等比数列知识点总结与典型例题-(精华版)
there-
--
等比数列知识点总结与典型例题
1
、等比数列的定义
:
2
、通项公式
:
a
n
a
1
q
n
1
a
1
n
q<
/p>
A
B
n
a
1
q
0,
A
B
< br>0
,
首项：
< br>a
1
;
公比
:
q
q
a
n
q
<
/p>
q
0
n
2,
且
n
N
*
,
q
< br>称为
公比
a
< br>n
1
推广：
< br>a
n
a
m
q
n
m
q
n
m
3
、等比中项
:
a
n
a<
/p>
q
n
m
n
a
m
a
m
（
1
）如果
a
,
A
,
b
成等比数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项
,<
/p>
即
:
A
2
ab
或
A
ab
注意：
同号的
两个数
才有
等比中项
,
并且它们的等比中项
有两个
(
(
２）数
列
a
n
<
/p>
是等比数列
a
n
2
a
n<
/p>
1
a
n
1
4
、等比数列的前
n
项和
S
n
公式
:
(1
）当
q
1
时
,
S
n
na
1
(2
）当
q
1
时
,
S
n
a
1
1
q
n
1
q
a<
/p>
1
a
n
q
1
q
a
1
a
1
q
n
A
A
B
n
A<
/p>
'
B
n
A
'
（
A
,
B
,
A
',
B
'
为常数）
1
q
1
q
5
、等比数列的判定方法
:
（
1)
用定义：对任意的
n
，都有
a
n
1
qa
n
或
< br>a
n
1
q
(
q
为
常数，
a
n
0)
{
a
n
}
为等比数列
a
n
(
２）等比中项：
a
n
2
< br>a
n
1
a
n
1
(
a
n
1
a
n
1
0)
{
a
n
}
为等比数列
（
3)
通项公式<
/p>
:
a
n
A
B
n
A
B
0
{
a
n
}
为等比数列
6
、等比数列的证明方法：
依据定义
:
若
a
n
q
q
0
n
2,
< br>且
n
N
*
或
a
n
1
qa<
/p>
n
{
a
n
}
为等比数列
<
/p>
a
n
1
7
、等比数列的性质：
(2)
对任何
m
,
n
N
*
,
在等比数列
{
a
n
}
中
,
有
a
n
a
m
q
n
<
/p>
m
。
1
/
11
--
(3)
若
m
n
s
t
(
m
,
n<
/p>
,
s
,
t
N
*
)
，则
a
n
a
m
a
< br>s
a
t
。特别的，当
m
n
2
k
时，得
a
n
a
m
a
k
2
注
:
a
1
a
n
a
2
a
n<
/p>
1
a
3
a
n
2
等差和等比数列比较
:
定义
递推公
式
通项公
式
中项
A
等差数列
a
n
1
a
n
d
等比数列
a
n
1
q
(
q
0
)
a
n
a
n
a
n
1
d<
/p>
；
a
n
a
m
n
md
a
n
a
n
< br>
1
q
;
a
n
a
m
q
n
m
a
n
a
1
(
n
1
)
< br>d
a
n
a
1
q
n
1
(
a
1
,
q
0
)
a
n
k
a
n
k
(
n
,
k
N
*
,
n
k<
/p>
0
)
2
S
n
n
(
a
1
a
n
)
< br>2
n
(
n
1
)
d
2
G
a
n
k
a
n
k
(
a
n
< br>k
a
n
k
0
)
（
n
,
k
N
*
,
n
k
0
)
前
n
项和
<
/p>
S
n
na
1
na
1
(
q
1
)
S
n
a
1
1
q
n
a
1
a<
/p>
n
q
(
q
2
)
1
q
1
q
重要
性质
a<
/p>
m
a
n
a
p
a
q
(
m
,
n
,
p
,
q
N
*
,
m<
/p>
n
p
q
)
a
m
a
n
a
p
a
q
(
m
,
n
,
p
,<
/p>
q
N
*
,
m
n
p
q
)
经典例题透析
类型一：等比数列的通项公式
ﻩ
例
1.
等比数列
{
a
n
}
中，<
/p>
a
1
a
9
64
，
a
3
a
7
20
,
求
a
11
< br>.
思路点拨
:
由等比数列的通
项公式，通过已知条件可列出关于
a
1
和
q
的二元方程组
,
< br>解出
a
1
和
q
,
可得
a
11
;
或注意到下标
1
9
3
< br>
7
，可以利用性质可求出
a<
/p>
3
、
a
7
,
再求
a
11
.
