等差数列与等比数列十大例题
喜鹊-
等差数列与等比数列十大例题
例
1
、已知等差数列
a
n
满足：
a
3
7
，
a
5
a
7
26
，
a
n
的前
n
项和为
S
< br>n
．
（Ⅰ）求
a
n
及
S
n
；
（Ⅱ）令
< br>b
n
=
1
(
n
N
*
)
，求数列
b
n
的前
n
项和
T
n
．<
/p>
2
a
n
1
【解析】（Ⅰ）设等差数列
a
n
< br>的公差为
d
，因为
a
3
7
，
a
5
a
7
26
，所以有
a
1
2
d
7
，解得
a
1
3,
d
2
，
2
a
10
d
26
1
所以
a
n
3
（
2
n
1)=2n+1
；
S
n
=
3n+
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
a
n
2n+1
，所以
b
n
=
n(n-1)
2
=
n
2
+2n
。
2
1
1
1
1
< br>1
1
1
(
-
)
，
=
=
=
2
2
a
n
1
（
2n+1)
1
4
n(n+1
)
4
n
n+1
所以
T
n
=
1
1
1
1
1
1
1
1
n
(1-
+
+
+
-
)
=
(1-
)=
，
4
2
2
3
n
n+1
4
n+1
4(n+1)
即数列
b
n
的前
n
项和
T
n
=
n
。
4(n+1)
【命
题意图】本题考查等差数列的通项公式与前
n
项和公式的应用、
裂项法求数列的和，
熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。
例
2
、
设
S
n
为数列
{
a
n
}
的前
n
项和，
S<
/p>
n
kn
2
n
，
n
N
，其中
k
是常数．
（
I
）
求
a
1
及
a
n
；
（
II<
/p>
）若对于任意的
m
N
，
a
m
，
a
2
m
，<
/p>
a
4
m
成等比数
列，求
k
的值．
解（Ⅰ）当
n
1
,
a
1
S
1
k
1
，
*<
/p>
*
n
2
,
a
n
S
n
S
n
1
kn
2
n
[
k
(
n
1
)
2
(
n
1
)]
2
kn
k
1
（
）
< br>
经验，
n
< br>
1
,
（
）式成立，
a
n
2
kn
k
1
（Ⅱ）
a
m
,
a
2
m
,
a
4
m
成等比数列，
a
2
m
a
m
< br>.
a
4
m
，
即
(
4
km
k
<
/p>
1
)
(
2
km
k
1
)(
8
km
k
1
)
，整理得：
mk
(
k
1
)
0
，
2
2
对任意的
m
N
< br>成立，
k
0
或
k
1
例
3
、
等比数列
{
a
n<
/p>
}
的前
n
项和
为
s
n
，已知
S
1
,
S
3<
/p>
,
S
2
成等差数
列
（
1
）求
{
a
n
}
的公比
q
；
（
2
）求
a
1
－
a
3
＝
3
，求
s
n
解：（Ⅰ）依题意有
a
1
(
a
1
a
1
q
)
2
(
< br>a
1
a
1
q
a
1
q
2
)
由于
a<
/p>
1
0
，故
2
q
2
q
0
< br>又
q
0
，从而
q
－
5
分
1
2
（
（Ⅱ）由已知可得
a
1
a
1
）
3
故
a
1
4
1
2
2
1
n
（
4
1
< br>
（
）
）
8
1
n
2
从而
S<
/p>
n
10
分
<
/p>
（
1
（
）
）
1
3
2
1
（
）
2
a
a
n
1
1
’<
/p>
a
2
2,
a
n
＋
2
＝
n
,
n
N
*
.
例
4
、
已知数列
a
n<
/p>
}
满足，
a<
/p>
1
＝
2
令
b
n
a
n
1
a
n
，证明：
{
b
< br>n
}
是等比数列；
(
Ⅱ
)
求
a
n
}
的通项公式。
（<
/p>
1
）证
b
1
a
2
a
1
1
,
当
n
< br>
2
时，
b
n
a
n
1
a
n<
/p>
所以
b
n
是以
1
为首项，
a
n
1
a
n
1
1
a
n
< br>(
a
n
a
n
1
)
b
n
1,
2
2
2
1
为公比的等比
数列。
2
1
n
1
（
2<
/p>
）解由（
1
）知
b
n
a
n<
/p>
1
a
n
(
)
,
2
当
n
2
时，
a
n
a
1
(
a
2
a
1
)
(
a
3
a
2
)
< br>(
a
n
a
n
1
)
1
1
(
)
(
)
1
2
< br>1
2
n
2
1
1
(
)
n
1
2
1
5
2
1
2
1
[1
(
)
n
2
]
(
)<
/p>
n
1
,
1
1
3
2
3
3
2
1
(
)
2
5
2
1
1
<
/p>
1
当
n
1
时，
(
)
1
a
1
。
< br>
3
3
2
5
2
1
n
1
*
所以
a<
/p>
n
(
)
(
n
N
)
。
3
3
2
例
5
、
设数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，已知
ba
n
2
b
1
S
n
n
< br>n
1
（Ⅰ）证明：当
b
2
时，
a
n
n
2
是等比数列；
（Ⅱ）求
a
n
的通项公式<
/p>
解
由题意知
a
1
2
，且
ba
n
2
b
1
S
n
n
< br>ba
n
1
2
n
1
b
<
/p>
1
S
n
1
两式相减得<
/p>
b
a
n
1
a
n
2
b
1
a
n
1
n
即<
/p>
a
n
1
ba
n
2
n
①
（Ⅰ）当
b
2<
/p>
时，由①知
a
n
1
2
a<
/p>
n
2
n
于是
a
n
1
n
1
< br>
2
2
a
n
2
n
1
2
n
n
n
n
1
2
a
n
n
2
n
1
又
< br>a
1
1
2
n
1
1
0
，所以
a
n
n
2
是首项为<
/p>
1
，公比为
2
的
等比数列。
（Ⅱ）当
b
< br>
2
时，由（Ⅰ）知
a
n
n
2
n
1
< br>
2
n
1
，即
a
n
n
1<
/p>
2
当
b
2
时，由由①得
n
1
a
n
1
1
1
2
n
1
< br>
ba
n
2
n
2
n
1
<
/p>
2
b
2
b
b
ba
n
2
n
2
< br>
b
1
b
a
n
2
n
2
b