高中数学等比数列及其前n项和
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等比数列及其前
n
项和
教案
1.
掌握等比数列前
n
项和公式及公式证明
思路；会用它们灵活解决有关等比数列的问
夯实基础
题；
2.
能
在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；
3.
了解等比数列与指数函数的关系
.
查漏补缺
运用递推关系求数列通项。
高考考点
运用基本量法求解等差数列
的基本量问题，考查等差数列的性质及综合应用，
考查等比数列的判定，等比数列的应用问题
思维拓展
数列通项递推。
等比数列及其前
n
项和
需掌握的知识点
1
< br>、
等比数列的定义、通项公式
2
、
等比数列的前
n
< br>项和公式及性质
要点一：等
比数列的前
n
项和公式
等比数列的前
n
项和公式
na
1
<
/p>
S
n
a
1
(1
q
n
)
a
1
a
n
< br>q
1
q
1
q
推导过程：
（
1
）利用等比性质
由等比数列的定义，有
(
q
1)
(
q
1)
a
a<
/p>
2
a
3
n
q
a
1
a
2
a
n
1
根据等比性质，有
a
2
a
3
< br>a
n
S
a
1
n
q
(1
<
/p>
q
)
S
n
a
1
a
n
q
a
1
a
2
a
n
1
S<
/p>
n
a
n
a
1
a
n
q
a
1
(
1
q
n
)
∴当
q
1
时，
S
n
或
S
n<
/p>
.
1
q
1
q
（
2
）错位相减法
共
6
页
第
1
页
等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n<
/p>
a
1
a
2
a
3
①当
q
1
时，
a
n
a
1
，
S
n
a
1
a
2<
/p>
a
3
n
1
②当
q
1
时，由
a
n
a
1
q
得：
a
n
，
a
n
na
1
；
S
n
a
1
a
1
q
a
1
q
2
< br>a
1
q
n
2
a
1
q
n
1
a
1
q
n
1
a
1
q
< br>n
qS
n
a
1
q
a
1
q
2<
/p>
a
1
q
3
n
(1
q
)
S
n
a
< br>1
a
1
q
n
a
1
a
n
q
a
（
1
q
）
1
a
1
(
< br>1
q
n
)
a
1
a
n
q
∴
S
n
或
S
n
.
1
q
1
q
na
1
< br>
即
S
n
a
1
(
1
q
n
)<
/p>
a
1
a
n
q
1
q
1
q
要点诠释：
(
q
1)
< br>(
q
1)
①错位相减法是一种非常常见和重要的数列求和方法，
适
用于一个等差数列和一个等比数列对应项的
积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法
.
②在求等比数列前
n
项和时，要注意区分
q
1
和
q
1
.
③当
q
1
时，等比数列的两个求和公式，共涉及
a
1
、
n
、
q
、
a
n
、
S
n
五个量，已知其
中任意三个
量，通过解方程组，便可求出其余两个量
.
要点二：等比数列连续
k
项和的性质
连续
k
项和（不为零
）仍是等比数列
.
即
S
k
,
S
2
k
S
k
,
S
3
k
<
/p>
S
2
k
，
…
成等比数列
.
要点三：等比数列中的函数关系
等比
数列
{
a
n
}
中，
a
n
<
/p>
a
1
q
n
1
a
1
n
a
q
，若设
c
1
,
则：
< br>a
n
c
q
n
q
q
（
1
）当<
/p>
q
1
时，
a
n
c
，等比数列
{
a
n
}
是非零常数列。它的图象是在直线
y
c
上均匀排列的一群
孤立的点
.
n
（
2
）当
q
< br>0
且
q
1
时，等比数列
{
a
n
}
的通项公式
a
n
c
q
是关于
n
的指数型函数；它
的图象是
分布在曲线
y
a
1
x
< br>q
（
q
0
且
q
1
）上的一些孤立的点
.
q
①当
q
1
且
a
1
< br>0
时，等比数列
{
a
n
}
是递增数列；
共
6
页
第
2
页
②当
q<
/p>
1
且
a
1
0
时，等比数列
{
a
n
}
是递减数列；
③当
0
q
1
且
a
1
0
时，等比数列
{
a
n
}
是递减数列；
< br>
④当
0
q
1
且
a
1
0
时，
等比数列
{
a
n
}
是递增数列。
（
3
）当
q
< br>0
时，等比数列
{
a
n
}
是摆动数列。
要点诠释：
常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为<
/p>
1
的等比数列
.
1
、
对等差
数列前项和的最值问题有两种方法
:
（
1
）
利用
a
n
:
当
a
n
>0<
/p>
，
d<0
，前
n
项和有最大值，由
a
n
≥
0
，且
a
< br>n
1
≤
0
，求得
n
的值
小结反思
当
< br>a
n
<0
，
d>0
，前
n
项和有最小值，由<
/p>
a
n
≤
0
，且
a
n
1
≥
0
，求得
n
的值
（
2
）利用
S
n
：由
S
n
情况反馈
d
2
d
n
(
a
1
)
n
二次函数配方法求得最值时
n
的值
2
2
○
非常满意
○
满意
○
一般
○
差
学生签字：
主管签字：
日期
一
、知识点回顾
类型一：等比数列的前
n
项和公式
例
1
．
设等比
数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
S
3
+S
6
=2S
9
，求数列的公比
q.
举一反三：
【变式
1
】已知：
{a
n
}
为等比数列，
a
1
a
2
a
3
=27
，
S
3
=13
，求
S
5
.
【变式
2
】在等比数列
{
a
n
}
中，<
/p>
a
1
a
n
66
，
a
2
a
n
1
< br>128
，
S
n
< br>
126
，求
n
和
q
。
共
6
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