《等比数列及其前n项和》(解析版)
直肠癌-
§6.3
等比数列及其前
n
项和
题组一
思考辨析
1
．判断下列结论是否正确
(
请在括号中打“√”或“×”
)
(1)
满足
a
n
＋
1
＝
qa
n
(
n
∈
N
*
，
q
为常数
)
的数列
{
a
n
}
为等比数列．
(
×
)
(2)
G
为
a
，
b
的等比中项
⇔
G
2
＝
ab<
/p>
.(
×
)
(3)
如
果数列
{
a
n
}
为等比数列，
b
n
< br>＝
a
2
n
－
1
＋
a
2
n
，则数列
{
b
n
}
也是等比数列．
(
×
)
(4)
如
果数列
{
a
n
}
为等比数列，则数列
{ln
a
n
}
是等差数列．
(
×
)
a
1
－
a
n
(5)
数列
{
a
n
}
的通项公式是
a
n
＝
a
，则其前
n
项和为
S
n
＝
.(
×
)
1
－
a
n
(6)
数列
{
a
n
}
为等比数列，则
S
4
，
S
8<
/p>
－
S
4
，
S
12
－
S
8
成等比数列．
(
×
)
题组二
教材改编
1
2
．
[P51
例
3]
已知
{
a
n
}
是等比数列，
a
2
＝
2
，
a
5
＝
，则公比
< br>q
＝
______.
4
1
答案
2
a
5
1
1
解析
由题意知
q
3
＝
＝
，
∴
q
＝
.
a
2
8
2
3
< br>．
[P54A
组
T8]
在
9
与
243
中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为
____
____
．
答案
27,81
解析
设该数列的公比为
q
，由题意知，
243<
/p>
＝
9
×
q
3
，
q
3
＝
27
，
∴
q
＝
3.
∴
插入的两个数分别为
9
×<
/p>
3
＝
27,27
×
3
＝
81.
题组三
易错自纠
a
1
－
a
2
4<
/p>
．若
1
，
a
1
，
a
2
,4
成等差数列，
1
，
b
1
，
b
2
，
b
3
,4
成等比数列，则
的值为
________
．
b
2
1
答案
－
2
解析
∵<
/p>
1
，
a
1
，
a
2
,4
成等差数列，
∴
3(
a
2
－
a
1
)
＝
4
－
1
，
∴
a
2
－
a
< br>1
＝
1.
2
又
∵
1
，
b
1
，
b<
/p>
2
，
b
3
,4
成等比数列，设其公比为
q
，则
b
2
2
＝
1
×
4
＝
4
，且
b
2
＝
1
×
q
>0
，
∴<
/p>
b
2
＝
2
，
∴
a
1
－
a
2
－
a
2
－
a
1
1
＝
＝－
.
b
2
b
2
2
S
5
5
．设
S
n
为等比数列
{<
/p>
a
n
}
的前
n
项和，
8
a
2
＋
a
5
＝
0
，则
＝
________.
S
2
答案
－
11
解析
设等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
，
∵
8
a
2
＋
a
5
＝
0
，
∴
8
a
1
q
＋
a
1
q
4
＝
< br>0.
∴
q
3
＋
8
＝
0
，
∴
q
＝－
2
，
1
－
q
5
1
－
－
2
5
S
5
< br>a
1
1
－
q
5
1
－
q
∴
＝
·
＝
＝
＝－
11.
S
2
1
－
q
a
1
1
－
q
2
1
－
q
2
1
－
4
6
．一种专门占据内存的计算机病
毒开机时占据内存
1 KB
，然后每
3
分钟自身复制一次，复
制后所占内存是原来的
< br>2
倍，
那么开机
_______
_
分钟，
该病毒占据内存
64
MB(1
MB
＝
2
10
KB)
．
答案
48
解析
由题意可知，病毒每复制一次所
占内存的大小构成一等比数列
{
a
n<
/p>
}
，且
a
1
＝
2
，
q
＝
2
，
∴
a
n
＝
2
< br>n
，
则
2
n
＝
64
×
2
10
＝
2
16
，
∴
n<
/p>
＝
16.
即病
毒共复制了
16
次．
∴
所需时间为
16
×
3
＝
48(
分钟
).
题型一
等比数列基本量的运算
1
1
．
(2018·
开封质
检
)
已知等比数列
{
< br>a
n
}
满足
a
1
＝
，
a
3
a
5
＝<
/p>
4(
a
4
－
1)
，则
a
2
等于
(
)
4
1
1
A
．
2
B
．
1
C.
D.
2
8
答案
C
2
，
解析
由
{<
/p>
a
n
}
为等比数
列，得
a
3
a
5
＝
a
4
又<
/p>
a
3
a
5
＝
4(
a
4
－
1)
，所以
a
2
4
＝
4(
a
4
－
1)
，
解得
a
4
＝
2.
