等差数列与等比数列的证明方法
蓝猫-
等差数列与等比数列的证明方法
高考题中，有
关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何
处理这些题目呢？
证明或判断等差
（等比）
< br>数列的方法常有四种：
定义法、
等差或等比中项法、
数学归纳法、反证法。
一、
定义法
1
0
.
证明数
列是
等差数列的充要条件的方法：
a
n
1
a
n
d
(
常数
)
a
n
是等差数列
a
2
n
2
a
2
n
d
(
常数
)
a
2
n
是等差数列
a
3
n
3
a
3
n
d
(
常数
)
a
3
n
是等差数列
2
0
.
证明数列是
等差数列的充分条件的方法：
a
n
a
n
1
d
(
n
< br>2)
a
n
是等差数列
a
n
1
a
n
a
n
a
n<
/p>
1
(
n
2)
a
n
是等差数列
3
0
.
证明数列是
等比数列的充要条件的方法：
a
n
1
q
(
q
0
且为常数，
a
1
0)
a
n
为等比数列
a
n
4
0
.
证明数列是
等比数列的充要条件的方法：
a
n
q
（
n>2
，
q
为常数且≠
0
）
a
n
为等比数列
a
n
1
注意事项：用定义法时常采用的两个式子
a
n
a
n
1
d
和
a
n
< br>1
a
n
d
有差别，前者
必须加上
“
n
≥
2
”
，
否则
n
1
时
a
0
无意义，
等比中一样有：
n
≥
2
时，
有
（常数
0
）
；②
n
N
时，有
a
n
1
L
q
（常数
0
）
．
< br>a
n
a
n
L
q
a
n
1
例
1.
设数列
a
1
,
a
2
,
L
,
a
n
,
L
中的每一项都不为
0
。
证明：
a
n
为等差
数列的充分必要条件是：对任何
n
N
，都有
1
1
1
n
。
L
a
1
a
2
a
2
a
< br>3
a
n
a
n
1
a
1
a
n
1
证明：先证必要性
设
{
a
n
}
为等差数列，公差为
d
，则
当
d
=0
时，显然命题
成立
当
d
≠
0
时，
∵<
/p>
1
1
1
1
a
n
a
n
1
d
a
n
a
n
1<
/p>
∴
再证充分性：
∵
1
1
1
1
n
L
<
/p>
………①
a
n
a
n
<
/p>
1
a
1
a
n
1
a
1
a
2
a
2
a
3
a
3
a
4
1
1<
/p>
1
1
1
n
1
L
………②
a
n
a
n
1
a
n
1
a
n
2
a
1
a
n<
/p>
2
a
1
a
2
a
2
a
3
a
3
a
4
∴
②﹣①得：
1
n
1
n
a
n
1
<
/p>
a
n
2
a
1
a
n
2
a
1
a
n
1
两边同以
a
< br>n
a
n
1
a
1
得：
a
1
(
n<
/p>
1)
a
n
1
na
n
2
………③
同理：
a
1
na
n
(
n
1)
a
n
<
/p>
1
………④
③—④得：
2
na
n
< br>1
n
(
a
n
a
n
2
)
即：
a
n
2
a
n
1
a
n
1
a
n
a
n
为等差数列
例
2.
设数
列
{
a
n
}<
/p>
的前
n
项和为
S
n
，试证
{
a
n
}
为等差数列的充要条件是
S
n
(
a
1
a
n
< br>)
n
2
,
(
n
N
*
)
。
证：
）若
{
a
n
}
为等差数列
，则
a
1
a
n
a
2
a
n
1
a
3
a
n
< br>
2
……，
< br>
故
2
S
n
(
a
1
a
n
)
(
a
2
a
n
2
)
< br>.......
(
a
n
a
1
)
< br>S
n
(
a
1
a
n
)
n
2
（
）
当
n
≥
2
时，由题设，<
/p>
S
n
1
)(
a
1
a
n
1
)
n
1
< br>
(
2
,
S
n
(
a
1
a
n
)
n
2
所以
a
n
(
a
1
a
2
)
(
n
1
)(
a
1
n
S
n
S
n
1
2
a
n
1
)
2
< br>同理有
a
(
n
< br>
1
)(
a
1
a
n
1
)
n
(<
/p>
n
1
2
a
1
a
n
)
2
从而
a
< br>(
n
1
)(
a
1
a
n
1
)<
/p>
(
n
1
)(
a
1
a
n
1
a
n
< br>2
n
(
a
n
1
)
1
a
n
)
2
整理得：
a
n
+1
－
a
n
=
a
n
－
a
n
－
1
，对任意
n
≥
2
成立
.
从而
{
a
n
}
是等差数列
.
例
3.
已
知
数
列
a
n
是
等
< br>比
数
列
（
q
1
）
，
S
n
是
其
前
n
项
的
和
，
S
k
，
S
2
< br>k
S
k
，
S
3
k
S
2
k
，…，
仍成等比数列。
证明一：
（
1
）当
q
=1
时，结论显然成立；
（
2
）当
q
≠
1
时，
S
a
1
1
q
k
a
1
1
q
3
k
< br>
k
1
q
,
S
a
1
1
q
2
k
2
k
1
q
,
S
< br>3
k
1
q
S
1
1
q
2
k
a
1
1
q
k
a
< br>k
1
q
1
q
k
2
k
S
k
a
1
q
1
q
1
< br>
q
k
S
a
1
1
q
2
k
a
1
q
2
k
1
q
k
< br>
3
k
S
2
k
a
1
1
q
3
1
q
1
q
1
< br>q
则