同余问题知识点讲解
重耳-
数论之同余问题
余数问题是数论知识板块中另
一个内容丰富，
题目难度较大的知识体系，
也
< br>是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，
所以学好本讲对于学生来说非常重要。
许多孩子都接触过余数的有关问题，
并有不少孩子说
“遇到余数的问题就基
本晕菜了！
”
余数问题主要包括了带余除法的定义，
三大余数定理
（加法余数定理，
乘法
余数定理，和同余定理）
，及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。
知识点拨：
一、带余除法的定义及性质：
一般地
，如果
a
是整数，
b
< br>是整数（
b
≠
0
）
,
若有
a
< br>÷
b=q
……
r
，也就是
a
＝
b
×
q
＋
r,
0
≢
r
＜
b
；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：
(1)
当
r
0
时：我们称
a
< br>可以被
b
整除，
q
称为
a
除以
b
的商或完全商
(2)
当<
/p>
r
0
时：我们
称
a
不可以被
b
整除，
q
称为
a
除以
b
的商或不完全商
一个完美的带余除法讲解模型
:
如图
，这是一堆书，共有
a
本，这个
a
就
可以理解为被除数，现在要求按照
b
本一捆打
包，那么
b
就是除数的角色，经过打包后共打
包了
c
捆，那么这个
c
就是商，最后还剩余
d
本，这个
d
就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中
4
个量的关系。
并且可以看出
余数一定要
比除数小
。
二、三大余数定理：
1.
【余数的加法定理】
a
与
b
的和除以
c
的余数，等于
a,b
分别除以
c
的余数之和，或这个和除以
c
的余数。
例如：
< br>23
，
16
除以
5
的余数分别是
3
和
1
，所以
23+16=39
除以
5
的余数等
于
4
，即两个余数的和
3+1
.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以
c
的余数。
例如：
23
，
19
除以
< br>5
的余数分别是
3
和
4
，故
23+19=42
除以
5
的余数等于
3+4=7
除以
5
的余数，即
2.
2.
【余数的乘法定理】
a
与
b
的乘积除以
c
的余数，等于
a,b
分别除以
c
的余数的积，或者这个积
除以
c
所得的余数。
例如：
23
，
16
除以
5
的余数分别是
3<
/p>
和
1
，所以
23
×
16
除以
5
的余数等于
3
×
1=3
。
当余数的和比除数大时，
所求的余数等于余数之积再除以
c
的余数。
例如：
23
，
< br>19
除以
5
的余数分别是
3
和
4
，所以
23
×
19
除以
5
的余数等于
3
×
4
除以
5
的余
数，即
2.
3.
【同余定理】
< br>若两个整数
a
、
b
被自然数
m
除有相同的余数，那么称
a
、
b
对于模
m
同余，
用式子表示为：
a<
/p>
≡
b ( mod m
)
，左边的式子叫做同余式。
同余式
读作：
a
同余于
b
，模
m
。由同余的性质，我们可以得到一个非常重
要的推论：
若两个数
a
，
b
除以同一个数
< br>m
得到的余数相同，则
a
，
b
的差一定能被
m
整除
用式子表示为：如果有
a
≡
b ( mod m )
，那么一定有
a
－
b
＝
mk,k
是整数，
即
m
|(a
－
b)
三、
< br>【弃九法原理】
：
在公元前<
/p>
9
世纪，
有个印度数学家名叫花拉子米，
写有一本
《花拉子米算术》
，
他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，
由于害怕以前的计算
结果丢
失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：
例如：检验算式
1234
1898
18922
678967
17890
2
889923
< br>1234
除以
9
的余数为
1
1898
除以
9
的余数为
8
18922
除以
9
的余数为
4
678967
除以
9
的余数为
7