解析
:
8
a
1
a
9
a
1
a
< br>1
q
64
法一
:
设此数列公比为
q
，则
2
6
a
3
a
7
a
1
q
a
1
q
20
2
4
由
(2<
/p>
）得
:
a
1
q
(1
q
)
20
..
．
..
．
．
..
．
(3)
(1)
(2)
∴
a
1
0
.
4
2
4<
/p>
由
(
１
)
得：
(
a
1
q
)
64
,
∴
a
1
q
8
< br>
......(4)
2
/
11
--
1
q
4
20
5
,
(3)
÷
(4)
得
:
q
2
8
2
2
∴
2
q
5
q
2
0
,
解得
q
2
或
q
4
2
2
1
2
10
2
当<
/p>
q
2
时，
a
1
2
,
a
11
a
1
q
64
；
< br>1
10
时，
a
< br>1
32
,
a
11
a
1
q
1
.
2
法二：
∵
a
1
a<
/p>
9
a
3
a
7
64
,
又
a
3
a
7
< br>
20
，
当
q
2
∴
a
3
、
a
7
为方程
x
20
x
64
0
的两实数根
,
∴
2
a
3
16
a
3
4
或
a
7
4
a
7
16
2
a
7
2
∵
a
3
a
11
a
7
,
∴
a
11
1
或
a
11
64
.
a
3
总结
升华：
①列方程（组
)
求解是等比数列的基本方法
,
同时利用性质可以减
少计算量；
②解题过程中具体求解时，要设法降次消元
,
常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法
< br>(
除式
不为零
).
举一反三
:
【变式
< br>1
】
{
ａ
ｎ
}
为等比数列
,a
１
=3
，
a
< br>9
=768
，求
a
6
。
【答案】
±
96
８
8
法一：
设公比为
q
，则
768=a
1
q
，
q
=
２
5
６
,
∴
q=
±
2,
∴
a
6
=
±
9
６
;
2
法二：
ａ
５
＝
a
１
a
9
ａ
5
=
±
48
q
＝
±
2
，∴ａ
6
=
±
96
。
【变式
2
】
{
a
n
}
为等比数列，
< br>a
n
＞
0
，且
a
１
a
89
=
１
6
，
求
a
44
a
4
5
ａ
4
６
的值
。
【答案】
６
4;
2
∵
a
1
a
89
a
4
5
16
,
又
a
n
＞
0
，∴ａ
45
＝
4
3
∴
a
44<
/p>
a
45
a
46<
/p>
a
45
64
。
【变式<
/p>
3
】已知等比数列
{
a
n
}
,
若
a
1
a<
/p>
2
a
3
7
，
a
1
a
2
a
3
8
，求
< br>a
n
。
3
n
n
1
【答案】
a
n
2
或
a<
/p>
n
2
；
2
3
法一：
∵
a
1
a
3
a
2
,
∴
a
1
a
2
a
3
a
2
8<
/p>
,
∴
a
2
2
a
1
a
3
5
,
解之得
a
1
1
,
a
3
4
或
a
1<
/p>
4
，
a
3
1
从而
a
a
4
1
< br>3
当
a
1
1
时，
q
2
；当
a
1
4
时
,
q
3
n
n
1
故
a
n
< br>2
或
a
n
2
。
2
法二
：由等比数列的定义知
a
2
a
1
q
，
a
3
< br>
a
1
q
1
。
2
3
/
11
--
2
a
1
a
1
q
a
1
q
7
代入已知得
2
a
1
a
1
q
a
1
< br>q
8
2
2
a
1
(1
q
<
/p>
q
)
7,
a
1
(1
q
q
)
7,
(1)
3
3
(2)
a
1
< br>q
2
a
1
q
8
将
a
1
2
2
代入（
1)<
/p>
得
2
q
5
q
2
0
,
q
解得
q
2
或
q
1
2
a
4
a
1<
/p>
1
1
由（
2)
得
或
1
,
以下同方法一。
< br>q
2
q
2
类型二
:
等比数列的前
n
项和公式
例
2
．
设等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为Ｓ
n
,
若
S
3
+S
6
=2S
9
,
求数列的公
比
q.
解析：
若ｑ＝１，则有
S
3
=3
ａ
１
,
Ｓ
6
=6a
1
,S
9
=9
ａ
1
.
