等比数列知识点并附例题及解析
最美的青春-
等比数列知识点并附例题及解析
1
、等比数列的定义：
2
、通项公式：
a
n
< br>a
1
q
n
1
a
1
n
q
A
B
n
a
1
q
0,
A
B
0
，首项：
a
1
；公比：
q
q
a
n
q
q
0
n
2,
且
n
N
*
，
q
称为
公比
a
n
1
推广：
a
n
a
m
q
n
m
< br>
q
n
m
3
、等比中项：
a
n
a
q
n
m
n
a<
/p>
m
a
m
（
1
）
如果
a
,
A
,
b
成等比数列，
那么
A
叫做<
/p>
a
与
b
的等差中
项，
即：
A
2
ab
或
A
ab
注意
：
同号的
两个数
才有
< br>等比中项，并且它们的等比中项
有两个
（
（
2
）数列
a
n
是等比数列
a
n
2
a
n
1
a
n
1
4<
/p>
、等比数列的前
n
项和
< br>S
n
公式：
< br>（
1
）当
q
1
时，
S
n
na
1
（
2
）当
q<
/p>
1
时，
S
n
a
1
1
q
n
1
< br>
q
a
1
a
n
q
1
q
a
1
a
1
q
n
A
A
< br>B
n
A
'
B
n
A
'
（
A
,
B
,
A
',
B
'
为
1
q
1
q
常数）
5
、等比数列的判定方法：
（
1
）
用定义：
对任意的
n
，
都有<
/p>
a
n
1
qa
n
或
为等比数列
（
2
）等比中项：
a
n
2
a
n
<
/p>
1
a
n
1
(
a
n
1
a
n
1
0)
< br>
{
a
n
}
为等比数列
（
< br>3
）通项公式：
a
n
A
B
n
A
B
0
{
a
n
}<
/p>
为等比数列
6
、等比数列的证明方法：
a
n
1
q
(
q
< br>为常数，
a
n
0)
{
a
< br>n
}
a
n
依据定义：若
a
n
q
q
0
n
2,
且
n
N
*
或
a
n
1
qa
n
{
a
n
}
为等比数列
a
n
1
7
、等比数列的性质
：
（
2
）对
任何
m
,
n
N
*
，在等比数列
{
a
n
}
中，有
a
n
a
m
q
n
<
/p>
m
。
（
3
）若
m
n
s
t
(
m
,
< br>n
,
s
,
t
N
*
)
，则
a
n
<
/p>
a
m
a
s
a
t
。特别的，当
m
n
2
k
时，
得
a
n
a
m
a
k
2
注：
a
1
a
n
a
2
a
n
1
a
3
a
n
2
a
k
（
4
）
数列
{
a
n
}
，
{
b
n
}
为等比数列，
则数列
{
}
，
{
k<
/p>
a
n
}
，
{
a
n
k
}
，
{
k
a
n
b
n
}
，
{
n
}
b<
/p>
n
a
n
（
k
为非零常数）均为等比数列。
（
5
）数列
{
a
n
}
为等比数列，每隔
k
(
k
N
*
)
项取出一项
(
a
m
,
a
m
k
,
a
m
2
k
,
a
< br>m
3
k
,
)
仍
为等比数列
（
6
< br>）如果
{
a
n
< br>}
是各项均为正数的
等比数列
，
则数列
{log
a
a
< br>n
}
是
等差数列
（
7
）若
< br>{
a
n
}
为等比数列，则数列
S
n
，
S
2
n
S
n
，
S
< br>3
n
S
2
n
,
，成等比数列
（
8
）
若
{
a
n
}
为等比数列，
则数列
a
1
a
2
a
n
，
a
n
1
a
n
< br>
2
a
2
n
，
a
< br>2
n
1
a
2
n
2
a
3
n
成等比数列
a
1
0
，则
{
a
n
}
为递增数列
{
（
< br>9
）①当
q
< br>1
时，
a
1
0
，则
{
a
n
}
为递减数列
< br>
a
1
0
，则
{
a
n
}
为递减数列
②当
0<
q
1
< br>时，
a
1
0
，则
{
a
n
}
为递增数列
< br>{
③当
q
1
时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）
；
④当
q
0
时
,
该数列为摆动数
列
.
