等比数列前n项和-(公开课教案)
明朝那些事儿-
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等比数列的前
n
项和
命题分析：
1.
高
考主要考查两种基本数列（等差与等比数列）
、两种基本求和方法（裂项求和法、错
位相减法）
、两类综合（与函数综合、与不等式综合）
，主要突出数学思想的应用。
2.
若以解答题形式考查，
数列往往与解三角形在
17
题的位置上交替考查，
试题难度中等；
若以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时
也会出现在第
12
题或
16
题位置上，
难度偏大，复习时要引起关注。
一、
首先回忆一下基本内容：
1
．等比数列
：如果一个数列从第二项起，每
一项与它的前一项的比等于同一个常数，
那么这个
数列
就叫做等比数列
.
这个
常数
叫做等比数列的公比。
公比通常
用字母
q
表示（
q
≠
0
）
，即：
｛
a
n
｝成等比数列
< br>a
n
1
=
q
（
n
N
,
q
≠
0
）
a
n
“
a
n
≠
0
”是数列｛
a
n
｝成等
比数列的必要非充分条件（前提条件）
。
2
.
等比数列的通项公式
:
a
n
a
1
q
n
1
(
a
1
q
< br>
0
)
，
a
n
a
m
q
n
m
(
a
1
q
0)
3
．既是等差又是等
比数列的数列
：非零常数列．
4
．等比中项
：
G
为
a
与
b
的等比中项
.
即
G
=
±
ab
（
a
,
b
同号）
.
5
．性
质
：若
m+n=p+q
，
a
m
a
< br>n
a
p
a
q
6
．判断等比数列的方法
：定义法，等比中项法，通项公式法
n
1
n
1
如：
有一个数列满足
a
n
5
3
，与公式
a
< br>n
a
1
q
(
a
1
q
0
)
比较我们可以
判断出这个数列为等比数列
且
a
1
5<
/p>
,
q
3
。
二、
【趣味数学问题】
传说国际象棋的发
明人是印度的大臣西萨
•
班
•
达依尔，舍罕王为了表彰大臣的功绩，准
备对大臣进行奖赏．
国王问大臣：
“你想得到什么样的奖赏？”
，这位聪明的大臣达依尔说：
“陛下，请您在
这张棋盘的第一个格子内放上
1
颗麦粒，
在第二个格子内放上
2
颗麦粒，
在
第三个格子内放
上
4
颗麦粒，
在第四个格子内放上
8
颗麦粒，
…
，
依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的
麦粒数的
2
倍的规律，放满棋盘的
64
个格子．并把这些麦粒赏给您的仆人吧
”
．
国王认为这样的奖赏很轻，于是爽快地答
应了，命令如数付给达依尔麦粒．
计数麦粒的工作开始了，在
第一个格内放
1
粒，第二个格内放
2<
/p>
粒，第三个格内放
4
粒，
第四个格内放
8
粒，
……
，
国王很快就后悔了，
因为他发现，
即使把全国的麦子都拿来，
1
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也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺．
这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢？
各个格的麦粒数组成首项为
1
，公比为
2
的等比数列，大臣西萨
•
班
•
达依尔所要的奖赏
就是这个数列的前
64
项和．
*
动脑思考
探索新知
如何求数列
1
，
2
，
4
，…
2
62
，
2
63
的各项和
以
1
为首项，
2
为公比的等比数列的前
64
项的和，可表示为：
S
64
1
2
4
8
2
62
< br>
2
63
①
2
S
64
2
4
8
16
2
63
2
64
②
由②—①可得：
< br>S
64
2
64
1
这种求和方法称为“错位相减法”
“
错位相减法”
，是研究数列求和的一个重要方法
等比数列的前
n
项和公式
：
a
a
n
q
a
1
(
1
q
n
)
∴当
q
<
/p>
1
时，
S
n
①
或
S
n
1
②
1
q
1
q
当
q=1
时，
S
n
na
1
当已知
a
1
,
q, n
时用公式①；当已知
a
1<
/p>
, q,
a
n
时，用公式②
.
公式的推导方法二：
S
n
a
1
< br>
a
2
a
3
a
n
＝
a
1
q
(
a
1
a
2
a
3
< br>
a
n
1
)
＝
a
1
qS
n
1
＝
a
1
q
(
S
n
a
n
)
(
1
q
)<
/p>
S
n
a
1
a
n
q
（结论同上）
公式的推导方法三：
a
1
a
n
< br>q
a
1
(1
q
n
)
当
q
1<
/p>
时
,
s
n
当
q
1
时，
s
n
na
1
1
q
1
q
“方程”
在代数课程里占有重要的地位，
方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，
利
用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决
现在我们看一看本节趣味数学内容中，国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺？
国王承诺奖赏的麦粒数为
S
64
1(1
2<
/p>
64
)
2
64
1
1.84
10<
/p>
19
，
1
2
据测量，
一般
麦子的千粒重约为
40g
，
则这些麦
子的总质量约为
7.36×
10
17<
/p>
g
，
约合
736
0
多亿吨．我国
2000
年小麦的全国
产量才约为
1.14
亿吨，国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承<
/p>
诺呢！
(
全世界目前的小麦总产量约为<
/p>
6
亿吨
)
2
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