等差数列和等比数列的解题技巧分解
care-
数列的解题技巧
编稿：林景飞
审稿：张扬
责编：严春梅
【命题趋向】
从
2007
年高考题可见数列题命题有如下趋势：
1.
等差
（
比）
数列的基本知识是必考内容，
这类问题既有选择题、
填空题，
也有解答题；
难度易、中、难三类皆
有
.
2
.
数列中
与
之间的互化关系也是高考的
一个热点
.
3.
函数思想、
方程思想、
分类讨
论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，
解答试
题时要注
意灵活应用
.
< br>4.
解答题的难度有逐年增大的趋势
,
< br>还有一些新颖题型
,
如与导数和极限相结合等
.
因此复习中应注意：
1.
数列是一种特殊的函数，学习时
要善于利用函数的思想来解决
.
如通项公式、前
n
项
和公式等
.
2.
运用
方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量
、
（或
）
，
掌握好设未知数
、
列出方程、解方程三个环节，
常通过
“设而不求，整体代入”
来简化运算
.
3.
分类
讨论的思想在本章尤为突出
.
学习时考虑问题要全面，如等比数
列求和要注意
和
两种情况等等
.
与
的转化；将一些数列
4.
等价转化是数学复习中常常运用
的，数列也不例外
.
如
转化成等差（比
）数列来解决等
.
复习时，要及时总结归纳
.
5.
深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本
章的关键
.
6.
解题要善于总结基本数学方法
.
如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳
法、数形结合法，养成良好的学习
习惯，定能达到事半功倍的效果
.
7
．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的
一些相关知识的应用
.
【考点透视】
1
．
理解数
列的概念，
了解数列通项公式的意义，
了解递推公式是给出数列
的一种方法，
并能根据递推公式写出数列的前几项
.
2
．理解
等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前
n
项和公式，并
能运用公式解
答简单的问题
.
3
．理解等比数列的概念，掌握等比
数列的通项公式与前
n
项和公式，并能运用公式解
决简单的问题
.
4
．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在
高考中占有重要的
地位
.
高考对本章的
考查比较全面，
等差数列，
等比数列的考查每年都不会遗漏
.
解答题多为
中等以上难度的试题，
突出考查考生的思维能力，
解决问题的能力，
试题大多有较好的区分
度
.
有关数列的
试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识
综合起来，<
/p>
试题也常把等差数列、等比数列，
求极限和数学归纳法综合在一起
。探索性问题
是高考的热点，
常在数列解答题中出现。
本章中还蕴含着丰富的数学思想，
在主观题中着重
考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等
基本数学方法
.
应用问题考查的重点是现实客观事物的数学
化，常需构造数列模型，将现实
问题转化为数学问题来解决
.
【例题解析】
考点一：正确理解和运用数列的概念与通项公式
理解数列的概念
< br>,
正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式
.
1
．（
2006
年广东卷）在德国不来梅举行的第
48
届世乒赛期间，某商店橱窗里用
同样的乒
乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第
1
堆只有
1
层，就一个球；第
2
，
3
，
4
，
…堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然
垒放
在下一层之上，第
n
堆第
n
层就放一个乒乓球，
以
表示第
n
堆的乒乓球总数，则
____
________
；
____________
（答案
用
n
表示）
.
……
<
/p>
思路启迪：
从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是
1
，
3,6,10,
…，
推测出第
n
层的
球数。
解答过程：显然
.
第
n
堆最低
层（第一层）的乒乓球数，
总数相当于前
n
堆乒乓球的低层数之和，即
，第
n
堆的乒乓球数
所以：
2
．（
20
07
年湖南卷理）将杨辉三角中的奇数换成
1
< br>，偶数换成
0
，得到如图所示
的
0-1
三角数表．从上往下数，第
1<
/p>
次全行的数都为
1
的是第
1
行，第
2
次全行的数都为<
/p>
1
的是第
3
行，
…，第
次全行的数都为
1
的是第
____________
行；第
61
行中
1
的个数是
__
__________
．
第
1
行
1 1
第
2
行
1 0
1
第
3
行
1 1 1 1
第
4
行
1 0 0 0 1
第
5
行
1 1 0 0 1 1
……
…………………………………
思路启迪：
计算图形中相应
1
的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。
解：
第<
/p>
1
次全行的数都为
1
的是第
第
2
次全行
的数都为
1
的是第
第
3
次全行的数都为
1
的是第
······，
第
次全行的数都为
1
的是第
第
61
行中
1
的个数是
2
=32
．
5
=1
行，
=3
行，
=7
行，
行；
考点二：数列的递推关系式的理解与应用
在解答给出的递推关系式的数列问
题时，要对其关系式进行适当的变形
，转化为常见
的类型进行解题。
如叠加法：
若
到数列
的通项
.
，
，
，…，
且
；
我们可把各个关系式列出来进行叠
加求和，
可得
∴
再看叠乘法：
且
，可把各个商列出来求积。
另外可以变形转化为等差数列与等
比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。
3
．（
20
07
年北京卷理）数列
），
且
成公比不为
的等比数列．
的通项公式．
成公比不为
的等比数列列方程求
；
< br>中，
，
（
是常数，
（
I
< br>）求
的值；（
II
）求
思路启迪：
（
1
）由
（
2
）可根据递推公式写出数列的前几项，然
后分析每一项与该项的序号之间的关系，
归纳概括出
公式
.