S
奇
1
（
10
）在等比数列
< br>{
a
n
}
中，当项数为
2
n
(
n
N
)
时，
S
偶
q
*
二
例题解析
【例
1
】
已知
S
n
是数
列
{a
n
}
的
前
n
项和，
S
n
＝
p
n
(p
∈
R
，
n
∈
N*)
，那么数
列
{a
n
}
．
（
）
A
．是等比数列
B
．当
p
≠
0
时是等比数列
B
．
C
．当
p
≠
0
，
p
≠
1
时是等比数列
D
．不是等比数列
【例
2
】
<
/p>
已知等比数列
1
，
x
1
，
x
2
，…，
x
2n
，
2
，求
x
1
·
x
2
·
x
3
·…·
x
2n
．
1
【例3】
等比数列
{a
n
}
< br>中，
(1)
已知
a
2
=
4
，
< br>a
5
＝－
，求通项公
2
式；
(2)
已知
a
3
·
a
4
·
a
5
＝
8
，求
< br>a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
的值．
【例
4
】
求数列的通项公式：
(1){a
n
}
中，
a
1
＝
2
，
a
n+1
＝
3a
n
＋
2
(2){a<
/p>
n
}
中，
a
1
=2
，
a
2
＝
5
，且
a
n+2
－
3a
n+1
＋
2a
n
＝
0
三、
考点分析
考点一：等比数列定义的应用
1
4
1
、数列
a
n
满足
a
n
a
n
1
n
2
，
a
1
，则
a
4
_________
．
3
3
2
、
< br>在
数
列
a
n
中
，
若
a
1
1
，
a
n
1
2
a
n
1
< br>
n
1
，
则
该
数
列
的
通
项
a
n
_____
_________
．
考点二：等比中项的应用
1
、已知等差数列
a
n
的公差为
2
，若
a
1
，
a
3
，
a
4
成等比数列，则
a
2
（
）
A
．
4
B
．
6
C
．
8
D
．
10
2
、若
a
、
b
、
c
成等比数列，则函数
y<
/p>
ax
2
bx
c
的图象与
x
轴交点的个数为
（
< br>
）
A
．
0
B
．
1
C
．
2
D
．不确定
3
、已知数列
a
n
为等比数列，
a
3
2
，
< br>a
2
a
4
考点三：等比数列及其前
n
项和的基本运算
20
，求
a
n
的通项公式．
3
2
9
1
1
、若公比为
的等比数列的首项为
，末项为
< br>，则这个数列的项数是（
）
3
8
3
A
．
3
B
．
4
C
．
5
D
．
6
2<
/p>
、
已
知
等
比
数
列
a
n
中
，
a
3
3
，
a
10
384
，
则
该
数
列
的
通
项
a
n
_________________
．
3
、若
a<
/p>
n
为等比数列，且
2
a
4
a
6
a
5<
/p>
，则公比
q
_
_______
．
4
、设
a
1
，
< br>a
2
，
a
3
，
a
4
成
等比数列，其公比为
2
，则
1
A
．
4
2
a
1
< br>
a
2
的值为（
）
2
a
3
a
< br>4
1
1
C
．
D
．
1
2<
/p>
8
1
5
、
等
比
数
列
{a
n
}
中
，
公
比
q=
且
a
2
+a
< br>4
+
…
+a
100
=30
，
则
a
1
+a
2
< br>+
…
2
B
．
+a
100
=_________
_____.
考点四：等比数列及其前
n
项和性质的应用
1
、在等比数列
a
n
中，如果
a
6
<
/p>
6
，
a
9
9
，那么
a
3
为（
）
3
16<
/p>
A
．
4
B
．
C
．
D
．
2
2<
/p>
9
2
、如果
<
/p>
1
，
a
，
b
，
c
，
9
成等比数列，那么（
）
A
．
b
3
，
ac
9
B
．
b
3
，
ac
< br>
9
C
．
b
3
，
ac
9<
/p>
D
．
< br>b
3
，
ac
9
3
、在等比数列
< br>
a
n
中，
a
1
1
，
a
10
3
，则
a
2<
/p>
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
等于（
）
A
．
81
<
/p>
B
．
27
5
27
C
．
3
D
．
