等差数列和等比数列的中项性质的拓展
不灭战神-
等差数列和等比数列的中项性质的拓展
———福贡县第一中学
杨豪
摘要：
等差数列和等比数列的中项性质是高中数学中的一个重要内容，也是高考数学命题的一个
热点。
如果我们从本质上揭示等差数列和等比数列的中项性质的内涵
，那么，不仅会给我们提升对数列特征的
学习有所帮助，
也会为进一步培养学生的逻辑推理能力有一定好处。
关键词：等差数列和等比数列
〃
中项性质
〃
拓展
从特
殊入手，
研究数学对象的性质，
再逐步推广到一般是数学常用的
研
究方法。我们下面从等差数列和等比数列中项性质出发，推导出其角标性质。
有利于提高我们对等差数列、等比数列的认识，
一、内容介绍
等差数列和等比数列的
角标性质——数列中任意序数和相等的两项之间
的关系。
（一）等差数列中项
1
、概念与内容
由三个数
a
、
A
、
b
组成等差数列，
这时，
A<
/p>
叫做
a
与
b
的等差中项，
即
2A=a+b
或
A=
a
b
2
〃
2
、拓展与提升
若等差数列
a
n
中的项
a
p
、
a
q
、
a
r
、
a
< br>s
（
p
、
q
、
r
、
s
N
*
）且满
足
p+q=r+s
，
则有
a
p
+
a
< br>q
=
a
r
+
a
s
成立。
即等差数列
a
< br>n
中任意两项序数和相等的两项的和相等。
3
、证明其性质。
若等差数列
a
n
的公差为
d
，
首项为
a
1
，
且
p
、
q
、
r
、
s
< br>N
*
，
于是有，
a
p
=
a
1
+(p-1)
d
，
a
q
=
a
1
+(q-1)
d
，所以，
a
p
+
a
q
=2
a
1
+(p+q-2)d
，
同理可得，
a
r
+
a
s
=2
a
1
+(
r+s-2)d
。
因为
p+q=r+s
，所以
a
p
+
a
q
=<
/p>
a
r
+
a
s
〃
（Ⅰ）
（二）等比数列的中项
1
、概念与内容
若在
a
与
b
两个数之间插入一个数
G
，
使
a
、
G
、
b
成等比数列，
则称
G
为
a
与
b
的等比
中项（
a
、
G
、
b
都为非零数）
。即
G
2
=ab
或
G=
ab
〃
1
2
、拓展与提升
若等比数列
a
n
中的项
a
m
、
a
n
、
a
< br>r
、
a
s
（
m
、
n
、
r
、
s
N
*
）
且满足
p+q=r+s
，
则有
a
m
.
a
n
=
a
r
.
a
s
成立。
即等比数列
a
n
中任意两项序数和相等的两项的积相等。
3
、证明其性质。
若等比数列
a
n
的公比为
q(q
0
)
，首项为
a
1
，且
m
、
n
、
r
、
s
N
*
，于是
有，
a
m
=
a
1
q
m
1
,
a
n
=
a
1
q
n
1
，因此
a
m
.
a
n
=
a
1
2
q
< br>m
n
2
同理可得，
a
< br>r
.
a
s
=
a
1
2
.
q
r
s
2
.
因为
m+n=r+s
，所以
a
< br>m
.
a
n
=
a
r
.
a
s
(
Ⅱ）
<
/p>
我们把（Ⅰ）
、
（Ⅱ）称为等差数列和等
比数列的角标性质。
（三）应用
<
/p>
我们知道，数学学习的宗旨就是要从特殊和表面现象中总结出一般规律，然
后再去指导实践解决实际问题。
二、处理教材中的练习与习题
1
、已知
a
n
是等差数列
（
1
）
2
a
5
=
a
3
+
a
7
是否成立？
2
a
5
=
a
1
+
a
9
成立吗？为什么？
（提示：
5+5=3+7=1+9
）
（
2
）
2
a
n
=
a
n
1
+
a
n
< br>
1
（
n>1
< br>）是否成立？据此你可能得出什么结论？
(
提示：
n+n=(n-1)+(n+1) )
（
3
）若
2
a
n
=
a
n
k
+
a
n
k
（
n>k>0
）是否成立？你又能得出什么结论？
（提示：
n+n=(n-k)+(n+k)
）
2
、已知
a
n
是比差数列
（
1
）
a
5
2
=
a
3
.
a
是否成立？
a
5
2
=
a
1
.
a
9
成立吗？为什么
？
7
（提示：
5+5=3+7=1+9
）
（
2
）
a
n
2
=
a
n
1
.
a
n
< br>
1
（
n>1
< br>）是否成立？据此你可能得出什么结论？
(
提示：
n+n=(n-1)+(n+1) )
（
3
）若
a
n
2
=
a
n
k
.
a
n
k
（
n>k>0
）是否成立？你又能得出什么结论？
（提示：
n+n=(n-k)+(n+k)
）
2