高三一轮复习等比数列及其前n项和
-
等比数列及其前
n
项
和
1.
理解等比数列的概念．
2.
掌握等比数列的通项公式与前
n
项和公式．
3.
能在具
体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列有关知识解决相应的问题．
4.
了解等比数列与指数函数的关系．
突破点一
等比数列的基本运算
[
基本知识
]
1
．
等比数列的有关概念
(1)
定义：如果一个数列从第
< br>2
项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数
(
不为零
)
，那么这个数列就叫做
等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母
q
表示，定义的表达式为
a
n
＋
1
＝
q
.
a
n
(2)
等比中项：
如果
a
，
G
，
b
成等比
数列，
那么
G
叫做
a
与
b
的等比中项．
即：
G
是
a
与
b
的等比中项
⇔
a
，
G
，
b
成等比数列
⇒
G
2
＝
ab
.
2
．
等比数列的有关公式
(1)
通项公式：
a
< br>n
＝
a
1
q
n
1
.
－
na
，
q
＝
1
，
1
(2)
前
n
项和公式：
S
n
＝
a
1
1
－
q
n
a
1
－
a
n
q
< br>＝
，
q
≠
1.
1
－
q
1
－
q<
/p>
[
基本能力
]
一、判断题
(
对的打
< br>“√”
，错的打
“×”
)
(1)
满足
a
n<
/p>
＋
1
＝
qa
n
(
n
∈
N
*
，
q
为常数
)
的数列
{
a
n
}
为等比数列．<
/p>
(
)
(2)
G
为
a
，
b
的等比中项
⇔
G
2
＝
ab<
/p>
.(
) <
/p>
(3)
若
{
a<
/p>
n
}
为等比数列，
b
n
＝
a
2
n
－
1
＋
a
2
n
，则数列<
/p>
{
b
n
}
也是等比数列．
(
)
a
1<
/p>
－
a
n
(4)
数列
{
a
n
}
的通项公式是
a
n
＝
a
，则
其前
n
项和为
S
n
＝
.(
)
1
－
a<
/p>
n
答案：
(1
)
×
(2)
×
(3)
√
(4)
×
二、填空题
1
．已知递增的等比数列
{
a
n
}
中，
a
2
＋
a
8
＝
3
，
a
3
< br>·
a
7
＝
2
，则
答案：
2
< br>2
．各项都为正数的等比数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
2
，
a
6
＝
a
1
a
2
a
3
，则公比
q
的值为
________
．
答案：
2
3
．在各项均为正数的等比数列
{
a
n<
/p>
}
中，若
a
2<
/p>
＝
1
，
a
8
＝
a
6
＋
2
a
4
，则
a
6
的值是
________
．
答案：
4
a
13
＝
__
______.
a
10
4
．已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
＝
1
，
S
n
＝
< br>2
a
n
＋
1
，则
S
n
等于
________
．
3
n
－
1
答案：
2
[
典例感悟
]
1
．已知正项数列
{
< br>a
n
}
为等比数列，且
5
a
2
是
a
4
与
3
< br>a
3
的等差中项，若
a
2
＝
2
，则该数列的前
5
项和
S
5<
/p>
＝
(
)
33
A.
12
31
C.
4
B
．
31
D
．以上都不正确
解析：
选
B
设
{
a
n
}
的公比为
q
，则
q
>0
且
q<
/p>
≠
1.
由已知得
a
4
＋
3
a<
/p>
3
＝
2
×
5
a
2
，即
a
2
q
2
＋
3
a
2
< br>q
＝
10
a
2
，
q
2
＋
3
q
－
10
a
1
1
－
q
5
1
×
1
－
2
5
< br>＝
0
，解得
q
< br>＝
2
或
q
＝－
5(
舍去
)
，又
a
2
＝
2
，则
a
1
＝
1
，所以
S
5
＝
＝
＝
31
.
1
－
q
1
－
2
2
．
(2018·
全国卷Ⅲ
)
< br>等比数列
{
a
n
}
中，
a
1
< br>＝
1
，
a
5
＝
4
a
3
.
(1)
求
{
a
n
}
的通
项公式；
(2)
记
< br>S
n
为
{
a
n
}
的前
n
项和，若
S
m
＝
63
，求
m
.
解：
(1)
设
< br>{
a
n
}
的公比为
q
，由题设得
a
n
＝
q
n
1
.