243
4
、
在等比数列
a
n
中
，
a
9
a<
/p>
10
a
a
0
，
a
19
a
20
b
，
则
a
99
a
100
等于
（
）
b
9
b
10
b
< br>b
A
．
8
B
．
C
．
D
．
9
a
a
a
a
9
10
5
、在等比数列
a
n
中，
a
3
和
a
5
是二次方程
x
2
kx
5
0
的两个根，则
a
2<
/p>
a
4
a
6
的
值为（
）
A
．
25
<
/p>
B
．
5
5
C
．
5
5
D
．
5
5
6
、若
a
n
是等比数列，且
a
n
0
< br>，若
a
2
a
4
2
a
3
a
5
a<
/p>
4
a
6
25
，那么
a
3
a
5
的值等
于
S
,
(
n
1)
考点五：公式
a
n
1
的应用
S
n
S
n
1
,
(
n
2)
1
、若数列的前
n
项和
S
n
=a
1
+a
2
+
…
+a
n
，满足条件
log
2
S
n
=n
，那么
{a
n
}
是
( )
A.
公比为
< br>2
的等比数列
B.<
/p>
公比为
1
的等比数列
2
C.
公差为
< br>2
的等差数列
D.
既不是等差数列也不是等比数列
2
、等比数列前
n
项和
S
n
=2
n
< br>-1
，则前
n
项的平方和为
( )
1
1
A.(2
n
-1)
2
B.
(2
n
-1)
2
C.4
n
-1
D.
(4
n
-1)
< br>3
3
3
、设等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
=3
n
+r
，那么
r
的值为
______________.
一、等差和等比数列比较：
定义
递推公
式
通项公
式
中项
A
等差数列
a
n
1
a
n
d
等比数列
a
n
1
q
(
q
0
)
a
n
a
n
a
n
1<
/p>
q
；
a
n
a
m
q
n
m
a
n
a
n
1
d
；
a
n
<
/p>
a
m
n
md
a
n
a
1
(
n
< br>1
)
d
a
n
a
1
q
n
1
（
a
1
,
q
0
）
a
n
< br>k
a
n
k
（
n
,
k
N
*
,
n
k
0
）
2
G
< br>a
n
k
a
n
k
(
a
n
k
a
n
k
0
)
（
n
,
k
< br>N
*
,
n
k
0
）
S
n
前
n
项和
n
(
a
1
a
n
)
2
n
(
n
1
)
S
n
na
1
d
2
na
1
(
q
1
)
S
n
a
1
1
q
n
a
1
a
n<
/p>
q
(
q
2
)
1
q
1
q
重要
性质
a<
/p>
m
a
n
a
p
a
q
(
m
,
n
,
p
,
q
N
*
,
m<
/p>
n
p
q
)
a
m
a
n
a
p
a
q
(
m
,
n
,
p<
/p>
,
q
N
*
,
m
n
p
q
)
二、
等差数列的定义与性
质
定义：
a
n
1
a<
/p>
n
d
（
d
为常数）
，
通项：
a
n
a
1
n
1
d
等差中项：
x
，
A
，
y
成等差数列
2
A
x
y
前
n
项和：
S
n
a
< br>1
a
n
n
na
2
1
n
<
/p>
n
1
d
2
性质：
a
n
是等差数列
（
1
）若
m
n
p
q
，则
a
m
a
n
a
p
a
q
；
（
2
）数
列
a
2
n<
/p>
1
,
a
2
n
,
a
2
n
1
仍为等差数列，
S
n
，
S
2
n
S
n
，
S
3
n
S
2
n
……
仍
为等差
数列，公差为
n
d
；
（
3
< br>）若
a
n
，
b
n
是等差数列，且前
n
项和分别为
S
n
，
T
n
，则
a
m
S
2
m
1
b
m
T
2
m
1
（
4
）
a
n<
/p>
为等差数列
S
n
an
2
bn
（
a<
/p>
，
b
为常数，是关于
n
的常数项为
0
的
二次函数，可能有最大值或最小值）
（
5
）项数为偶数
2
n
的等差数列
a
n<
/p>
，
有
S
2
n
n
(
a
1
a
2
n
)
n
(
a
2
a
2<
/p>
n
1
)
n
(
a
n
a
n
1
)(
a
n
,
a
n
1
为
中间两项
)
S
偶
S
奇
nd
，
S
奇<
/p>
S
偶
a
n
.