解：
（
I
）
因为
当
（
II
）当
时，
时，由于
，
，
，
，
，
，
，
，解得
．
或
．
与
n
之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前
4
项的该数列的一个通项
成等比数列，所以
，不符合题意舍去，故
所以
又
当
所以
，
，故
．
．
时，上式也成立，
．
小结：
从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进
行科学地证明，这
是创新意识的具体体现，
这种探索问题的方法
，
在解数列的有关问题中经常用到，
应引起足
< br>够的重视
.
则
4
．数列
(
)
满足
，
，
…．若
，
（Ａ）
（Ｂ）
３
（Ｃ）
４
（Ｄ）
５
思路启迪：
对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边
同时运用
.
解答过程
1
：
，
.
相叠加得
.
解答过程
2
：
，
，
.
，
，
.
由
得：
，
解答过程
3
：
，因为
，所以
.
由
得：
从而
；
；…；
.
叠加得：
.
，
，
从而
.
小结：
数列递推关系是近几年高考数学的热点，
主要是一些能转化为等差等比数列的递
推关系式。
对连续两项递推
< br>对连续三项递推的关系
，则上递推关系式可化为
，可转化为
，如果方程
或
；
有两个根
.
考点三：数列的通项
与前
n
项
和
之间的关系与应用
与
的关系：
，数列前
n
项和
和通项
是数列中两个重
要的量，在运用它们的关系式
证
是否适合。
解决
含
与
时，一定要注意条件
的式子问题时
，
通常转化为只含
中
,
，求通项时一定要验
或者转化为只
,
< br>若数列
的式子
.
5
．
（
2006
年辽宁卷）
在等比数列
等于（
）
(B)
,
前
项和为
也是等比数列
,
则
(A)
(C)
(D)
命题目的：
本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。
过程指引：
因数列
为等比
，则
，因数列
也是等比数列，则
即
，所以
，故选择答案
C.
6.
已知在正项数列
中，
或者只含
表示前
n
项和，且
的递推关系式
.
时，
；
，求
.
思路启迪：
转化为只含
解答过程
1
：
由已知
当
又
∴数列
故
时，
，得
当
，代入已知有
.
，故
，即
，
< br>.
，公差
的等差数列，
是首项为
.
解答过程
2
：
由已知
，得当
n=1
时，
；
当
所以
时，
因为
，
，所以
，
.
，因为
，所以
.
考点四：数列中与
n
有关的等式的理解与应用
对数列中的含
n
的式子，注意可以把式子中的
n
换为
得到另外的式子。也可以把
n
取自然数中的具体的数
1
，
2
，
3
…等，得到一些等式归纳证明
.
7
．（
2006
年福建卷）已知数列
的通项公式；
满足
(<
/p>
),
证明
:
满足
(
)
（Ⅰ）求数列
（Ⅱ）
若数列
是等差数列
;
思路启迪：
本小题主要考查数列基本知识，
考查化归的数学思想方法，
考
查综合解题能
力。把递推关系式变形转化。
解答过程：
（
I
）解：∵
∴
（
II
）证
法一：∵
∴
∴
②－①，得
③－④，得
故
是等差数列
.
④
，
即
，即
即
①
②
③
是以
即
，∴
<
/p>
为首项，
2
为公比的等比数列。
（
）
，
考点五：等差、等比数列的概念与性质的理解与应用
在等差、等比数列中，已知五个元
素
或
，
中的任意三个，运用方程的思<
/p>
和
想，便可求出其余两个，即“知三求二”。本着化多为少的原则
，解题时需抓住首项
公差（或公比
）。另外注意等差、等比数列
的性质的运用
.
例如
（
1
）等差数列
等比数列
（
2
）等差
数列
数列，且公差
为
；
中
（
）
的前
n
项和为
，
则
中，若<
/p>
中，若
的前
n
项
为
，则
，则
，则
.
；
成等差
等比数列
成等比数列，且公比
（
3
）在等
差数列
（
4
）在等差数列
.
中，项数
n
成等差的项
中，
；<
/p>
也成等差数列
.
.
在复习时，要注意深刻理解等差数
列与等比数列的定义及其等价形式
.
注意方程思想、
整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用
.
8
．
（
2006
年江西卷）
已知等差数列
的前
n
项和为
＝（
）
，
若
，
且
A
、
B
、
< br>C
三点共线（该直线不过原点
O
），则
A
．
100
B. 101
C.200
D.201
命题目的：
考查向量性质、等差数列
的性质与前
n
项和。
过程指引：
依题意，
9
．（<
/p>
2007
年安徽卷文、理）
，故选
A
某国采用养老储备金制度，
公民在就业的第一年就交纳养老储备
金，
数目为
a
1
，
以后每
年交纳的数目均比上一年增加
一个公差为
,
因此，
历年所交纳的储备金数目
,
，
…
是
的等差数列
.
与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而
且计算复利
.
这就是说，如果固定年利率
为
（
）
,
那么
,
在第
年末，第一年所交纳
的储备金就变为
，……
.
以
与
（
，第二年所交
纳的
储备金就变成
（Ⅰ）写出
（Ⅱ）求证
表示到第
年末所累计的储备金总额
.
）的递推关系式；
，其
中
{
}
是一个等比数列，
{
}
是一个等差数列
.
命题目的：
本小题主要考查等差数列、
等比数列的基本概念和基本方法，
考查学生阅读
资料、提取信息、建立数字模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际
问题的能力
.
解：
（
I
）我们有
（
II
）
，对
反复使用上述关系式，得