－
由已知得
q
4
＝
4
q
2
，解得
q
＝
0(
舍去
)
或
q
＝－
2
< br>或
q
＝
2.
< br>故
a
n
＝
(
－
2)
n
－
1
或
a
n<
/p>
＝
2
n
1
.
－
(2)
若
a
n
＝
(
－
2)
n
－
1
1
－
－
2
n
，则
S
n
＝
.
3
由
S
m
＝
63
，得
(
－
2)
m
＝
－
188
，此方程没有正整数解．
<
/p>
若
a
n
＝
2
n
－
1
1
－
2
n
n
，则
S
n
< br>＝
＝
2
－
1.
1
－
2
由
S
m
＝
6
3
，得
2
m
＝
64
，解得
m
＝
6.
综上，
m
＝
6.
[
方法技巧
]
解决等比数列基本量计算问题的常用思想方法
(1)
方程的思想：等比数列中有五个量
a
1
，
n
，
q
，
a
n
，
S
n
，一般可以
“
知三求二
”
，通过列方程<
/p>
(
组
)
求关键量
a
1
和
q
，问题可迎刃而解．
(2)
分类讨论的思想：
等比数列的前
n
< br>项和公式涉及对公比
q
的分类讨论，
当
q
＝
1
时，
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
＝
na
1<
/p>
；
a
1
1
－
q
n
a
1
－
a
n
q
当
q
≠
1
时，
{
a
n
}
的
前
n
项和
S
n
＝
＝
.
1<
/p>
－
q
1
－
q
[
针对训练
]
1
．数列
{
a
n
}
满足
a
4
＝
27
，
a
n
＋
1
＝－
3
a
n
(
n
∈
N
*
)
，则
a
1
＝
(
)
A
．
1
C
．－
1
解析：
选
C
由题意知数列
{
a
n
}
是以－
3
为公比的等比数列，
B
．
3
D
．－
3
27
∴
a
4<
/p>
＝
a
1
(
－
3)
3
＝
27
，∴
a
1
＝
＝－
1.
故选
C.
－
3
3
2
．设
{
a
n
}
是由正数组成的等比数列，
S
n
为其前
n
项和．已知
a
2
a
4
＝
1
，
S
3
＝
7
，则
S
5
等于
(
)
15
A.
2
33
C.
4
B
．
31<
/p>
4
17
D
．
2
3
a
q
·
a
q
＝
1
，
< br>a
＝
4
，
a
＝
9
，
1
1
3
1
1
解析：
选
B
设数列
{
a
n
}
的公比为
q
，则显然
q
≠
1
，由题意得
a
1
1
－
q
解得
1
或
1
＝
7
，
q
＝
q
＝－
< br>
3
2
1
－
q
1
－
1
5
4
a
1
1
－
< br>q
2
31
(
舍去
)
，∴
S
5
＝
＝
＝
.
1
4
1
－
q
1
－
2
5
3
设数列
{
a
n
＋
1}
是一个各项均
为正数的等比数列，已知
a
3
＝
7
，
a
7
＝
127.
(1)
求<
/p>
a
5
的值；
<
/p>
(2)
求数列
{
a
n
}
的前
n
项和．
解：
(1)
由题可知
a
3
< br>＋
1
＝
8
，
a
7
＋
1
＝
128
，则有
(
a
5
＋
1
)
2
＝
(
a<
/p>
3
＋
1)(
a<
/p>
7
＋
1)
＝
8
×
128
＝
1 024
，可得
a
5
＋
1
＝
3
2
，
即
a<
/p>
5
＝
31.
2
a
3
＋
1
＝
a
1
＋
1
q
，
< br>
a
1
＋
1
＝
2
，
(
2)
设数列
{
a
n
＋
1}
的公比为
< br>q
，由
(1)
知
得
4
a
5
＋
1
＝
a<
/p>
1
＋
1
q
，
q
＝
2
，
所以数列
{
a
n
＋
< br>1}
是一个以
2
为首项，
2
为公比的等比数列，
所以
a
n
＋
1
＝
2
×
2
n
1
＝
2
n
，所以
a
n
＝
2
n
－
1
，
－
2
1
－
< br>2
n
＋
利用分组求和可得，数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
＝
－
n
＝
2
n
1
－
2
－
< br>n
.