a
n
1
，
有
(6)
项数为奇数
2
n
1
的等差数列
a
n
S
2
n
1
(
2
n
1
)
< br>a
n
(
a
n
为中间项
)
，
S
奇
S
偶
a
n<
/p>
，
S
奇
S
偶
n
.
n
1
三、等比数列的
定义与性质
定义：
a
n
1
q
（
q
为常数，
< br>q
0
）
，通项：
a
n
a
1
q
n
1
.
a<
/p>
n
等比中项：
x
、
G
、
y
成等
比数列
G
2
xy
，或
G
xy
.
na
1
(<
/p>
q
1)
前
n
项和：
S
n
a
1
1
q
n
（要注意
q
！
）
(
q
1)
1
q
性质：
a
n
是等比数列
·
a
n
a
p
·
a
q
（
1<
/p>
）若
m
n
p
q
，则
a
m
（
2
）
S
n
，
S
2
n
S
n
，
S
3
n
S<
/p>
2
n
……
仍为等
比数列
,
公比为
q
n
.
四、数列求和的常用方法：
1
、裂项分组法：
1
1
1
1
L
1
2
2<
/p>
3
3
4
（
n
n
1
）
1
1
1
1
1
1
1
1
(
)
(<
/p>
)
(
)
L
(
)
1
2
2
3
3
4
n
n
1
1
1
n<
/p>
1
n
1
n
1
、
<
/p>
1
1
1
1
1
,2
,3
,4
,
L
的前
n
和是：
3
9
27
81
1
1
1
1
（+
1
2
+
3
+
4
+
L
）+
（
+
+
+
L
）
3
9
27
81
2
、
错位相减法：
凡
< br>等差
数列和
等比
数列对应项的<
/p>
乘积
构成的数列求和时用此方法，
例
：
求
：
S
n
=x
3x
2
5x
3
L
(2n-5)x
n-2
(2
n-3)x
n-1
(2n-1)x<
/p>
n
(x
1)
解：
S
n<
/p>
=x
3x
2<
/p>
5x
3
L
(2n-5)x
n-2
(2n-3)x
n-1
(2n-1)x
n
(x
1)
①
xS
n<
/p>
=x
2
3x<
/p>
3
5x
4
L
(2n-5)x
n-1
(2n-3)x
n
(2n-1)x
n+1
(x
1)
②
①
减
②
得：
<
/p>
(1
x)S
n
=x
2x
2
2x
3<
/p>
L
2x
n-1
2x
n<
/p>
2n
1
x
n+1
x
2x
2
1
x
n-
1
1
x<
/p>
2n
1
x
n+1
从而求出
S
n<
/p>
。
错位相减法的步骤：
(1)
将要求和的杂数列前后各写出三项，
列出①式；
(2)
将①式左右
两边都乘以公比
q
，得到②式；
(3)
用①
②，错位相减；
(4)
化简计算。
3
、
倒序相加法：
前两种方法不行时考虑倒序相加法
例：
等差数列求和：
S
n
=a
1
< br>
a
2
a
3
L
a
n
2
a
n
1
a
n
S
n
=a
n
a
n
1
a
n
2
L
<
/p>
a
3
a
2
a
1
两式相加可得：
2
S
n
=
a<
/p>
1
a
n
a
2
a
n
1
a
3
a
n
2
<
/p>
L
a
3
a
n
2
a
2
a
n
1
a<
/p>
1
a
n
即
：
2
S
n
n
a
1
a
n
所以