因
a
１
≠
0,
得
S
３
< br>＋
S
6
≠
2S
9
,
显然
q=
１与题设矛盾，故
q
≠
1.
a
1
(1
q
3
)
a
1
(1
q
6
)
2
< br>a
1
(1
q
9
)
由
S
3
<
/p>
S
6
2
S
9
得，
，
1
q
1
q
1
< br>
q
整理得ｑ
(2
ｑ
－
q
－
< br>1)=
０
,
6
3
３
3
由
q
≠
0,
得
2
ｑ
-q
-1=0
< br>，从而（
2q
+1)(q
-1)
＝
0,
3
4
1
因
q
≠１<
/p>
,
故
q
,
所以
q
。
2
2
3
3
< br>6
3
3
举一反三
:
【变式
1
】求等比数列<
/p>
1,
,
,
【答案
】
1
1
3
9<
/p>
的前
6
项和。
364
;
2
43
1
，
n
6
3
1
6
1
1
< br>
6
3
364
3
1
1
∴
S
6
< br>。
1
2
3
243
1
3
∵
a
1
1
，
q
【变式
2
】已知：
{a
n
}
为等比数列，
a
１
a
２
a
3
=2
7
，
S
3
=1
3,
求Ｓ
5
.
【答案】
121
或
3
2
121
；
9
a
1
(1
< br>
q
3
)
1
q
3
或
q
,
则
a
1
=
１或
a
1
=
９
∵
a
27
a
< br>2
3
，
13
1
q
3
4
/
11
--
1
9
1
－
1
3
5
3
5
121
121
或
S
5
＝
＝
∴
S
5
.
1
1
3
9
1
－
3
【变式
3
】在等比数列
{
a
n
}
中，
a
1
a
n
66
,
a
2
a
n
1
128
,
S
n
126
，求
n
和<
/p>
q
。
【答案】
q
1
或
2,
n
6
;
2
∵
a
2
a
n
1
a
1
a
n
，∴
a
1
a
n
128
解方程组
a
1
a
n
<
/p>
128
a
1<
/p>
64
a
1
2
,
得
或
a
64
a
2
a
a
66
n
1
n
< br>n
a
1
64
a
a
n
q
1
①将
代入
S
n<
/p>
1
,
得
q
，
1
q
2
a
n
2
n
1
由
a
n
a<
/p>
1
q
,
解得
n
6
；
a
1
2
a
< br>a
n
q
②将
代入
S
n
1
，得
q
2
,
a
64
1
q<
/p>
n
n
1
由
a
n
a
1
q
，解得
n
6
。
∴
q
1
或
2
，
n
6
。<
/p>
2
类型三：等比数列的性质
例
3.
等比数列
{
a
n
}
中
,
若
a
5<
/p>
a
6
9
,
求
log
3
a
1
log
3
a
2
...
log
3
a
10
．
解析：
∵
{
a
n
}
是等比数列
,
∴
a
1
a
10
a
2
a
9
a
3
a
8
a
4
<
/p>
a
7
a
5
a
6
9
∴
log
3
a
1
log
3
a
2
log
3
a
10
< br>
log
3
(
< br>a
1
a
2
a
3
举
一反三：
【变式
1
< br>】正项等比数列
{
a
n
}
中，若
a
1
·ａ
100
＝
10
０；
则
lga<
/p>
1
＋
lga
2<
/p>
+
……
+lg
ａ
100
＝
___
＿
_____
＿
__
＿．
【答案】
1
０
0;
∵
lg
ａ
1
+lga
2
＋
l
ｇ
a
3
+
……＋ｌ
ga
1
０
0
=l
ｇ
(a
１
·
a
2
·
a
3
·……·ａ
１０
0
）
而
a
1
·ａ
10
０
=a
2
·
a
99
=a
3
·
a
98
＝……
=a
５０
·
a
51
∴原式＝
lg
（ａ
1
·
a
10
０
)
50
=5
０ｌ
g(a
1
·ａ
10
０
)=5
0
×
lg1
００
=10
０。
【变式
2
】在
a
10
)
log
3
(
a
5
a
6
)
5
log
3
9
5
10
8
27
和
之间插入三个数
,
使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为
________
。
3
2
【答案】
216;
法一：
设这个等比数列为
{
a
n
}
，其公比为
q
,
5
/
11