设等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
，
1
则由
a
4
＝
a
1
q
3
，得
2
＝
< br>q
3
，解得
q
< br>＝
2
，
4
1
所以
a
2
＝
a
1
q<
/p>
＝
.
故选
C.<
/p>
2
5
5
S
n
2
．
(2018·
济宁模拟
)
已知等比数列
{
a
n
< br>}
的前
n
项和为
S
n
，且
a
< br>1
＋
a
3
＝
，
a
2
＋
a
4
＝
，则<
/p>
＝
2
4
a
n
________.
答案
2
n<
/p>
－
1
a
＋
a
＝
2
，
解析
∵
5
a
< br>＋
a
＝
，
4
1
3
2
4
1
1
2
5
a
＋
a
q
＝
2
，
∴
5
a
q
＋
a
q
＝
，
②
4
1
1
3
5
①
1
＋
q
2
由<
/p>
①
除以
②
可得<
/p>
＝
2
，
q
＋
q
3
1
解得
q
＝
，代入
①
得
a
1
＝
2
，
< br>
2
1
n
－
1
4
∴
a
n
＝
2
×
2
＝
2
n
，
1
< br>
n
2
×
1
－
2
1
∴
S
n
＝
＝
4
1
－
< br>2
n
，
1
1
－
2
1
1
－
n
4
S
n
2
∴
＝
＝
2
< br>n
－
1.
a
n
4
2
n
思维升华
等比数列基本量的运算是
等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量
a
1
，
n
，
q
< br>，
a
n
，
S
n
，一般可以
“
< br>知三求二
”
，通过列方程
(
组
)
可迎刃而解．
题型二
等比数列的判定与证明
典例
(2018·
潍坊质检
)
设数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，已知
a
1
＝
1
，
S
n
＋
1
＝<
/p>
4
a
n
＋
2.
(1)
设
b
n
＝
a
n
＋
1
－
2
a
n
，证明：数列
{
b
n
}
是等比数列；
(2)
求数列
{
a
n
}
的通项公式．
(1)
证明
由
a
1
＝
1<
/p>
及
S
n
＋
1
＝
4
a
n
＋
2
，
得
a
1
＋
a
2
＝
S
2
＝
4
a<
/p>
1
＋
2.
∴
a
2
＝
5
，
∴
b
1
＝
a
2
< br>－
2
a
1
＝
3.
S
n
＋
1
＝<
/p>
4
a
n
＋
2
，
①
又
S
＝
4
a
＋
2
< br>
n
≥
2
，
②
n
n
－
1<
/p>
由
①
－
②
，得
a
n
＋
1
＝
4
a
n
－
4
< br>a
n
－
1
(
n
≥
2)
，
∴
a
n<
/p>
＋
1
－
2
a
n
＝
2(
a
n
－
2
a
n
－
1
< br>)(
n
≥
2)
< br>．
∵
b
n
＝
a
n
＋
1
－
2
a
n
，
∴
b
n
＝
2
b
n
－
1
(
< br>n
≥
2)
，
故
{
b
n
}
是首项
b
1
＝
3
，公比为
2
的等比数列．
(2)
解
由
(1)
知
b
n
＝
a
n
＋
1
－
2
a
n
＝
3·2
n
1
，
∴
a
n
＋
1
< br>a
n
3
＝
，
＋
－
2
n
1
2
n
4
－
a
n
1
3
故
2
n
< br>
是首项为
，公差为
的等差数列
．
2
4
<
/p>
a
n
1
3
3
n
－
1
∴
n
＝
＋
(
n
－
1)·
＝
，
2
2
4
4
故
a
n
＝
(3
n
－
1)·2
n
2
.
引申探究
若将本例中
“
S
n
＋
1
＝
4
a
n
＋
2
”
改为
“
S
n
＋
1
＝
2
S
n
＋
(
n
＋
1)
”
，
其他不变，
求数列
{
a
n
}
的通项公式．
解
由已知得
n
≥
2
时，
S
n
＝
2
S
n
－
1
＋
n
.
∴
S
n
＋
1
< br>－
S
n
＝
2
S
n
－
2
S
n
－
1
＋
1
，
∴
a
n
＋
1
＝
2
a
< br>n
＋
1
，
∴
a
n
＋
1
＋
1
＝
2(
a
n
＋
1)
，
n
≥
2
，
(*)
又
a
1
＝
1
，
S
2
< br>＝
a
1
＋
a
2
＝
2
a
1
＋
2
，即<
/p>
a
2
＋
1
＝
2(
a
1
＋
1)
，
∴
当
n
＝
1
时
(*)
式也成立，
故
{
a
n
＋
1}
是以
2
为首项，以
2
为公比的
等比数列，
∴
a
n
＋
1
＝
2·2
n
1
＝
2
n
，
∴
a<
/p>
n
＝
2
n
－
1.
