等差、等比数列的判断和证明
金毛-
等差、等比数列的判断和证明
一、
1
、等
差数列的定义：如果数列
a
n
从第二项起每一项与它的前一项的差
等于同
一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的
公差。即
a
n
a
n
1
d
(
n
N<
/p>
*
,
且
n
2
)
.(
或
a
n
1
a
n
< br>
d
(
n
N
*
)
)
.
2
、
等差数列的判断方法：
①定义法：<
/p>
a
n
1
a
n
d
(
常数
)
a
n
< br>
为等差数列。
②中项法：等
差中项：若
a
,
A
,
b
成等差数列，则
A
叫做
a
与
b
的等差中项，且
A
a
b
。
2
2
a
n
1
a
n
a
n
2
< br>
a
n
为等差数列。
③通项公式法：等差数列的通项：
a
n
a
1
(
n
1)
d
或
a
n
a
m
(
n
m
)
d
。公式变形
为
:
a
n
an
b
.
其中
a=d, b=
a
1
－
d.
a
n
an<
/p>
b
（
a,b<
/p>
为常数）
a
n
为等差数列。
④前
n
项和公式法：等差数列的
前
n
和：
S
n
d
公式
变形
为
Sn=An
2
+Bn
其中
A=
2
，
B=
a
1
n
< br>(
a
1
a
n
)
n
(
n
1)
d<
/p>
。
，
S
n
na
1
2
2
d
.
2
s
n
A
n
2
Bn
（
A,B
为常数）
a
n
为等差数列
。
3.
等差数列的性质：
（
1
）当公差
d
0
时，等差数列的通项公式
a
n
a
1
(
n
<
/p>
1)
d
dn<
/p>
a
1
d
是关于
n
的
一次函数，且斜率为公差
d
；
n
(
n
1)
d
d
d
n
2
(
a
1
)
n
是关于
n
的二次函数且常数项为
0.
前
n
项和
S
n
na
1
2
2
2
（
2
）若公差
d
< br>0
，则为递增等差数列，若公差
d
0
，则为递减等差数列，若
公差<
/p>
d
0
，则为常
数列。
（
3
）对称性：若
a
n
< br>
是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末
两项之和
.
当
m
n
p
q
时
,
则有
a
m
a
n
a
p
a
q
，特别地，当<
/p>
m
n
2
p
时，
则有
a
m
a
n
2
a
p
(4)
①项数成等差<
/p>
,
则相应的项也成等差数列
.
即
a
k
,
a
k
m
,
a
k
2
m
,...(
k
,
m
N
*
)
成等
差，公差为
< br>md
；②若
{
a
n
}
是等差数列，则﹛
ka<
/p>
n
+p
﹜
(
k
、
p
是非零常数
)
为等差
数列，公差为
kd.
③若
{
a
n
}
、
{
< br>b
n
}
是等差数列，则
{
ka
n
pb
n
}
(
k
、
p
是非零常
数
)
为
等
差
数
列
，公差
为
kd
1
+pd
2
（
d
1
、
d
2
分别
为
{
a
n
}
、
{
b
n
}
的
公
差
）④
S
n
,
S
2
n
S
n
,
S
3
n
S
2
n
也成等差数列
.
⑤
{
a
a
n
}
成等比数列；若
{
a
n
}
是等比数列，且
a
n
0
，则
{lg
a
n
}
是等差数列
.
（
5<
/p>
）在等差数列
{
a
n
}
中，当项数为偶数
2
n
时，
s
n
n
(
< br>a
n
a
n
1
)
；
s
偶
s
奇
nd
；
s
偶
a
n
1
s
偶
n
1
.
当项数为奇数
2
n
1
时，
s
2
n
1
(
2
n
1
)
a
n
；
s
偶
<
/p>
s
奇
a
1
；
s
奇
n
s
奇
a
n
（
6
）项数间隔相等或连续等长
的片段和仍构成等差数列，
eg
：
a<
/p>
1
，
a
3
，
a
5
…构成
等差数列，
a
1
+a
2
+a
3
，<
/p>
a
4
+a
5
+a
6
，
a
7
+a
8
+a
9
…也构成等差数列
.
二、
1
、等比数列的定义：如果数列
a
n
从
第二项起每一项与它的前一项的比等
于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常
数叫等比数列的公比，即
a
n
a
n
1
q
(
n
N
*
,
n
2
)
2
、等比数列的判断方法：
①定义法：
a
n
1
q
(
q
为常数
）
，其中
q
0,
a
n
0
a
n
为等比数列。
a
n
②中项法：如果
a
、
G
、
b
三个数成等比数列，那么
G
叫做
a
与
b
的等比中项，
即
G=<
/p>
ab
.
提醒：
不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项。
a
n
2
=a
n
-1
2
a
n+1
2
（
n
N
*
，
n
2
）
a
n
为等比数列。<
/p>
③通项公式法：等比数列的通项：
a<
/p>
n
an=Aq
a
n
为等差数列。
n
< br>a
1
q
n
1
或
a
n
a
m
q
n
m
④
前
n
项
和
法
：
等
< br>比
数
列
的
前
n
和
：
当
q
1
时
，
S
n
na
1
；
当
q
1
时
，
a
1
(1
< br>
q
n
)
a
1
a
n
q
=Aq
n
-A
S
n
1
q
1
q
Sn=Aq
n
-A
a
n
为等差数列。
< br>