍？（用含
a
、
b
、
s
、
m
的分式
表示）
2.
分式的加减法
试一试
计算：
（
1
）
b
a
b
a
2
a
；
（
2
）
2
a
2
a
2
3
ab
.
解（
1
）
=
b
2
a
（
2
）
2
a
2
3
ab
=
2
b
a
b
2
3
a
a
b
2
=
2
b
3
a
< br>a
b
2
概括
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减
.
例
3
计算：
(
x
y
)
xy
2
2
(
x
y
)
xy
2
2
.
解
(
x
y
)
xy
－
2
(
x
y
)
x
y
2
＝
(<
/p>
x
y
)
(
x
y
)
xy
2
2
2
2
< br>＝
(
x
2
xy
y
)
(
x
<
/p>
2
xy
y
)
xy
＝
4
xy<
/p>
xy
＝
4.
例
4
计算
：
3
x
4<
/p>
24
x
16
2
.
分析
这里
两个加项的分母不同，要先通分
.
为此，先找出它们的最简公分
母
.
注意到
x
2
16
=<
/p>
(
x
4
)(
x
4
)
,
所以最简公分母是
(
x
4
)(
x
4
)
.
解
＝
3
x
4
24
x
16
2
3
x
4
24
(
x
4
)(
x
4
)
＝
3
(
x
< br>
4
)
(
x
4
)(
x
4
)
3<
/p>
(
x
4
)
24
(
x
4
)(
x
4
)
3
x
12
< br>(
x
4
)(
x
4
)
3
(
x
<
/p>
4
)
(
x
4
)(
x
4
)
24
(
x
4
)(
x
< br>4
)
＝
＝
＝
＝
3
x
4
.
练
习
1.
计算：
（
1
）
1
a
1
u
2
a
1
v
；
（
2
）
10
ab
6
ab
；
（
3
）
a
a
b
b
a
<
/p>
b
；
（
4
）
a
a
b
b
b
－
a
.
2.
计算：
（
1
）
（
3
）
4
a
1
2
；
（
2
）
2
a
a
2
b
a
b
4
< br>a
4
2
；
；
（
4
）
a
2
a
2
.
习题
17.2
1.
计算：
（
1
）
ny<
/p>
mx
2
my<
/p>
nx
；
（
2
）
12
x
7
y
8
x
y
；
2
（
3
）
x
2
x
1
x
1<
/p>
2
3
b
；
（
4
）
2
.
< br>x
x
2
a
c
a
c
b
x
1
2
2.
计算：
（
1
）
（
3
）
b
c
a
1
x
1
b
c
< br>a
1
1
x
；
（
2
）
；
（
4
）
2
；
x
x
1
x
< br>1
.
3.
计算：
（
1
）
1
x
1
2
x
3
1
x
2
1
< br>
3
x
；
x
（
2
）
x
y
x
y
< br>.
x
y
2
x
1
4.
林林家距离学校
a
千米，骑自行车需要
b
分
钟，若某一天林林从家出发迟了
c
分钟，则她每分钟应多骑多少
千米，才能使到达学校的时间和往常一样？
5.
周末，小颖跟妈妈到水果批发市
场去买苹果
.
那儿有两种苹果，甲种苹果每箱
< br>重
m
千克，售
a
元；乙种苹果每箱重
n
千克，售
b
元
.
请问，甲种苹果的单价
是乙种苹果的多少倍？
阅读材料
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