英语作文-

2021年2月9日发(作者：血浓于血)

自选课题：等比数列的前

n

< br>项和

教学设计

1

．教学内容解析

< br>本节内容为现行人教

A

版《必修

5

》的第二章的核心内容，它在《普通高中数学课程标

准（

2017

年版）》中，被纳入

“

< p>
选择性必修课程

”

的函数主题之中．

数列作为一类特殊的函数，

既是高中函数知识体系 中的重要内容，

又是用来刻画现实世

界中一类具有递推规律的数 学模型．

在现行教材的编排中，

等比数列的前

< br>n

项和处于等比数

列的单元内容之中，

< br>是等比数列的概念与通项公式的后继学习内容，

它在完善数列单元的知

< p>
识结构体系，

感受数列与函数的共性与差异，

体会 数学的整体性等方面都是不可或缺，

在提

升学生探究、应用和实 践能力等方面，有着不可替代的作用和价值．

课标要求：

学生经历等比数列前

n

项和公式的探索过程 ，

掌握等比数列前

n

项和公式及

推导方法，并能进行简单应用．

等比数列前

n

项和公式的知识内容之所以被列为掌握层次，

主要是因为它与函数、

等差

数列的内在联系，

尤其是它在数学史上的历史印迹，

以及探索过程中所蕴含的丰富的数学思

想（如特殊到一般、类比、基本量、分类讨论、函数与方程、转化与化归等），所需要的 数

学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算素养，都能充分发挥数学的育人功能。

基于以上分析，本节课的

教学重点

为：等比数列前

n

项和公式的导出及其应用。< /p>

2.

学生学情分析

本节课的授课对象为宜 昌市夷陵中学高一年级实验班，

夷陵中学是湖北省重点中学、

省

级示范高中，

学生有较好的数学学科基础．

从学生的思维特点看，

很容易把本节内容与等差

数列前

n

项和从公式的发现、特点等方面进行类比，这是积极因素，可因势 利导．然而，本

节公式的推导与等差数列前

n

< br>项和公式的推导有着本质的不同，

对学生的思维能力提出很高

的要求．另外，对于

q

= 1

这 一特殊情况，运用公式计算时学生往往容易忽视．教学对象刚

进入高一不久，

< p>
虽然逻辑思维能也初步形成，

具有一定的分析问题和解决问题的能力，

但由

于年龄的原因，缺乏深刻的理性思考。

基于以上分析，本节课的

教学难点

为： 等比数列前

n

项和公式的探究及其推导。

3.

教学目标设置

< p>
（

1

）学生通过课前自主查阅数学史料，课堂演绎 历史短剧，了解等比数列前

n

项和公

式 的来龙去脉，感受前人严谨的治学精神，体验数学的魅力和数学文化的熏陶。

（

2

）学生通过研究性学习和小组合作探究的方 式，掌握等比数列前

n

项和公式的不同

推导方法，领悟公式的本质，并能运用公式解决简单问题。

（

3

）学生在经历等比数列前

n

项和公式的发生、发展、推导和证明的过程中，感悟特

殊到一般、方程与函数、划归与转化等数学思想，形成基本活动经验，重点提升数学抽象、

逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养。

4.

教学策略分析

等比数列前

< p>
n

项和公式是高中数学的重要内容，普遍采用的推导方法是带有技巧性的< /p>

“

错位相减法

”

，求和公式及其推导方法都是教材和教师直接

“

告知

< p>
”

，并非自然产生。有鉴于

此，本节课追寻历史足 迹，借鉴历史规律，揭示知识之谐，展现方法之美，引发情感之悦，

营造不一样的课堂．

“

让学习真正发生

”

< br>，首先在于教师有

“

让

”

的意识，本节课为了做到

“

教

师在后、

学生在前

”

，

教师先给充分的资料和空间让学生自学和互学，

营造积极的探究氛围，

在课堂上展开小组谈论和交流，碰撞出思想与智慧的火花。< /p>

教学流程：

等比数 列前

n

项求和公式

猜公式

证公式

用公式

5

．教学过程设计

环节一：演史剧，发现等比数列提出问题

学生表演国际象棋的传说（棋盘丢麦粒问题）并设计如下问题串：

问题

1

：故事里每格棋盘上的麦粒依次构成一个什么数 列？

生

1

： 首项为

1

，公比为

2

< br>的等比数列

问题

2

< p>
：铺满这

64

格棋盘需要的麦粒总数是多少？

生

1

：可以看成 是首项为

1

，公比为

2

的等比数列的前

64

项和即

1



2



2

2



师：

1



2



2

< p>
2





2

63

等于多少，逐项相加吗？



2

63

< /p>

生

2

：项数多，不太现实，我觉得可以和 等差数列求和一样，从特殊到一般，找规律

师：如何找规律？请大家尝试一下

.

生

3

：我是这么想的，计算出

S

1



1

，

< p>
S

2



3

，

S

3



7

，

S

4



15

，

S

5



31

，发现它们都是

2

n



1

的

形式，因而我猜想

S

64



2

64



1

.

【设计意图】

通 过学生表演国际象棋的传说激发学生的兴趣和探究欲望，

通过一系列的

< br>问题将故事情节与相关知识点联系起来，从情景中看到数学问题

.