等比数列·例题解析
【例
1
】
已知
S
n<
/p>
是数列
{a
n
}
的前
n
项和，
S
n
＝
p
n<
/p>
(p
∈
R
，
n
∈
N*)
，
那么数列
{a
n
}
．
[
]
A
．是等比数列
B
．当
p
≠
0
时是等比数列
C
．当
p
≠
0
< br>，
p
≠
1
时是等比数列
D
．不是等比数列
【例
2
】
已知等比数列
1
，
x
1
，
x
2
，…，
x
2n
，
2
，求
x
1
·
x
2<
/p>
·
x
3
·…·<
/p>
x
2n
．
S
n
n
a
1
a
n
2
1
< br>【例3】
等比数列
{a
n
}
中，
(1)<
/p>
已知
a
2
=
4
，
a
5
＝－
，求通项公
2<
/p>
式；
(2)
已知
a
3
·
a
4<
/p>
·
a
5
＝
8
，求
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
< br>的值．
【例
4
】
已知
a
＞<
/p>
0
，
b
＞
0
且
a
≠
b
，在
a
，
b
之间插入
n
个正数
x
1
，
x
2
，…，
x
n
，使得
a
，
x
1
，
x
2
，…，
x
n
，
b
成等比数列，求
证
n
x
1
x
2
…
x
n
＜
【例
5
】
<
/p>
a
b
．
2
设
a
、
b
、
c
、
d
成等比数列，
求证：
(b
－
c)
2
＋
(c
－
a)
2
＋
(d
－
b)
2
＝
(a
－
d)
2
．
【例
6
】
求数列的通项公式：
(1){a
n
}
中，
a
1
＝
2
，
a
n+1
＝
3a
n
＋
2
(2){a
n
}
中，
a
1
=2
，
a
2
＝
5
，且
a
n+2
－
3a
n+1
＋
2a
n
＝
0
2
2
【例7】
若实数
a
1
、
a
2
、
a
3
、
a
4
都不为零，且满足
(a
1
＋
a
2
2
)
a
4
－
2a
2
2
(a
1
＋<
/p>
a
3
)a
4
＋
a
2
2
＋
a
3
=
0
求证：
a
1
、
a
2
、
< br>a
3
成等比数列，且公比为
a<
/p>
4
．
【例
8
】
【例
9
】
已知等差数列
{a
< br>n
}
的公差和等比数列
{b
n
}
的公比都是
d
，
又知
d
≠<
/p>
1
，
且
a
4
=b
4
，
a
10
=b
10
：
(1)
求
a
1
与
d
的值；
(2)b
16<
/p>
是不是
{a
n
}
中的项？
若
a
、
b
、
c<
/p>
成等差数列，且
a
＋
1
、
b
、
c
与
a
、
b<
/p>
、
c
＋
2
都成等
比数列，求
b
的值．
1
a
n
21
【例10】
设
{a
n
}
< br>是等差数列，
b
n
=
(
)
，已知
b
1
＋
b
2
＋
b
3
=
，
2
8
1
b
1
b
2
b<
/p>
3
=
，求等差数列的通项．
8
【例
11
】
【例
12
】
有四个数，
其中前三个数成等差数列，
后三个数成等比数列，
三个数成等比数列，
若第二个数加
4
就成等差数列，
再把这
个等差数列的第
3
项加
32
又成等比数列，求这三个数．