1
－
2
突破点二
等比数列的性质
[
基本知识
]
(1)
若
m
＋
n
＝
p
＋
q
，则
a
m
a
n
＝
a
p
a
q
，其中
m
，
n
，
p
，
q
∈
N
*
.
特别地，若
2
s
＝
p
＋
r
，则
a
p
a
r
＝
a
2
s
，其中
p
，
s
，
r
∈
N
*
.
对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积即
a
1
·
a
n<
/p>
＝
a
2
·
a
n
－
1
＝…＝
a
k
·
a
n
－
k
＋
1
＝…
.
(2)
相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即
a
k
，
a
k
＋
m
，
a
k
＋
2
m
，…仍是等比数列，公比为
q
m
(
k
，
m
∈
N
*
)
．<
/p>
pa
n
(3)
若数列
{
a
n
}
，
{
b
n
}
是两个项数相同的等比数列，则数列
{
ba
n
}
，
{
pa
n
·
qb
n
}
和
qb
(
其中
b
，
p
，
< br>q
是非零常数
)
也
n
是等比数列．
(4)
当
q
≠－
1
或
q
＝－
1
且
k
为奇数时，
S
k
，
S
2
k
－
S
k
，
S
3
k
－
S
2
k
，…是等比数列，其公比为
q
k
.
T
2<
/p>
n
T
3
n
(5)
若
a
1
·
a
2
·
…
·
a
n
＝
T
n
，则
< br>T
n
，
T
，
，…成等比数列．
T
2
n
n
[
基本能力
]
1
．在等比数列
{
a
n
}
中，
a
3
＝
2
，
a
7
＝
8
，则
a
5
＝
________.
答案：
4
2
．在正项等比数列
{
a
n
}
中，已知
a
1
a
2
a<
/p>
3
＝
4
，
a
4
a
5
a
6
＝
12
，
a
n
－
< br>1
a
n
a
n
＋
1
＝
3
24
，则
n
＝
________.
答案：
14
3
．已知等比数列
{
a
< br>n
}
中，
a
2
＋
a
3
＝
1
，
a
4<
/p>
＋
a
5
＝
2
，则
a
6
＋
a
7
等于
________
．
答案：
4
4
．设等比数列
{
a
n
< br>}
中，前
n
项和为
S
n
，已知
S
3
＝
8
，
< br>S
6
＝
7
，则
a
7
＋
a
8
＋
a
9<
/p>
等于
________
．
1
答案：
8
[
典例感悟
]
a
2
a
16<
/p>
1
．在等比数列
{
a
n
}
中，
a
3
，
a
15
是方程
x
2
＋
6
x
＋
2
＝
0
的根，则
的值
为
(
)
a
9
A
．－<
/p>
C.
2
2
＋
2
2
B
．－
2
D
．－
2
或<
/p>
2
解析：
选
B
设等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
，
因为
a
3
，
a
15
是方程
x
2
＋
6
x
＋
2
＝
0<
/p>
的根，
所以
a
3
·
a
15
＝<
/p>
a
2
9
＝
2
，
a
3
＋
a
15
a
2
a
16
a
2
9
＝－
6
< br>，所以
a
3
<0
，
a
15
<0
，则
a
9
＝－
2
，所以
＝
＝
a
9
＝－
2
< br>，故选
B.
a
9
a
9
2
．设各项都是正数的
等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
S
10
＝
10
，
S
30
＝
70
，那么
S
40
等于
< br>(
)
A
．
150
C
．
150
或
－
200
B
．－
200
D
．
400
或－
50
解析：
选
A
易知
S
10
，
S
20
－
S<
/p>
10
，
S
30<
/p>
－
S
20
，
S
40
－
S
30
成等比数列，因此有
(
< br>S
20
－
S
10
)
2
＝
S
10
(
S
30
－
S
20
)
，即
(
S
2
0
－
10)
2
＝
10(70
－
S
20
)
，故
S
20
＝－
20
或
< br>S
20
＝
30.
又
S
20
>0
，所以
S
20
＝
30
，
S
20
－
S
10
＝
20
，
S
30
－
S
20
＝
< br>40
，故
S
40
－
S
30
＝
< br>80
，所以
S
40
＝
150.
故选
A.