通过结论的探求让学生学

会研究陌生问题，可采用特殊到一般的方法入手。

情境性

“

问题串

”

设计要体现情景性，一般来说要具备三个要素：（

< p>
1

）涉及未知领域，

能启动学生思维；（

2

）具有真实性，让学生觉得亲切、自然；

（< /p>

3

）基于学生已有的知识水

平

< p>
.

这样的问题情境能激发学生学习新知识的好奇心和求知欲，引发学生自主 探究，让学生

在解决问题中顿悟，提高学习新知的能力

.

环节二：试猜想，提炼等比求和公式

师：若将公比变为

q

，项数变为

n

，你觉得

1



q



q

2



生

4

：

q

n



1

< br>

生

5

：我觉得生

4

不对，很明显如果

q< /p>



3

，

n



2

时，结果就不对．

师：说明我们仅由

q



< p>
2

的猜想太过片面，为了使得结果具有更加说服性，请大家完成

< p>
以下表格？

X

n



1



3

< p>


3

2





3

n



1



q

n



1

的结果是？

n

X

n

n

Y

n

1

1

2

2

3

Y

n< /p>



1



4



4

2



< p>
4



4

n



1

5

5

…

…

3

4

师：根据大家所填的表格，你能够猜想出结论吗？

< p>
生

6

：

1



q



q



L



q

2

n



1

q< /p>

n



1



q



1

< p>
师：大家都同意上述结果吗？有没有需要注意的地方？

< br>生

7

：我觉得不能代表

q



1

时的求和公式，当

q



1

时，由于相同数的累加即为乘 法，很

容易得出结果为

n

.

2

n



1

师：若将首项改为

a

1

，你 能计算出

S

n



a

1



a

1

q



a

1

q







a

1

q

的结果吗？

2

n



1

生

8:

可以观察发现 每项都有

a

1

提取公因式

a

1

变为

S

n



a

1

(

1



q



q





< /p>

q

)

即可转

化为 刚刚的问题

.

师：那么等比数列求和公式是什么？

生

9

：：

q



1

时数列的每一项都相等，

S

n



a

1



a

1



< br>a

1







a

1



n a

1

，当

q



1

时，

S< /p>

n



a

1



a

1

q

< p>


a

1

q







a

1

q

2

n



1



a

1< /p>

(

1



q



q





< p>


q

2

n



1

a

1

(

q

n



1

)

)



< /p>

q



1

师：我们 可以将这两种情况写成什么样的形式？



na

1

,

q



1



生

1 0

：分段函数，即

S

n





a

1

(

1



q

n

)

,

q< /p>



1



1



q



【设计意图】

本环节的目的是为了让学生合理的猜出数等比数列的前

n

项和公式．

通过

对 棋盘故事的深入探讨，从公比为

2

，到公比为

< br>3,4

直至公比为

q

，这样从具 体到抽象，由

特殊到一般符合教学的一般规律，

让学生真正意义 上参与到公式的猜想中去，

感受知识的生

成过程．

环节三：巧变形，证明等比求和公式

< p>
师：通过同学们的共同探索我们得到了等比数列前

n

项和公式．（板书公式）

师：

猜想 是创新能力的一部分，

同学们刚才的猜想思维活跃，

灵活有序，

表现太精彩了，

这个猜想你们觉得可靠吗？（齐答：

< p>
不可靠）数学是一门严谨的学科，任何公式的猜想都需

要严格的推导和证明 ．

下面请同学们结合课前的预习，

将自主探究的成果在小组内分 享和交

流，和组内成员一起来揭示这个公式的证明过程．

（等待

1-2

分钟）

生

11

：通过预习课本，我知道了 错位相减法，这种方法是

18

世纪瑞士大数学家欧拉在

《代数学基础》中采用的．

2

n



2

n



1

具体做法如下

S

n



a

1

< br>

a

1

q



a

1

q







a

1

q



a

1

q

2

3

n



1

n

< br>两边同乘以

q

得

qS

< p>
n



a

1

q



a

1

q



a

1

q







a< /p>

1

q



a

1

q

往后错一位相减可得

a

1

(

1



q

n

)< /p>

S

n



（

q



1

)

< p>
其他小组有没有需要补充的或者存在疑惑的？

1



q

生

12< /p>

：我有点困惑，为什么想到两边同乘以

q

呢？

生

11

：因为根据等比数列的定义，后一项是前一项的

q

倍，乘以

q

后前一项就变成了

后一项，那中间很多项 相同了，

这样就可以达到消项的目的，

只剩下很少的几项，

就可以运

用累加法．

生

13

：根据等比数列定义，既然刚才能同乘以

< p>
q

，那么我觉得两边同乘以

师：大家觉得行吗？还 可以乘以什么

生

14

：乘以



q

也可以

< p>
.

师

:

很好，往前错位 和往后错位本质都是一样的利用了等比数列的定义，来消掉了中间

的很多项，看来你们已 经掌握了错位相减的本质，有没有其他不同的推导方法的？

生

15

：我用的是掐头去尾法，这种方法是

18

世纪法国数学家拉克洛瓦给出来的

2

n



1

n



2

具体做法如下：

S

n



a

1



a

1

q



a

1

q< /p>







a

1

q

，

S

< p>
n



a

n



a

1



a

1

q







a

1

q< /p>

1

．

q

a

1



< p>
a

n

q

a

1

(

1



q

n

)



（

q



1

)< /p>

发现

S

n



a

1



q

(

S

n



a

n

)

< br>化简可得

S

n



1



q

1



q

师：也很好，其他小组有没有需要补充的？

< p>

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