思维升华
(1)
证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、
填空题
中的判定；
若证明某数列不是等比数列，
则只要证明存在连续三
项不成等比数列即可．
(2)
利用递
推关系时要注意对
n
＝
1
时的情况进行验证．
跟踪训练
(2016·
全国
Ⅲ
)
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
＝
1
＋
< br>λa
n
，其中
λ
≠
0.
(1)
证明
{
a
n
}
是等比数列，并求其通项公式；
< br>31
(2)
若
S
5
＝
，求
λ
< br>.
32
－
－
(1)
证明
< br>由题意得
a
1
＝
S
1
＝
1
＋
λa
1
，
1
故
λ
≠
1
，
a
1
＝
，
a
≠
0.
1
－
λ
1
由
S
n
＝
1
＋
λa
n
，
S
n
＋
1
＝
1
＋
λa
n
＋<
/p>
1
，得
a
n
＋
1
＝
λa
n
＋
1
－
λa
n
，即
a
n
＋
1
(
λ
－
1)
＝
< br>λa
n
，由
a
< br>1
≠
0
，
λ
≠
0
得
a
n
≠
0
，
a
n
＋
1
λ
所以
＝
.
a
n
λ
－
1
1
λ
因此
{
a
n
}
是首项为
，公比为
的等比数列，
1
－
λ
λ
－
1
1
λ
n
－
1
于是
< br>a
n
＝
.
1
－
λ
λ
－
1
λ
n
(2)
解
由
(1)
得
S
n
＝
1
－
λ
－
1
.
< br>
λ
λ
31
31
1
由
S
5
＝
得
1
－
λ
－
1
5
＝
，即
λ
－
1
5
＝
.
32
< br>
32
32
解得
λ
＝－
< br>1.
题型三
等比数列性质的应用
1
．
(2019·
郑州三模
)
已知等比数列
{
a
n
}
，且
a
6
＋
a
8
＝
4
，则
a
8<
/p>
(
a
4
＋
2
a
6
＋
a
8
)
的值为
(
)
A
．
2
B
．
4
C
．
8
D
．
16
答案
D
2
解析
∵<
/p>
a
6
＋
a
8
＝
4
，
∴
a
8
(
a
4
＋
2
a
6
＋
a
8
)
＝
a
8<
/p>
a
4
＋
2
a
8
a
6
＋
a
2
8
＝
(
a
6
＋
a
8
)
＝
16.
故选
D.
2
．
(2017·
云南省十一校跨区调研
)
已知数列
< br>{
a
n
}
是等比数列，
S
n
为其前
n
项和，若
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＝
4
< br>，
a
4
＋
a
5
＋
a
6
＝
8
，则
S<
/p>
12
等于
(
)
A
．
40
B
．
60
C
．
32
D
．
50
答案
B
解析
由等比数列的性质可知，数列<
/p>
S
3
，
S
6
－
S
3
，
S
9
－
S
6
，
S
12
－
S
9
是等比数列，即数列
4,8
，
S
9
－
S
6
，
S
12
－
S
9
是等比数列，因此
S
12
＝
4
＋<
/p>
8
＋
16
＋
32
＝
60
，故选
B.
思维升华
等比数列常见性质的应用
等比数列性质的应用可以分为三类：
(1)
通项公式的变形．
(2)
等比中项的变形．
(3)
前
n
项和公式的变
形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题
的突破口．
分类讨论思想在等比数列中的应用
3
典例
(1
2
分
)
已知首项为
的等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
(
n
< br>∈
N
*
)
，且－
2
S
2
，
S
3
,4
S
4
成等差数列．
< br>2
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
1
13
(2)
证明：
S
n
＋
≤
(
n
∈
N
*
)
．
S
n
6
< br>思想方法指导
(1)
利用等差
数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；
(2)
求出前
n
项和，根据函数的单调性证明．<
/p>
规范解答
(1)
解
设
等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
，
因为－
2
S
2
，
S
3
,4
S
4
成等差数列，
所以
S
3
< br>＋
2
S
2
＝
4
S
4
－
S
3
，即
S<
/p>
4
－
S
3
＝
S
2
－
S
4
，
a
4
1
可得
< br>2
a
4
＝－
a
3
，于是
q
＝
＝－
.[2
分
< br>]
a
3
2
3
又
a
1
＝
，所以等比数列
{
< br>a
n
}
的通项公式为
2
1
3
3
－
n
－
1
＝
(
－
1)
n
－
1
·
n
(
n
∈
N
*
)
．
[3
分
]
a
n
＝
×
2
2
2