[
方法技巧
]
应用等比数列性质解题时的
2
个注意点
(1)
在解决等比数列的有关问题时
，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质
“
若
m
＋
n
＝
p
＋
q
(
m
，
n
，
p
，
q
∈
N<
/p>
*
)
，则
a
m
·
a
n
＝
a
p
·
a
q
”
，可以减少运算量，
提高解题速度．
(2)
在应用相应性
质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不
求思想的运用．
[
针对训练
]
1
．等比数列
{
a
n
}
的各项均为正数，且
a
5
a
6
＋
a
4
a
< br>7
＝
18
，则
< br>log
3
a
1
< br>＋
log
3
a
< br>2
＋…＋
log
3
a
10
＝
(
)
A
．
12
B
．
10
C
．
8
<
/p>
D
．
2
＋
log
3
5
解析：
选
B
∵
a
5
a
6
＋
a
4
a
7
＝
18
，∴
a
5
a
6
＝
9
，
< br>
∴
log
3
< br>a
1
＋
log
< br>3
a
2
＋
…
＋
log
3
a
10
＝
log
3
(
a
1
a
2
·
…
·<
/p>
a
10
)
＝
log
3
(
a
5
a
6
)
5
＝
5log
3
9
＝
10.
2
．在等比数列
{
a
n
}
中，若
a
1
＋
a
2
＋<
/p>
a
3
＋
a
4
＝
3
A.
5
3
C
．－
5
解析：
选
D
15
9
1
1
1
< br>1
，
a
2
a
3
＝－
，则
＋
＋
＋
等于
(
)
8
8
a
1
a
2
a
3
a
4
5
B
．
3
5
D
< br>．－
3
1
1
1
1
a
1
＋
a
4
a<
/p>
2
＋
a
3
＋
＋
＋
＝
＋
.
a
1
a
2
a
3
< br>a
4
a
1
·
a
4
a
2
·
a
3
∵在等
比数列
{
a
n
}
中，
a
1
·
a
4
＝
a
2
·
a
3
，
a
1
＋
a
2
＋
< br>a
3
＋
a
4
15
8
5
∴原式＝
＝
×
－
9
＝－
.
故选
D
.
a
2
·
a
3
8
3
3
．在等比数列
{
a
n
}
中，如果
a
1
＋
a
2
＝
40
，
a
3<
/p>
＋
a
4
＝
60
，那么
a
7
＋
a
8
＝
(
)
A
．
135
C
．
95
B
．
100
D
．
80
解析：
选
A
由等比数列前
n
项和的性质知，
a
1
＋
a
2
，
a
3
＋
a
4
，
a
5
＋
a
6
，
a
7
＋<
/p>
a
8
成等比数列，其首项为
40
，
公比为
3
3
60
3
＝
，所以
a
7
＋
a
8
< br>＝
40
×
2
＝
135.
40
2
突破点三
等比数列的判定与证明
a
n
[
典例
]
(2018·
全国卷Ⅰ
)
已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
＝
1
，
na
n
＋
1
< br>＝
2(
n
＋
1)
a
n
.
设
b
n
＝
.
n
(1)
求
b
1
，
b
2
，
b
3
；
(2)
判断数列
{<
/p>
b
n
}
是否为等
比数列，并说明理由；
(3)
求
{
a
n
}
的通项公式．
[
解
]
(1)
由条件可得
a
n
＋
1
＝
2
n
＋
1
n
a
n
.
将
n
＝
1
代入得，
a
2
＝
4
a
1
，而
a
1
＝
1
，所以
a
2
＝
4.
将
n
＝
2
代入得，
a
3
＝
3
a
< br>2
，所以
a
3
< br>＝
12.
从而
b
1
＝
1
，
< br>b
2
＝
2
，
b
3
＝
4
.
(2)
数列
{
b
n
}
是首项为
< br>1
，公比为
2
的等比数列．
理由如下：
a
n
＋
1
2
a
n
由条件可得
＝
，即
b
n
＋<
/p>
1
＝
2
b
n
，
n
＋
1
n
又
b
1
＝
1
，所以数列
{
b
n
}
是首项为
1
，公比为
2
的等比数列．
a
n
－
－
(3)
由
(2)
可得
n
＝
2
n
1<
/p>
，所以
a
n
＝<
/p>
n
·
2
n
1
.
[
方法技巧
]
等比数列的
4
种常用判定方法